重难点培优01 利用导数研究函数零点（复习讲义）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 利用导数研究函数零点 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 利用导数判断函数零点个数（★★★★★） 2 题型二 根据零点情况求参数（范围）（★★★★★） 5 题型三 根据零点情况证明（★★★★★） 7 题型四 与零点有关的求值或范围问题（★★★★★） 9 题型五 与零点有关的新定义问题（★★★★★） 10 03 实战检测・分层突破验成效 12 检测Ⅰ组 重难知识巩固 12 检测Ⅱ组 创新能力提升 14 一．函数的零点 1.函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2.函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 二、导数与函数性质的关联 导数的核心作用是分析函数的单调性、极值、最值，这些性质是研究零点的关键（函数图像的 “走向” 由这些性质决定）。 1.单调性： 求导得f′(x)，解不等式f′(x)>0得递增区间，f′(x)<0得递减区间。 结论：单调函数的图像 “不回头”，零点个数最多为 1。 2.极值与最值： 极值点：导数为零且左右导数异号的点（即f′(x0)=0，且f′(x)在x0两侧符号改变）。 极大值：若x0左侧f′(x)>0、右侧f′(x)<0，则f(x0)为极大值； 极小值：若x0左侧f′(x)<0、右侧f′(x)>0，则f(x0)为极小值。 最值：闭区间上的连续函数，最值为极值与端点值中的最大 / 最小值；开区间或无穷区间需结合极限趋势分析。 三．利用导数研究零点的核心思路 步骤：定义域→求导→分析单调性→求极值 / 最值→结合端点趋势→画图像→判断零点。 四．不同类型函数的零点分析 1. 单调函数的零点（最多 1 个零点） 2. 非单调函数的零点（含极值，可能多个零点） 3. 含参数函数的零点个数讨论 当函数含参数（如f(x)=kx+g(x)）时，需通过参数分类，分析极值与 0 的关系随参数的变化。 步骤：（1）求导并确定极值点（可能含参数）；（1）表达极值（含参数的表达式）；（3）令极值等于 0，解出参数的 “临界值”（划分参数区间的依据）；（4）按参数区间讨论极值与 0 的关系，结合单调性和端点趋势，确定零点个数。 题型一 利用导数判断函数零点个数 【技巧通法·提分快招】 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件． 解决有关函数有零点(方程有根)问题常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1.已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 2．已知函数，． (1)求函数的最小值； (2)过点的直线与交于A､B两点，求证：为定值； (3)求证：有且只有两条直线与函数的图像都相切． 3．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 4．（24-25高三上·上海·期中）若函数的图象上有两个不同点，处的切线重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”. (1)试判断函数与的图象是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图象的“自公切线”方程； (3)若，求证：函数，有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”. 5．已知为实数，函数. (1)若函数在处的切线斜率为2，求的值； (2)讨论函数在上的零点个数； (3)设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围. 6．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)证明：当时，； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 7.（24-25高三上·上海·期中）已知，. (1)若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； (3)记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 题型二 根据零点情况求参数（范围） 【技巧通法·提分快招】 根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图象的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 8．函数，且. (1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (2)，且在上有零点，求的取值范围. 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 10．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 题型三 根据零点情况证明 11.已知，记，，． (1)试将、、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数； (2)借助（1）的结果，求函数的导函数和最小值； (3)记，a是实常数，函数的导函数是．已知函数有三个不相同的零点．求证：． 12.已知，，. (1)若，，写出曲线的一条水平切线的方程； (2)若，使得，，，形成等差数列，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求的取值范围． 13.已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 14．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 15．（24-25高三上·上海·期中）函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数. (1)已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由； (2)已知，函数是上的绝对增函数，求的值； (3)函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点. 题型四 与零点有关的求值或范围问题 16．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 17．