重难点培优02 充分必要条件（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 充分必要条件 目录 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 充分条件与必要条件的判断（★★） 2 题型二 根据充分条件求参数取值范围（★★★） 5 题型三 根据必要条件求参数取值范围（★★★★） 8 题型四 根据充要条件求参数取值范围（★★★★）...............................................................................12 03 实战检测・分层突破验成效 14 检测Ⅰ组 重难知识巩固 14 检测Ⅱ组 创新能力提升 20 一、充分条件、必要条件与充要条件的判断 1.从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 2.从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 二、求参 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上． 解题时需注意： (1)把充分条件．必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 题型一 充分条件与必要条件的判断 【技巧通法·提分快招】 1.判断充分条件、必要条件的注意点 (1)明确条件与结论. (2)判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题. (3)可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q. 2.充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法： ①确定谁是条件，谁是结论; ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件; ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. (2)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件; ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. 1．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 2．（2025·天津武清·模拟预测）设且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 解得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2025·天津静海·三模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合根式的意义和对数函数性质依次分析充分性和必要性即可求解. 【详解】若“”则， 所以当时，“”不成立，故充分性不成立； 若“”，因为是增函数， 所以，所以“”，故必要性成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（2025·天津北辰·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义、以及指数函数的性质判断即可. 【详解】取，满足，但得不出， 所以“”是“”的不充分条件； 由，可得，又因为在上单调递增， 所以，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5．（2025·天津·二模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】构造函数，利用函数在单调递增检验充分必要性即可求解. 【详解】令，在上都为增函数，在单调递增， 又a，，所以， 即“”是“”的充要条件， 故选：C 6．（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得且， 因为“”“且”，“”“且”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（2025·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据相关幂函数、对数函数的单调性判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】对于函数在R上单调递增，由，，知， 由函数在上单调递增，则，故充分性成立； 由上，有，进而有，故必要性也成立； 所以“”是“”的充要条件. 故选：A 8．（2025·天津·开学考试）已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据不等式的特征，举例说明充分必要性. 【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 题型二根据充分条件求参数取值范围 【技巧通法·提分快招】 化简p、q两命题， 根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 利用集合间的关系建立不等关系， 求解参数范围． 1．（2025·天津·一模）若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将两个不等式分别化简，然后根据题意列出不等式，求解即可. 【详解】因为，则 因为，则 即是的充分而不必要条件， 所以 故选:B. 2．（2025·天津南开·二模）方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（    ） A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞) C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1] 【答案】D 【分析】化x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0为， 由0求得k的范围，然后逐一核对四个选项得答案. 【详解】由x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0，得， 若方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆，则0，即﹣2＜k＜2. ∴A，B为方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的既不充分也不必要条件，C为充要条件， 而（0，1]⊂（﹣2，2），则D为充分不必要条件. 故选：D. 3．（2025·天津·调研）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得不等式的解，由已知可得（两个等号不能同时成立），求解即可. 【详解】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以（两个等号不能同时成立），解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 4．（2025·天津南开·期中）已知， ，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件的定义，列式求解即得. 【详解】由是的充分不必要条件，得，则， 所以的取值范围是. 故选：B 5．（2025·天津·调研）已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，根据p是q的充分不必要条件得到，求出a的取值范围. 【详解】令，， 因为p是q的充分不必要条件， 所以，所以. 故选：D. 6．（2025·天津·联考）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围. 【详解】因为是的充分不必要条件， 所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”， 所以，可得. 故选：C. 7．（2025·天津北辰·模拟预测）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分不必要条件的定义求出a的取值范围. 【详解】因为p是q的充分不必要条件，则，于是， 所以a的取值范围是. 故选：C 8．（2025·天津宝坻·联考）已知:或，:，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由条件是的充分不必要条件，即表示的集合是表示的集合的真子集，再借助数轴表示集合的包含关系，即可得解. 【详解】设表示的集合为或，表示的集合为， 由是的充分不必要条件，可得是的真子集，利用数轴作图如下： 所以 故选：D. 题型三 根据必要条件求参数取值范围 【技巧通法·提分快招】 化简p、q两命题， 根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 利用集合间的关系建立不等关系， 求解参数范围． 1．（2025·天津·模拟预测）某药品检测机构定义集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式可得，即可写出，由题意知且，即可根据集合之间的关系求得m. 