必修 第三册 第3单元 第2课时 磁场对运动电荷的作用力（Word教参）-【百汇大课堂】2026年高考物理总复习下册·第1轮（浙江专用）

第2课时　磁场对运动电荷的作用力 目标定位 1.会利用左手定则判断洛伦兹力的方向，会计算洛伦兹力的大小。2.能够分析带电粒子在匀强磁场中的运动。3.会分析带电粒子在有界磁场中的运动。 考点一　对洛伦兹力的理解和应用 [对应学生用书P52] 1．洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力叫洛伦兹力。 2．洛伦兹力的方向 (1)判定方法：左手定则 掌心——磁感线垂直穿入掌心； 四指——指向正电荷运动的方向或负电荷运动的反方向； 拇指——指向洛伦兹力的方向。 (2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的平面。 3．洛伦兹力的大小 (1)当v∥B时，洛伦兹力F＝0。(θ＝0°或180°) (2)当v⊥B时，洛伦兹力F＝qvB。(θ＝90°) (3)当v＝0时，洛伦兹力F＝0。 如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B。设磁场中有一段长度为L的通电导线，横截面积为S，单位体积内含有的自由电荷数为n，每个自由电荷的电荷量为q且定向移动的速率都是v。 (1)导线中的电流是多少？导线在磁场中所受安培力多大？ (2)长为L的导线中含有的自由电荷数为多少？每个自由电荷所受洛伦兹力多大？ 提示：(1)nqvS　nqvSLB　(2)nSL　qvB [典例1] (2023·海南卷)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力，下列说法正确的是(　　) A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右 B．小球运动过程中的速度不变 C．小球运动过程的加速度保持不变 D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功 A　解析：根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；小球受洛伦兹力和重力的作用，则小球运动过程中速度和加速度的大小、方向都在变，B、C错误；洛伦兹力永不做功，D错误。 [典例2] (多选)(2024·广东广州天河二模)如图所示，边长为L的等边三角形ABC内有垂直纸面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场，D是AB边的中点，一质量为m、电荷量为－q的带电粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是(　　) A．粒子可能从B点射出 B．若粒子从C点射出，则粒子做匀速圆周运动的半径为L C．若粒子从C点射出，则粒子在磁场中运动的时间为 D．若粒子从AB边射出，则粒子的速度越大，其在磁场中运动的时间越短 BC　解析：带负电的粒子从D点以速度v平行于BC边方向射入磁场，粒子向下偏转，由于BC边的限制，粒子不能到达B点 ，A错误；若粒子从C点射出，如图甲所示 根据几何关系可得R2＝＋，解得R＝L，则粒子从C点射出时轨迹对应的圆心角的正弦值sin ∠DOC＝＝，则∠DOC＝60°，故粒子在磁场中运动的时间t＝T＝×＝，B、C正确；如图乙所示，粒子从AB边射出时粒子轨迹对应的圆心角相同，都为240°，故其在磁场中运动的时间均为t′＝T＝×＝，D错误。 洛伦兹力与电场力的比较 项目 洛伦兹力 电场力 产生 条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中 大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE 方向 F⊥B且F⊥v 正电荷受力方向与电场方向相同，负电荷受力方向与电场方向相反 做功 情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功 考点二　带电粒子在匀强磁场中的运动 [对应学生用书P54] 1．在匀强磁场中，当带电粒子平行于磁场方向运动时，粒子做匀速直线运动。 2．带电粒子以速度v垂直磁场方向射入磁感应强度为B的匀强磁场中，若只受洛伦兹力，则带电粒子在与磁场垂直的平面内做匀速圆周运动。 (1)洛伦兹力提供向心力：qvB＝。 (2)轨迹半径：r＝。 (3)周期：T＝＝，可知T与运动速度和轨迹半径无关，只和粒子的比荷和磁场的磁感应强度有关。 (4)运动时间：当带电粒子转过的圆心角为θ(弧度)时，所用时间t＝T。 (5)动能：Ek＝mv2＝＝。 3．当带电粒子的速度v与B的夹角为锐角时，带电粒子的运动轨迹为螺旋线。 1．圆心的确定 方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图甲所示)。 方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示)。 2．半径的确定和计算 (1)连接圆心和轨迹圆与边界的交点，确定半径，然后用几何知识求半径，常用解三角形法，如图所示，R＝或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝。 (2)在分析几何关系时，特别要掌握以下两点： ①粒子速度的偏向角φ等于圆心角α，且等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。 ②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ＋θ′＝π。 3．运动时间的确定 方法一：由运动弧长计算， t＝(l为弧长)； 方法二：由旋转角度计算，t＝T(或t＝T)。 考向1半径公式和周期公式的应用 [典例3] 在同一匀强磁场中，α粒子(24He)和质子(11H)做匀速圆周运动，若它们的动量大小相等，则α粒子和质子(　　) A．运动半径之比是2∶1 B．运动周期之比是2∶1 C．运动速度大小之比是4∶1 D．受到的洛伦兹力大小之比是2∶1 B　解析：α粒子(24He)和质子(11H)的质量之比＝，动量大小相等，即mαvα＝mHvH，运动速度大小之比＝＝，C错误；根据qvB＝m，得r＝，所以运动半径之比＝＝，A错误；由T＝知，运动周期之比＝·＝×＝，B正确；根据F＝qvB，洛伦兹力大小之比＝·＝×＝，D错误。 