（24-25高三上·上海·期中）设函数的定义域为开区间.若存在，使得曲线在处的切线与曲线只有唯一的公共点，则称切线是函数的一条“切线”. (1)求证：直线是函数的一条“切线”； (2)设，求证：函数存在无数条“切线”； (3)设，.若曲线在处的切线是函数一条“切线”，求的取值范围. 18．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 题型五 与零点有关的新定义问题 19．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 20.定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 21.设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． (1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； (2)已知，．证明：点是的0度点； (3)求函数的全体2度点构成的集合． 22.对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”． (1)试分别判断函数，和，是不是“卓然”函数？并说明理由； (2)若是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围； (3)证明：是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数，正确的命题是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在定义域上是严格增函数 D．有两个不同的零点 2．已知函数，则以下正确的个数有（    ） （1）有两个极值点；（2）的驻点为和；（3）有3个零点；（4）直线是曲线的切线. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．已知函数，若函数恰有三个零点时，（其中，为正实数），则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D．9 4．已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点；      （2）存在实数，使得的值域是； （3）存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知函数，其中为正整数，且为常数．若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 . 7．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是 ．(填序号) ①是的一个周期；           ②在上是增函数； ③的最小值为；            ④在上有3个零点． 三、解答题 8．已知函数的导函数为，的图像在点处的切线方程为，且，函数． (1)求函数的解析式． (2)令，讨论函数在的零点个数． (3)若函数与函数的图像在原点处有相同的切线．若对于任意恒成立，求m的取值范围． 9．已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 10．设a是实常数，并记． (1)当时，求函数的单调减区间； (2)是否存在a，使得函数在实数范围内有且仅有三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求所有满足条件的a的值；若不存在，说明理由． 检测Ⅱ组 创新能力提升 一、单选题 1．（2025·上海徐汇·二模）已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 2．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 二、填空题 3．已知函数在上有零点，则实数的取值范围 . 4．已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为 ． 5．若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围是 . 三．解答题 6．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，直线是函数在处的切线. (1)当时，求函数的单调减区间； (2)求证：直线不经过原点； (3)当时，设点、、、为与轴的交点，与分别表示和的面积.是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由. 7.已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求k的值； (3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围. 8.已知函数的极小值为1． (1)求实数a的值； (2)设函数． ①证明：当时，，恒成立； ②若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 9．已知函数，其中为正整数，且为常数． (1)求函数的单调增区间； (2)若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，求a的取值范围； (3)设是函数大于0的零点，其构成数列．问：是否存在实数a使得中的部分项：，，，（其中时，）构成一个无穷等比数列若存在；求出a；若不存在请说明理由． 10.设函数． (1)设，求函数的单调区间； (2)求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件； (3)设，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得. 11．（2023·上海闵行·一模）已知，． (1)若为函数的驻点，求实数的值； (2)若，试问曲线是否存在切线与直线互相垂直？说明理由； (3)若，是否存在等差数列、、，使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由． 12.已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点； (3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列． 13.已知函数，. (1)若直线是曲线在处的切线，求的表达式； (2)若任意且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合； (3)当时，方程在区间上恰有1个解，求k的取值范围. 14．