22.1.4二次函数 y＝ax²＋bx＋c的图象和性质(第2课时)（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十二章 二 次 函 数 22.1.4 二次函数的图象和性质 第 二 课 时 22.1二次函数的图像与性质 学 习 目 标 1 2 3 会用待定系数法求二次函数的表达式。 经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识，为进一步学习、研究函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 进一步培养学生的数学抽象意识、数学建模意识和逻辑推理能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。 二次函数图像特征 知识回顾 练一练 配方 对称轴：直线； 顶点坐标：(， ) 1．抛物线的顶点坐标为（ ） 解：∵ 解：∵ 顶点坐标（3，-4） 顶点坐标（3，-4） 直接利用顶点坐标公式 配方为顶点式 知识回顾 2．将二次函数化为的形式，结果为（ ） A． y=(x+1)2+4 B． y=(x-1)2+4 C． y=(x+1)2+2 D． y=(x-1)2+2 3．抛物线的对称轴是直线（ ） 练一练 D 解： 解： 化为一般式 配方为顶点式 D 知识回顾 导入新课 已知一次函数y=kx+b(k≠0)图象上两点用待定系数法可以确定这个一次函数的解析式，即直线的解析式 议一议 如果一条直线过和点， （两点的连线不与坐标轴平行）,如何确定这条直线函数的解析式？ 待定系数法 (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 设一次函数的解析式为 将 和 点坐标代入 ， 解方程组求出的值 5 二次函数图像特征和性质 导入新课 议一议 二次函数图像和性质与各项系数由怎样的关系？ 开口方向 顶点坐标 对称轴 a 决定 a，b 共同决定 c 还能确定什么点？ 抛物线与y轴的交点（0，c） 直线 (， ) 增减性 开口方向，对称轴 a，b 共同决定 a，b，c 共同决定 当时， 只要二次函数中的系数a，b，c确定，图像特征和性质就能确定 典例分析 探究点1 确定二次函数的条件 例1.有一个二次函数，当x＝0时，y＝－1；当x＝－2时，y＝0；当x＝时，y＝0；求这个二次函数解析式。 解：设一次函数的解析式为， 把x＝0，y＝－1；x＝－2，y＝0；x＝时，y＝0代入得： c = -1 4a - 2b + c = 0 a + b + c = 0 解得： a = 1 b = c = -1 ∴这个二次函数解析式是：y = x2- x - 1. 由已知条件(三对对应值)代入列出关于a，b，c的方程组，求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式． 方 法 新知探究 探究点2 确定二次函数的条件（三点坐标） （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ （2）如果一个二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三个点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 议一议 一般式： 三个系数 顶点式 ： 三个系数 3个待定系数，3个条件，三点坐标 不在同一直线上的三点（任意两点的连线不与坐标轴平行）。 新知探究 探究点1 确定二次函数的条件（三点坐标） 如果一个二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）三个点，求出这个二次函数的解析式 做一做 解：设一次函数的解析式为， (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 将（-1,10），（1,4），（2,7）三点坐标代入得 a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7 解得： a = 2 b = -3 c = 5 ∴这个二次函数解析式是：y=2x2-3x+5. 方 法 例2．已知抛物线与x轴的交点是 ,，经过点 (1)求该抛物线的函数解析式； (2)设该抛物线的顶点为M，求 △ABM的面积． 典例分析 探究点2 确定二次函数的条件（三点坐标） （1）解：设抛物线的解析式为，把三点 ,， 代入得： ∴抛物线的解析式为 解方程组得 （2）解： ∴抛物线的顶点 y O x 新知探究 探究点3 利用顶点式求二次函数的解析式 填一填 （1）顶点坐标是（-3,4）， 则h=_____,k=______， -3 a（x+3）2+4 4 已知抛物线. （2）对称轴为直线x=1，则___________， 代入得y= ； 代入得y=______________. h=1 a（x-1）2+k ٭还需几个条件能确定解析式？ 1个条件 2个条件 （3）当x=2时函数取得最大值5，则 ___________ ， a（x-2）2 + 5 1个条件 ٭已知顶点坐标或对称轴或最值时设解析式为一般式可以求出解析式吗？ ٭哪种方法更方便？ 已知抛物线的顶点为(－2，5)，且点(1，－4)在抛物线上，求抛物线的解析式． 新知探究 探究点3 利用顶点式求二次函数的解析式 做一做 解：∵抛物线的顶点坐标为(－2，5)， ∴可设抛物线的解析式为 ． ∵抛物线过点(1，－4)，代入得： ∴，解得. ∴所求抛物线的解析式为 当已知条件有顶点坐标或对称轴或最高（低）点的纵坐标时，用顶点式求函数表达式较为方便。 