【详解】由，即，故． “”是“”的必要不充分条件且． 由且，结合， 故. 故选：C 2．（2025·天津南开·一模）已知命题，命题，且的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解一元二次不等式化简命题，根据的一个必要不充分条件是列式可得结果. 【详解】命题，解之得：或， 命题，且的一个必要不充分条件是， 则，即的取值范围是. 故选：A 3．（2025·天津·开学考试）若“”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设,从而,根据题意得不到,而能得到,并且能知道函数为增函数,并且有时,,从而得出. 【详解】若,即,设,则易得该函数为增函数,根据题意“不等式成立,即成立”能得到“”,并且反之不成立. 因为时,,故. 故选：A 4．（2025·天津·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先解不等式化简、，结合是的必要不充分条件，得到不等关系，解得即可. 【详解】由，解得或， 即：“或”， 由，即，解得， 所以：“”， 因为是的必要不充分条件， 所以或，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：B 5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到是的真子集，比较区间端点，即可求解. 【详解】， ， 因为是的必要不充分条件， 所以是的真子集, 可得，等号不同时成立，结合，解得， 所以的取值范围为， 故选：B 6．（2025·天津·一模）已知函数，若是上的增函数，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的包含关系，分类讨论时， 的解集即可求解； 【详解】是上的增函数，得， 考虑 当时，等价于得：. 当时，等价于， 当时，由，可得：，又，此时解集为， 也即的解集为符合题意； 当时，由，可得：，又，此时解集为， 也即的解集为，不符合题意； 当时，由，可得：，又，此时解集为， 也即的解集为，符合题意； 综上可知：的取值范围是. 故选：B 7．（2025·天津·期末）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式求出集合、，再根据题意得，可得答案. 【详解】集合或， 集合， 若是的必要不充分条件，则， 所以，解得. 故选：A. 8．（2025·天津·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二次不等式分别求出和的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可. 【详解】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 题型四 根据充要条件求参数取值范围 【技巧通法·提分快招】 化简p、q两命题， 根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 利用集合间的关系建立不等关系， 求解参数范围． 1．（2025·天津红桥·开学考试）直线：与直线：互相垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直求出，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】解：若直线：与直线：互相垂直， 则，解得， 所以直线：与直线：互相垂直的充要条件是. 故选：C. 2．（2025·天津·期中）“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化为，解得答案. 【详解】，，即，即. 故选：. 3．（2025·天津滨海新·模拟预测）对任意的，函数存在极值点的充要条件是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】对函数进行求导，让导函数等于零，方程一定有两个不等实根即可. 【详解】有两个不等实根，因此有 或. 故选：C 4．（2025·天津·课调研）设，则为上的增函数的充要条件是（    ） A． B．， C．， D． 【答案】D 【分析】求导，得到对恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】，为上的增函数， 对恒成立， ， ． 故选：D 5．（2025·天津·模拟预测）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】由题意可得，进而可求的值. 【详解】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 6．（2025·天津·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为，代入运算求解即可. 【详解】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 7．（2025·天津·期末）命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出当命题为真命题时实数的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论. 【详解】若命题为真命题，则方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，，解得， 因此，使命题成立的充分必要条件是. 故选：B． 8．（2025·天津·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津南开·二模）已知，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求解分式不等式，求得的范围，进而从充分性和必要性进行判断即可. 【详解】，即，，解得或； 故当时，可以推出；当，推不出； 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性可判断得出结论. 【详解】根据题意由指数函数的单调性可知能推出， 即充分性成立； 由可推出，不能推出，即必要性不成立； 因此命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 3．（2025·天津河西·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】解出两不等式的解集，并根据其包含关系判断即可. 【详解】易知不等式的解集为， 不等式的解集也为， 所以“”是“”的充分必要条件. 故选：C 4．（2025·天津和平·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由充分必要条件的概念判断即可. 【详解】若，则，反之若，则， 所以是的充要条件. 故选：C 5．（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线的位置关系，结合充分条件、必要条件的概念即可求解. 【详解】当时，，则； 若，则，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．（2025·天津红桥·一模）已知命题，命题，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据对数以及指数的单调性化简，即可求解. 【详解】由可得， 由可得， 因此，但， 因此命题p是命题q的充分不必要条件， 故选：A 7．（2025·天津河西·一模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法结合对数运算即可判断. 【详解】若，此时，但，即，所以“”不是“”的充分条件； 若，则，得，所以“”是“”的必要条件； 故选：B. 8．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断条件间的推出关系，即可得. 【详解】若，如，但不成立，充分性不成立； 若，显然同号且不为0，则成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 9．（2025·天津宁河·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（   ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，结合必要不充分的定义即可判断. 【详解】若，则，又，可得; 反之，若，不一定有， 如图，，，但.    所以是的必要不充分条件. 故选：. 10．（2025·天津武清·一模）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】借助函数单调性，分别找出其等价条件，再利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】充分性：当时，可得. 但是对数函数中，的取值范围是，当时，和无意义，所以由“”不能推出“”，充分性不成立. 必要性：因为对数函数的定义域为，若，根据对数函数的性质，对数相等则真数相等，所以可得. 对，可得，所以由“”可以推出“”，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 11．