（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 15．（2025·上海浦东新·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得 ，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“2次缠绕”，求的取值范围； (3)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (4)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 利用导数研究函数零点 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 利用导数判断函数零点个数（★★★★★） 2 题型二 根据零点情况求参数（范围）（★★★★★） 17 题型三 根据零点情况证明（★★★★★） 21 题型四 与零点有关的求值或范围问题（★★★★★） 30 题型五 与零点有关的新定义问题（★★★★★） 35 03 实战检测・分层突破验成效 42 检测Ⅰ组 重难知识巩固 42 检测Ⅱ组 创新能力提升 53 一．函数的零点 1.函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2.函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3.函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 二、导数与函数性质的关联 导数的核心作用是分析函数的单调性、极值、最值，这些性质是研究零点的关键（函数图像的 “走向” 由这些性质决定）。 1.单调性： 求导得f′(x)，解不等式f′(x)>0得递增区间，f′(x)<0得递减区间。 结论：单调函数的图像 “不回头”，零点个数最多为 1。 2.极值与最值： 极值点：导数为零且左右导数异号的点（即f′(x0)=0，且f′(x)在x0两侧符号改变）。 极大值：若x0左侧f′(x)>0、右侧f′(x)<0，则f(x0)为极大值； 极小值：若x0左侧f′(x)<0、右侧f′(x)>0，则f(x0)为极小值。 最值：闭区间上的连续函数，最值为极值与端点值中的最大 / 最小值；开区间或无穷区间需结合极限趋势分析。 三．利用导数研究零点的核心思路 步骤：定义域→求导→分析单调性→求极值 / 最值→结合端点趋势→画图像→判断零点。 四．不同类型函数的零点分析 1. 单调函数的零点（最多 1 个零点） 2. 非单调函数的零点（含极值，可能多个零点） 3. 含参数函数的零点个数讨论 当函数含参数（如f(x)=kx+g(x)）时，需通过参数分类，分析极值与 0 的关系随参数的变化。 步骤：（1）求导并确定极值点（可能含参数）；（1）表达极值（含参数的表达式）；（3）令极值等于 0，解出参数的 “临界值”（划分参数区间的依据）；（4）按参数区间讨论极值与 0 的关系，结合单调性和端点趋势，确定零点个数。 题型一 利用导数判断函数零点个数 【技巧通法·提分快招】 利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件． 解决有关函数有零点(方程有根)问题常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 1.已知函数.（其中为常数） (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)只有1个，理由见解析 【分析】（1）当时，求得，得到且，进而求得切线方程； （2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求解； （3）当时，求得在上有一个零点；当 时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数. 【详解】（1）解：当时，可得， 可得，所以且， 所以切线方程为，即， 即曲线所以曲线在点处的切线方程为. （2）解：由函数，可得函数的定义域为， 又由，令，解得，， 当时，与在区间的情况如下表： 极小值 ↗ 所以函数的极小值为，也是函数的最小值， 所以当时，函数的最小值为 （3）解：当时，，令，解得（舍去） 所以函数在上有一个零点； 当 时，与在区间的情况如下表： 0 0 ↗ 极大值 极小值 ↗ 所以函数在单调递增，在上单调递减， 此时函数的极大值为， 所以函数在上没有零点； 又由且函数在上单调递增， 且当时，， 所以函数在上只有一个零点， 综上可得，当时，在上有一个零点. 2．已知函数，． (1)求函数的最小值； (2)过点的直线与交于A､B两点，求证：为定值； (3)求证：有且只有两条直线与函数的图像都相切． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由求出其单调区间，即可得出最小值； （2）由题可知，直线的斜率存在，设，，，直线方程与联立，由根与系数关系得出和，代入，化简即可证明； （3）设直线与函数的图像都相切，设直线与函数相切于点，得出，再由直线与函数相切，则，则，两式联立，得，设，，由得出的单调区间，结合，，，即可证明． 【详解】（1），定义域为， 则，易得为增函数， 令，得， 当时，，则在单调递增； 当时，，则在单调递减； 故时，取得最小值2． （2）由题可知，直线的斜率存在，且， 设，，，不妨设， 则，消去得， 显然， ，， ， 所以为定值4． （3）设直线与函数的图像都相切， 故不等式，在定义域内恒成立，且两个等号都能取到， 因为，当时，， 所以， 设直线与函数相切于点， 则，，消去得， 又直线与函数相切， 于是，得， 故， 与联立，得， 设，， 则，显然单调递增， 令，得， 即函数在内单调递减，在内单调递增， 又，，， 即函数恰有两个零点，一个在区间内，一个在区间内， 综上，有且只有两条直线与函数的图像都相切． 3．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析， 【分析】（1）由题可得切线斜率，然后由点斜式可得切线方程； （2）由函数经过点可得，然后由单调性可完成证明； （3）通过导数研究性质可得与大致图象，从而可得关于的表达式，然后可完成证明，并能指出实数的取值范围 【详解】（1）时，，， ，，则曲线在点处的切线方程为： ； （2）证明：因函数经过点，则 .令，. 令；， 则在上递减，在上递增，则， 故由，可得. 则此时，，.令， 则在上递增， 注意到，结合在上递增， 则. 得在递减，在上递增，则. 即函数经过点时函数有且仅有一个零点1； （3）证明：，其中. ，令， 则，则在上递增. 注意到，， 则，使，结合在上递增. 则. 得在递减，在上递增， 则的极小值为 令，则 得在上单调递减， 故. 注意到，， 则，使； 令，在上递增， 则， 即； 令，. ， 则在递增，在上递减， 则. 则， 又，. 