考向2带电粒子在匀强磁场中的运动 [典例4] (多选)(2024·安徽皖北十校联考)如图所示，在平面直角坐标系xOy第一象限的△OAC区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外。质量为m、电荷量为q的大量带电粒子先后以相同的速度沿平行于y轴正方向从OA边各处射入磁场，运动中有些粒子能在边界AC上相遇，其中相遇粒子的入射时间差的最大值为t0。已知∠A＝30°，不计粒子重力及粒子之间的相互作用。下列判断正确的是(　　) A．粒子一定带正电 B．粒子一定带负电 C．磁感应强度大小为 D．磁感应强度大小为 AD　解析：由于有些粒子能在边界AC上相遇，则粒子一定沿顺时针方向做圆周运动，根据左手定则知，粒子一定带正电，A正确，B错误；由于粒子入射速度相同，根据Bqv＝，可知粒子运动的轨迹半径相同，均为R＝，在边界AC上相遇的情形有多种，如图甲所示 当相遇的两粒子的运动轨迹所对应的圆心角之差Δθ最大时，两粒子的入射时间差最大，由于DO1＝DO2＝R，△DO1O2为等腰三角形，由几何关系可得Δθ＝θ1－θ2＝∠O1DO2，又θ1＋θ2＝180°，可得Δθ＝2θ1－180°，可得θ1最大时，Δθ最大，而当两粒子相遇点D为左边粒子轨迹与AC的切点时，θ1最大， 如图乙所示，由于∠A＝30°，则∠DO1O2＝60°， 此时△DO1O2为等边三角形，可得θ1＝120°，θ2＝60°，故Δθm＝60°，故Δtm＝·T＝＝t0，而T＝，解得B＝，C错误，D正确。 [典例5] 如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°。不计粒子的重力，下列判断正确的是(　　) A．粒子a带负电，粒子b带正电 B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶ C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1 D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2 答案：B [典例6] 如图所示，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x轴射入第二象限，随后垂直于y轴进入第一象限，最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　) A． B． C． D． B　解析：设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示，对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m、T＝，可得R1＝、R2＝、T1＝、T2＝，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝，在第一象限中运动的时间为t2＝T2，又由几何关系有cos θ＝＝，可得t2＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立以上各式解得t＝，B正确，A、C、D错误。 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的分析方法 考点三　带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题 [对应学生用书P56] 带电粒子通常都在有界磁场中运动，当带电粒子射入匀强磁场的速度大小或方向变化时，会出现恰好不射出磁场边界、在磁场中的运动时间最长等临界与极值问题。 1．判断临界状态的常用结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速度v变化时，圆心角越大的，运动时间越长。 2．确定临界轨迹的技巧——动态圆法 (1)放缩圆法 适用条件 速度方向一定，大小不同 粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化 轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 界定 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法 (2)旋转圆法 适用 条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为R＝，如图所示 轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径R＝的圆上 界定 方法 将一半径为R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法 考向1放缩圆法的应用 [典例7] 如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°角的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。 (1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间； (2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。 答案：(1)　(2)<v0≤ 解析：(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示。 有qBv0＝，又T＝，解得T＝， 又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间t＝T＝。 (2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图乙所示，设此时初速度为v01，轨道半径为R1， 由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l，又qBv01＝ 解得v01＝ 当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图丙所示，设此时初速度为v02，轨道半径为R2，由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l，又qBv02＝，解得v02＝，综上可得<v0≤。 