方 法 典例分析 探究点3 利用顶点式求二次函数的解析式 例3.如图，抛物线的对称轴为y轴，求图中抛物线的解析式． 解：∵抛物线对称轴为y轴且过点 (0，3)，∴可设抛物线解析式为 . ∵抛物线过点 (1，1)，代入得： 解得：. ∴抛物线解析式为 【分析】 根据已知的抛物线的得到函数图象顶点坐标(0，3),且过点(1，1)，用顶点式求二次函数解析式． (0，3) (1，1) 拓展提升 1．如图，抛物线 与轴交于点 和 ，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是线段 下方抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线交 于，交轴于，恰有线段 ，求此时点的坐标． 1）解：把点 和 代入中 解得： 拓展提升 1．如图，抛物线 与x轴交于点 和 ，与轴交于点，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是线段下方抛物线上的一个动点（不与点重合），过点作轴的平行线交 于，交轴于，恰有线段 ，求此时点的坐标． 解得： （2）解：令，则， ∴ 设 的解析式为 ∴ 设点 则 ∴ ∵ ∴ 解得： 或 ∵点是线段下方 ∴ ∴ ∴ 15 巩固练习 1．如图，已知抛物线与x轴交于点 和 两点，且过点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的对称轴和顶点 的坐标． （1）解：设抛物线的解析式为，把三点 ,代入得： ∴抛物线的解析式为 解方程组得： （2）解： ∴抛物线的对称轴：直线，顶点 巩固练习 2.已知抛物线的顶点是 ，且经过点 ，求该抛物线的函数解析式． 解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为 ． ∵抛物线过点(1，－6)，代入得： ∴， 解得：. ∴所求抛物线的解析式为 真题感知 1．(2025•福建)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　　) A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 A 解：∵y＝3x2＋bx＋1， ∴当x＝0时，y＝1， ∴抛物线过点(0，1)， ∴抛物线的开口向上，对称轴：， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点A(－2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于B(1，y2)到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2， 2.（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为 ． 解：把，，代入， 解得 ∴ 把代入 解得 ， ∴， 真题感知 课堂小结 已知不在同一直线上的三点（任意两点的连线不与坐标轴平行）或三个独立的条件。 已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式 二次函数常用的几种解析式的确定方法 一般式 y=ax2+bx+c (a≠0) 顶点式 y=a(x-h)2+k (a≠0) 用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式. 注意 设 代 解 写 设函数解析式 代入已知条件列方程（组） 解方程（组） 写出解析式 待定系数法 1.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与 时，y=0，求这个二次函数的解析式. 课后练习 教材P40练习 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c. 把点 (0, -1)，(-2, 0)，( , 0)代入可得 解得 ∴抛物线的解析式为 2.一个二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9）三个点，求出这个二次函数的解析式 解：设一次函数的解析式为， 将（0,0），（-1,-1），（1,9）三点坐标代入得 解得 ∴抛物线的解析式为 教材P40练习 3.已知二次函数的图象经过点（-1，-8） ，顶点为（2,1） ． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求图象与x 轴的交点坐标； (3)当x为何值时，y随着x的增大而减小． 课后练习 解（ 1 ）∵抛物线的顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为 ． ∵抛物线过点(-1，－8)，代入得： ∴， 解得：. ∴所求抛物线的解析式为 （2）令 得： 解得： ∴图象与轴的交点坐标： （1,0），（3,0） （3）∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为， 又∵ ，抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∴时，y随x的增大而减小， 感谢聆听! $$