则，使. 则可得大致图象如下， 图象则相当于对图象做翻折变换，可得大致图象如下. 方程恰有三个不同的实数根，则直线与图象有3个交点， 由图可得时满足题意. 则对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根， 注意到 则时满足题意 令， 则，则在上递减， 则，. 则的范围为： 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常用零点存在性定理结合单调性进行分析，也可利用数形结合思想转化为函数图象与直线的交点问题. 4．（24-25高三上·上海·期中）若函数的图象上有两个不同点，处的切线重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”. (1)试判断函数与的图象是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图象的“自公切线”方程； (3)若，求证：函数，有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”. 【答案】(1)存在，不存在； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据“自公切线”的定义判断即可； （2）设切点，问题化为存在，使得，利用导数几何意义求切线方程，根据切线重合列方程求参数，即可得方程； （3）利用导数研究的单调性及其零点，假设的图象存在“自公切线”，存在且，使的图象在与处的切线重合，即对应导数值相等，结合三角函数线推出矛盾，即可证. 【详解】（1）因为直线是图象的一条“自公切线”，故函数的图象存在“自公切线”， 对于是严格减函数，故在不同点的切线斜率不同，所以函数的图象不存在“自公切线”， 所以的图象存在“自公切线”，函数的图象不存在“自公切线”； （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，存在，使得， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 因此，消去得， 令， 求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为， 因此，所以曲线的“自公切线”的方程为. （3）因为，， 所以在上恒成立，当且仅当时， 故是严格增函数，其至多有一个零点. 令，，其图象是连续曲线，且， 所以在上存在零点， 在上，存在零点，所以有唯一零点； 假设的图象存在“自公切线”，则存在且，使的图象在与处的切线重合， 故，且， 由得，不妨设，将代入，得， 在上图的单位圆中，于， 知，与矛盾. 故的图象不存在“自公切线”. 【点睛】关键点点睛：第三问，对于求证函数“自公切线”，注意应用反证思想，假设存在并利用导数值相等及三角函数线的关系推出矛盾为关键. 5．已知为实数，函数. (1)若函数在处的切线斜率为2，求的值； (2)讨论函数在上的零点个数； (3)设表示的最大值，设.当时，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数的性质，结合函数零点的定义、零点存在原理进行求解即可； （3）根据题中定义，结合导数的性质，给合函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）， 因为函数在处的切线斜率为2， 所以； （2）， 令， ， 令，解得. ①当，即时，在恒成立， 在为严格增函数， ， 由零点存在定理知在上有唯一零点. ②当时，在恒成立， 在为严格增函数， ，故在恒成立，没有零点. ③当时 - 0 + 极小值 最小值，无零点. 综上，时有一个零点，时没有零点. （3）当时，， 根据题中定义显然有. 当时， 时，， 根据题中定义显然有； 时， 根据题中定义显然有. 下考虑时的情况. ， 由解得，且 - 0 + 极小值 最小值. 令，则在为严格增函数. ①时， ，故， 故的最小值； ②时， 故在上的最小值， 而在上，，即在上， 此时. 综上，. 【点睛】关键点睛：本题的关键是理解题中定义含义，能够转化为不等式，能够运用分类讨论思想进行求解. 6．（2025·上海·模拟预测）已知，. (1)证明：当时，； (2)设，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； (3)求证：有且只有两条直线与曲线、均相切. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，求导确定最值即可求解； （2）构造函数，求导确定极值，讨论极值正负，即可； （3）假设直线，设直线与曲线相切于点，由导数的几何意义得.①再由直线与曲线相切，.②联立得得到.再构造函数，求导确定单调性进而可求解； 【详解】（1）令，定义域为， 求导，得，令，解得. 当时，，函数严格减； 当时，，函数严格增； 故当时，函数取到最小值，最小值为2. 因为，所以当时，，即. （2）令，， 求导，得，令，解得. 当时，，函数严格增； 当时，，函数严格减； 故当时，函数取到极大值，极大值为. 当，即时，函数无零点，即原方程无实数解； 当，即时，函数恰有一个零点，即原方程有一个实数解； 当，即时，函数有两个零点，即原方程有两个实数解. （3）假设直线与曲线、均相切， 故不等式在定义域内恒成立，且两个等号都能取到. 设直线与曲线相切于点，于是， 且，消去得.① 又直线与曲线相切，于是， 且其判别式.② 由①②两式，消，得. 设， 求导，得，令，解得. 易得函数在区间上严格减，在区间上严格增. 又，，， 进而可得函数恰有两个零点，一个在区间内，一个在区间内. 综上，有且只有两条直线与曲线、均相切. 【点睛】关键点点睛：设直线，由公切线得到，构造函数，求导确定零点个数. 7.（24-25高三上·上海·期中）已知，. (1)若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； (3)记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数在区间上的单调性可得，验证即可； （2）令得或，分类讨论与区间的位置关系，由函数的单调性求出对应的最大值即可； （3）由题意，根据函数的单调性求出函数的极值，令，作出函数的图象，结合图象即可证明. 【详解】（1）由题知，，因为是上的严格减函数，是上的严格增函数， 所以，即，解得. 当时，，， 显然时，，时，， 则在区间上严格减，在区间上的严格增， 所以满足要求. （2）因为，， 令，得或， 当即时，，是上的严格增函数， 所以，不满足要求； 当即时，，是上的严格减函数， 所以，满足要求； 当即时，若时，，若时，， 所以在区间上严格减，在区间上的严格增， 又， 则当时，，，解得， 当时，，满足要求， 当时，，满足要求， 综上，的取值范围. （3）由，得或，列表如下： 0 0 0 严格增 极大值 严格减 极小值 严格增 所以，. 