（2024·天津·模拟预测）已知,，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据，再利用充分必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，,则， 若，则，等价于，能推出， 所以“”是“”的充分条件； 反之，若，则，即； 所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的充要条件； 故选：C. 12．（2024·天津滨海新·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的概念推理即可． 【详解】若，，，则，则， ∴“”是“”的不充分条件； 若，∵，∴，即， ∴“”是“”的必要条件； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：D． 13．（2024·天津·二模）已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解. 【详解】由，解得，由，解得， 所以能推出，不能推出，则是的充分不必要条件. 故选：A 14．（2025·天津·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据充分条件在集合中的表示方法，判断集合的包含关系即可. 【详解】由题意，得，因为是的充分条件， 所以即， 已知二次函数，开口向上，与轴交于， 仅当满足． 故选：D． 15．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解不等式，得到集合，再由“”是“”成立的充分不必要条件， 分析得到，再列出不等式组，求解即可. 【详解】由解得，故， 因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以，所以有，解得， 故选：A. 16．（2025·天津·一模）已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出曲线在点处的切线方程，联立得，使方程无解即可求出实数的范围，再根据充分不必要条件的定义即可确定选项. 【详解】因为，所以，则切线斜率， 故曲线在点处的切线方程为，即， 联立，得， 因为切线与曲线没有公共点， 所以方程没有实数解， 当时，方程有唯一解，不满足题意， 当时，，可得. 综上所述，， 由是的真子集，符合题意. 故选：B. 17．（2025·天津·调研）已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系求解即得. 【详解】由是的充分不必要条件，得是的非空真子集， 则，解得，而当时，，当时，符合题意， 所以实数的取值范围为. 故选：C 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·模拟预测）荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分必要条件的定义求解. 【详解】荀子的名言表明至千里必须积跬步，积跬步未必能至千里，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件. 故选:A. 2．（2025·天津·二模）设为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则的充要条件是.那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】C 【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前项和性质分析②的真假，综合可得答案. 【详解】根据题意，对于命题①，是公差不为零的等差数列， 若，则在中，至少有一项为， 假设，则， 必有， 反之，在等差数列中，若， 则，有，则成立， 但不成立， 故是的必要非充分条件，故①正确； 对于命题②，若是等比数列，设其公比为，若，时， 有，则中，至少有一项为，则， 假设则有必有， 又由，必有为偶数且，故， 反之，若，则，必有，则有，， 则， 若是等比数列且，，则的充要条件是， 故②正确. 故选：C. 3．（2025·天津·期末）已知数列的前项和、前项和、前项和分别为、、，则“为等比数列”的一个必要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析得所选条件由“为等比数列”推得成立，再举反例排除ACD，利用等比数列的通项公式推得B选项的条件成立，从而得解. 【详解】依题意，要成为“为等比数列”的必要条件， 则“为等比数列”推出该条件成立， 对于ACD，当为等比数列时，不妨取数列，， 则， 此时，故A错误； 此时，故C错误； 此时，故D错误； 对于B，当为等比数列时，设等比数列的公比为， 则， ， ， 所以，即， 所以，故B正确. 故选：B. 4．（2025·天津·一模）已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 【答案】C 【分析】对于①：根据“阶弱减数列”的定义结合充分必要条件分析判断；对于②：分析可得对一切正整数恒成立，分、和三种情况，分析求解. 【详解】对于①：因为， 若该数列为“弱减数列”， 因为，则， 可得，即， 同理可得，所以； 当时，， 所以该数列为“弱减数列”； 综上所述：数列是“阶弱减数列”的充要条件是，故①是真命题； 对于②：因为，显然， 若存在使得数列为“2阶弱减数列”， 则，即，整理得， 所以对一切正整数恒成立， 若，当时，当，则； 当为奇数，； 可知不合题意，所以， 则， 当时， 则， 可得，不合题意； 若，取，则，符合题意； 若，则，则， 取，则，符合题意； 综上所述：存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．故②是真命题. 故选：C. 5．（2025·天津·调研）定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】易于判定①正确，②错误，③错误，④不易判定，可以绕开，利用排除法得到只有答案正确.也可用分离函数法，借助于数形结合思想判定④正确. 【详解】,故①正确； 由可知，可知，所以，故②错误，故AC错误； , ,，故③错误，故B错误； 对于，显然不是方程的解，可化为， 考察函数和的图象的交点，除了(-1,0)外，其余点关于点(0,1)对称，从而和为零，故总和为，故④正确.故D正确. 故选：D 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优02 充分必要条件 目录 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 充分条件与必要条件的判断（★★） 2 题型二 根据充分条件求参数取值范围（★★★） 3 题型三 根据必要条件求参数取值范围（★★★★） 4 题型四 根据充要条件求参数取值范围（★★★★）...............................................................................5 03 实战检测・分层突破验成效 7 检测Ⅰ组 重难知识巩固 7 检测Ⅱ组 创新能力提升 8 一、充分条件、必要条件与充要条件的判断 1.从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件. 2.从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件. 二、求参 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上． 解题时需注意： (1)把充分条件．必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． 题型一 充分条件与必要条件的判断 【技巧通法·提分快招】 1.判断充分条件、必要条件的注意点 (1)明确条件与结论. (2)判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题. (3)可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q. 2.充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法： ①确定谁是条件，谁是结论; ②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件; ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. (2)命题判断法： ①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件; ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件. 1．