考向2旋转圆法的应用 [典例8] (2025·温州模拟)如图所示，竖直平面内有一Oxy平面直角坐标系，第一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为B(B未知)。坐标原点O处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180°范围内均匀地辐射出质量为m、电荷量为q的正离子。在y轴上固定一能吸收离子的收集板MN，M点坐标为(0，a)，N点坐标为(0，2a)，当辐射的离子速率为v0时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点。不计离子的重力及离子间的相互作用的影响，求： (1)恰好打到M点的离子在磁场中运动的时间； (2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例。 答案：(1)或　(2) 解析：(1)由题意可知，沿x轴正方向出射的离子，经半圆到达N点，由此可得r＝a，可知通过M点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为60°，即t1＝T，另一个轨迹转过的圆心角为300°，即t2＝T，离子做匀速圆周运动，周期T＝，即T＝， 解得t1＝，t2＝。 (2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正方向成60°角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数的比例为＝。 解决临界、极值问题的方法技巧 (1)一个“解题流程”突破临界问题 (2)从关键词找突破口：题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐含的规律，找出临界条件。 1．(多选)如图所示，是一种用磁聚焦法测某种离子比荷的装置原理图。离子以很小的速度从a板小孔进入加速电场，从b板小孔O′水平向右射出，进入一个极板很短、加有不大的交变电压的电容器。不同时刻通过电容器的离子获得不同的纵向速度，然后进入由线圈产生的匀强磁场，这些离子在磁场中沿不同的螺旋线运动，调节通过线圈的电流改变磁感应强度B，使它们经过一个周期刚好聚焦于荧光屏上的O点，测出有关数据即可得到比荷。下列说法正确的有(　　) A．测量原理用到离子在磁场中做圆周运动的周期与速度无关这一性质 B．同时刻进入电容器中的离子运动轨迹相同 C．线圈产生的磁场方向必须水平向右 D．电容器上所加电压也可以是恒定电压 AB　解析：离子在磁场中做圆周运动时，由qv⊥B＝m(点拨：离子经过加有交变电压的电容器，会做类平抛运动，因此进入右侧线圈产生的磁场区域时速度方向与磁场方向有一定夹角)，可得r＝，则周期为T＝＝，结合“调节通过线圈的电流改变磁感应强度B, 使它们经过一个周期刚好聚焦于荧光屏上的O点”可知，测量原理用到了离子在磁场中做圆周运动的周期与速度无关这一性质，A正确；同时刻进入电容器中的离子，离开电容器进入磁场时的速度相同，所以离子运动轨迹相同，B正确；磁场方向决定离子旋转方向，故线圈产生的磁场方向不一定要水平向右，也可以水平向左，C错误；电容器上所加电压不可以是恒定电压，因为如果是恒定电压，将使不同时刻进入电容器的离子，离开电容器进入磁场时的速度相同，所有离子的运动轨迹都相同，D错误。 2.(2024·金华模拟)如图所示，为了科学研究的需要，常常将质子(H)和α粒子(He)等带电粒子储存在圆环状空腔中，圆环状空腔置于一个与圆环平面垂直的匀强磁场(偏转磁场)中，磁感应强度为B。如果质子和α粒子在空腔中做圆周运动的轨迹相同(如图中虚线所示)，偏转磁场也相同，则质子和α粒子在圆环状空腔中运动的动能EH和Eα、运动的周期TH和Tα的大小关系是(　　) A．EH＝Eα，TH≠Tα B．EH＝Eα，TH＝Tα C．EH≠Eα，TH≠Tα D．EH≠Eα，TH＝Tα 答案：A 3．(2024·名校协作体适应考)如图所示，空间中有一环状匀强磁场，其内半径为R1，外半径为R2＝2R1。在内圆上的A点处有一静止粒子发生裂变，生成甲、乙两个小粒子(均带正电)，且二者初速度均沿切线方向并处于如图所示的平面内。若两粒子均恰好不从外圆射出磁场，则甲、乙所带电荷量之比为(　　) A．1∶3 B．3∶1 C．1∶2 D．2∶1 B　解析：根据题意结合左手定则，画出两粒子的运动轨迹如图所示。 设向右 为正方向，甲的速度大小为v1，质量为m1，乙的速度大小为v2，质量为m2，由动量守恒有0＝m2v2－m1v1, 对甲，由几何关系有r1＝，对乙，由几何关系有r2＝R1，粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，整理得q＝·，又m1v1＝m2v2，联立解得q甲∶q乙＝3∶1，B正确。 4．(多选)如图所示，等腰直角三角形abc区域内(包含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，在bc的中点O处有一粒子源，可沿与ba平行的方向发射大量速率不同的同种粒子，这些粒子带负电，质量为m，电荷量为q，已知这些粒子都能从ab边离开abc区域，ab＝2l，不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用。关于这些粒子，下列说法正确的是(　　) A．速度的最大值为 B．速度的最小值为 C．在磁场中运动的最短时间为 D．在磁场中运动的最长时间为 AD　解析：粒子从ab边离开磁场时的临界运动轨迹如图所示，由几何知识可知r1＝，2r2cos 45°＝O2c＝r2＋l，解得r2＝(1＋)l，粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝，故粒子的最大速度为vmax＝＝，最小速度vmin＝＝，A正确，B错误；由粒子从ab边离开磁场区域的临界运动轨迹可知，粒子转过的最大圆心角θmax＝180°，最小圆心角θmin>45°，粒子做圆周运动的周期T＝，则粒子在磁场中运动的最短时间tmin＝T>，最长时间tmax＝T＝，C错误，D正确。 学科网（北京）股份有限公司 $$