令，因为，所以， 由函数的示意图（如图所示）， 可得有三个不相等的实数解，，，其中，，， 根据函数的单调性，且， 则，，即和均有且只有一个实数解， 设为和，则； 又， 而，是上的严格增函数， 所以， 所以，所以有且只有一个实数解，记为，显然， 综上，当时，方程有且仅有三个不相等的实数根， 所以函数有且仅有三个零点. 题型二 根据零点情况求参数（范围） 【技巧通法·提分快招】 根据函数的零点个数求解参数范围，一般方法： （1）转化为函数最值问题，利用导数解决； （2）转化为函数图象的交点问题，数形结合解决问题； （3）参变分离法，结合函数最值或范围解决. 8．函数，且. (1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明； (2)，且在上有零点，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增，证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意解出的值，再利用单调性的定义证明即可； （2）转化问题为在上有解，则有解，利用导函数求的单调性，进而求得取值范围即可. 【详解】（1）由题意可得，解得，所以， 在上单调递增，证明如下： 任取，则， 因为在上单调递增，且， 所以，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）得， 在上有零点，即在上有解，则有解， 令，则， 令解得，令解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，没有最大值， 所以. 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)证明见解析； (3)或 【分析】（1）求导之后，讨论单调性，再根据题设条件列式即可求解; （2）先判定的单调性，再结合（1）的结论放缩即可； （3）研究的单调性，极值的符号，再结合零点存在性定理的推论即可求解. 【详解】（1）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增，无极小值； 当时，令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，即． 综上，． （2），． ∵， ∴，即在上单调递减． ∴． 由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）． ∴，即． （3）． 当时，，在上单调递增，至多有一个零点． 当时，． 令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 设，． 令，；令，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以的最大值为． 当时，，只有一个零点； 当时，，又，． 所以有两个零点； 当时，， 由①知，当时，对，恒成立，又， 所以有两个零点； 综上：或 10．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的极小值为，没有极大值 (3)或 【分析】（1）先求得的导数，再代入即可得解； （2）利用导数与函数极值的关系直接求解即可得解； （3）根据题意，将问题转化为在上无解，构造函数，利用导数分析得其图象，再数形结合即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，解得. （2）由（1）知，又， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以有极小值，为，没有极大值. （3）令，得， 因为在区间上无零点，所以在上无解， 令，则与的图象没有交点， 而，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又当时，，则恒成立， 所以，则在上的大致图象如下， 数形结合可得或， 所以或. 题型三 根据零点情况证明 11.已知，记，，． (1)试将、、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数； (2)借助（1）的结果，求函数的导函数和最小值； (3)记，a是实常数，函数的导函数是．已知函数有三个不相同的零点．求证：． 【答案】(1) (2)，最小值为 (3)见解析. 【分析】（1）直接计算即可； （2）利用复合函数求导法则得，再结合导数和函数最值的关系即可得到答案； （3）首先求出，求出其单调性，假设，再利用函数的单调性即可证明. 【详解】（1） （2）利用复合函数的求导法则可求得, 令,可求得: 令，，，所以， 解得，当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以函数的最小值为. （3） 由， ， 令，解得，此时单调递增， 令，解得，此时单调递减， 因为函数有三个不相同的零点. 而的零点为1,不妨设,则的零点为. 不妨设,则. 令， 则. 令,则, 所以当时,，所以当时,是严格单调递增的, 所以当时,, 所以当时,, 则在上单调递增， 所以在上，,所以. 又,所以, 即. 又函数在上单调递增,所以， 即. 综上,. 12.已知，，. (1)若，，写出曲线的一条水平切线的方程； (2)若，使得，，，形成等差数列，证明：； (3)若存在，使得函数有唯一零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）把，代入，利用导数值为0求出切点坐标即可作答. （2）利用反证法结合均值不等式依次证明作答. （3）当时，利用导数探讨函数的单调性，确定函数有唯一零点，再证明当时，函数有两个零点作答. 【详解】（1）当，时，，求导得， 由，即，得，此时， 所以所求水平切线的方程为. （2）依题意，只需证明：， 而，，，成等差数列，则， 即， 此时，若，则，从而有， 又，且由知等号不成立，因此，与矛盾， 于是，同理， 所以. （3）依题意，， 当时，，函数在上严格递增， 从而当时，有唯一零点， 当时，，其中，而函数在上严格递增， 则当时，，而当时，， 于是函数在区间上严格递减，在区间上严格递增， 又，因此当且时，； 当且时，，而， 从而由零点存在定理知，连续函数在区间和上各有一个零点，即函数不可能有唯一零点， 所以的取值范围是. 13.已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域； （2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明； （3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明. 