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津武清·模拟预测）设且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·天津静海·三模）设，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·天津北辰·三模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·天津·二模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·天津滨海新·三模）已知、，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·天津·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·天津·开学考试）已知x，y是实数，则“”是“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型二根据充分条件求参数取值范围 【技巧通法·提分快招】 化简p、q两命题， 根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 利用集合间的关系建立不等关系， 求解参数范围． 1．（2025·天津·一模）若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·二模）方程x2+y2﹣kx+2y+k2﹣2＝0表示圆的一个充分不必要条件是（    ） A．k∈(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞) B．k∈(2，+∞) C．k∈(﹣2，2) D．k∈(0，1] 3．（2025·天津·调研）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 4．（2025·天津南开·期中）已知， ，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·调研）已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·联考）已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·天津北辰·模拟预测）已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津宝坻·联考）已知:或，:，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据必要条件求参数取值范围 【技巧通法·提分快招】 化简p、q两命题， 根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 利用集合间的关系建立不等关系， 求解参数范围． 1．（2025·天津·模拟预测）某药品检测机构定义集合，．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·天津南开·一模）已知命题，命题，且的一个必要不充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·开学考试）若“”是“不等式成立”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·期中）已知：“”是：“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北秦皇岛·一模）已知，集合，若是的必要不充分条件，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·一模）已知函数，若是上的增函数，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·期末）已知集合，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·天津·模拟预测）已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四 根据充要条件求参数取值范围 【技巧通法·提分快招】 化简p、q两命题， 根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， 利用集合间的关系建立不等关系， 求解参数范围． 1．（2025·天津红桥·开学考试）直线：与直线：互相垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·期中）“，”为真命题的充分必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津滨海新·模拟预测）对任意的，函数存在极值点的充要条件是（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（2025·天津·课调研）设，则为上的增函数的充要条件是（    ） A． B．， C．， D． 5．（2025·天津·模拟预测）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 6．（2025·天津·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 7．（2025·天津·期末）命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分必要条件是（　　） A． B． C． D． 8．（2025·天津·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津南开·二模）已知，则“”是“”的（   ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津红桥·二模）已知命题 ，命题，则命题是命题的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·天津河西·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025·天津和平·一模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·天津和平·二模）若，直线：，直线：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·天津红桥·一模）已知命题，命题，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2025·天津河西·一模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（2025·天津南开·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025·天津宁河·一模）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面．则是（   ） A．充分不必要条 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2025·天津武清·一模）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．（2024·天津·模拟预测）已知,，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2024·天津滨海新·三模）已知，，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 13．（2024·天津·二模）已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．（2025·天津·模拟预测）设，，若是的充分条件，则（    ） A． B． C． D． 15．（2025·河北·模拟预测）已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·天津·一模）已知，使得命题“曲线在点处的切线与曲线没有公共点”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·天津·调研）已知集合不是空集，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·模拟预测）荀子曰：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言，阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·天津·二模）设为数列的前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则的充要条件是.那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 3．（2025·天津·期末）已知数列的前项和、前项和、前项和分别为、、，则“为等比数列”的一个必要条件为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·一模）已知数列为无穷数列．若存在正整数，使得对任意的正整数，均有，则称数列为“阶弱减数列”．有以下两个命题：①数列为无穷数列且（为正整数），则数列是“阶弱减数列”的充要条件是；②数列为无穷数列且（为正整数），若存在，使得数列是“阶弱减数列”，则．那么（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①､②都是真命题 D．①､②都是假命题 5．（2025·天津·调研）定义表示不超过的最大整数，.例如：，.①；②存在使得；③是成立的充分不必要条件；④方程的所有实根之和为，则上述命题为真命题的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$