【详解】（1）由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. （2）当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故，   所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点，       于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 14．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【答案】(1)，固着点 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题设定义得，进而有，即可求解； （2）根据条件得到在区间上恒成立，从而有，即可求解； （3）法一，根据题设得到在上有唯一的解，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得的单调性，进而可得， 再构造函数，利用其单调性，即可求解；法二，前同法一，得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求其单调区间，利用单调性，即可求解. 【详解】（1）由题得，所以， 因为，所以，解得， 所以，固着点. （2）由题得，则， 所以，因为是上的严格增函数， 所以在区间上恒成立， 由，得到，所以， 所以，因此的最大值是. （3）（方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以  ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而  ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 15．（24-25高三上·上海·期中）函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数. (1)已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由； (2)已知，函数是上的绝对增函数，求的值； (3)函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点. 【答案】(1)函数是上的绝对增函数，理由见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求导，根据绝对增函数的定义分析判断即可； （2）求导，根据题意可得在内恒成立，结合正弦函数性质分析求解； （3）利用反证法，先证在上有唯一的零点，在结合导数与单调性之间的关系证明结果即可. 【详解】（1）函数是上的绝对增函数，理由如下： 因为，则，可得， 且，则，可得， 所以函数是上的绝对增函数. （2）因为，则， 可得， 若函数是上的绝对增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 因为，则， 令，解得， 可得，所以. （3）显然，均在上连续不断， 若函数是上的绝对增函数，则恒成立， 又因为函数在上有唯一的零点， 可知函数，均在上至多有一个零点，且必有一个函数有零点， 先证：在上有唯一的零点， 假设在上没有零点，则在上有唯一的零点， 可知（或）恒成立， 不妨设恒成立，则恒成立， 可知在上单调递增， 当是，，两者相矛盾； 所以假设不成立，即在上有唯一的零点； 再证：是函数的极值点， 假设不是函数的极值点， 则存在，使得，且在上为单调函数， 不妨设在上单调递增， 当时，， 可知在上单调递减，且，则； 当时，， 可知在上单调递增，且，则； 两者相矛盾，假设不成立，所以是函数的极值点. 题型四 与零点有关的求值或范围问题 16．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意结合函数零点存在定理即可证明； （2）先求导函数，再由题意将问题转化为存在，使得恒成立，进而得恒成立，求出在上的即可得解. （3）先由相依区间定义求得，从而将所需证明的问题转化为证明，，再构造函数结合导数证明即可. 【详解】（1）证明：当时，函数， 所以， 所以，即， 又函数在上处处相依， 所以导函数在上有零点； （2）因为， 所以， 因为函数在上处处相依， 所以存在，，使得， 故由题意存在，使得恒成立即恒成立， 所以恒成立， 又， 所以.所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数在的相依区间， 所以，则， 因为，单调递减；，单调递增； 所以，则， 要证，即证，即证，即证，， 令， 则， 令， 则， 因为，，， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即证得，， 从而得证. 【点睛】关键点睛：本题第三问的解题关键是根据相依区间的定义得到，进而结合条件利用分析法将问题转化为，，再构造函数证明即可. 17．（24-25高三上·上海·期中）设函数的定义域为开区间.若存在，使得曲线在处的切线与曲线只有唯一的公共点，则称切线是函数的一条“切线”. (1)求证：直线是函数的一条“切线”； (2)设，求证：函数存在无数条“切线”； (3)设，.若曲线在处的切线是函数一条“切线”，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据“切线”定义，及导数的几何意义判断直线是函数的一条“切线”即可； （2）问题化为证明，对任意均为函数的“切线”. （3）由题意，有唯一零点，讨论参数a研究的零点求参数范围. 【详解】（1）由于，设曲线在点处的切线为， 则，，， 所以，， 故直线是曲线在处的切线. 令，则，当且仅当时等号成立. 故函数在上严格减，知函数有唯一零点， 因此直线是函数的一条“切线”. （2）由于，故曲线在处的切线方程为. 下面证明：对任意，上述切线均为函数的“切线”. 令，则. 由于是严格减函数，且， 在上，函数单调递减； 在上，函数单调递增. 由于，故当时，恒有. 因此有唯一零点，即直线是的“切线”. 因此函数存在无数条“切线”. （3）函数的定义域，由于， 故. 令，直线是函数的一条“切线”，即有唯一零点. ，且， （i）若，则，在上， 故在上严格增，满足要求. （ii）若，在上，严格减，得. 由于，且函数的图象是连续曲线， 因此函数在上存在零点，不满足要求. （iii）若，在上，严格减，得. 令，则，且，于是. 由于函数的图象是连续曲线， 因此函数在上存在零点，不满足要求. 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为研究有唯一零点为关键. 18．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，根据曲线在点处的切线与轴平行，可得，即可求； （2）令，由已知函数在内存在极值，则在内有变号零点，通过求导判断函数的单调性，得出，，解不等式即可求解； （3）由已知在上恒成立，设，，通过求导判断函数的单调性求得最小值，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以； （2）由（1）可知， 因为函数在内存在极值， 所以在内有变号根， 因为，所以在内有变号根， 令，， 所以，由，得， 所以当时，，单调递减， 且，， 要使在内有变号根，即在内有变号零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）若对任意的实数，恒成立， 则，即在上恒成立， 设，， 所以， 设，则， 因为，所以，单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 题型五 与零点有关的新定义问题 19．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【答案】(1)不是“导可控函数”，说明见解析 (2)1个，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，依条件判断即可； （2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数； （3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证. 【详解】（1）若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . （2）依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； （3）因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 20.定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）根据C关系的理解，令，解得，从而得以判断； （2）利用换元法，结合二次函数的性质得到在上恒成立，分类讨论与，利用基本不等式即可求得a的取值范围； （3）构造函数，将问题转化为在上存在零点，分类讨论与，利用导数与函数的关系证得时，在上有零点，从而得解. 【详解】（1）与是具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得， 因为，，， 所以， 令，即，解得， 所以与具有C关系. （2）令， 因为，，所以， 令，则，故， 因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正， 又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立， 当时，显然成立； 当时，在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以， 综上：，即. （3）因为和， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时，因为，所以， 所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，显然当时，， 当时，因为在上单调递增，且， 故在上存在唯一零点，设为，则， 所以当；当；又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系， 综上：，即. 21.设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． (1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； (2)已知，．证明：点是的0度点； (3)求函数的全体2度点构成的集合． 【答案】(1)是函数的一个1度点；不是函数的1度点 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）求出曲线在点处的切线方程，该切线过点时，列出方程，求出一个根，满足要求，该切线过点，构造函数，解超越方程，无解，不合要求； （2）求出在点处的切线方程，转化为无解，构造，求导得到其单调性，证明出无解，故证毕； （3）求出切线方程，得到的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，设，分，与三种情况，进行求解. 【详解】（1）设，则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点， 该切线过点，故， 令，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，也时最小值，且， 故无解，点不是函数的一个1度点 （2）设，， 则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当（*）． 设，则当时，，故在区间上严格增． 因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点． （3）， 对任意，曲线在点处的切线方程为． 故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解． 设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点． 若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求． 若，因为， 由或时得严格增；而当时，得严格减． 故在时取得极大值，在时取得极小值． 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求． 故两个不同的零点当且仅当或． 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或． 综上，的全体2度点构成的集合为或． 22.对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”． (1)试分别判断函数，和，是不是“卓然”函数？并说明理由； (2)若是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围； (3)证明：是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围． 【答案】(1)是；不是；理由见解析 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）根据“卓然”函数的定义判断即可； （2）由题意可得有解，利用导数确定函数的单调区间，求出函数的值域即可得答案； （3）按照“卓然”函数的定义证明即可，再结合导数、零点存在定理及分类讨论思想求“卓然值”的取值范围即可. 【详解】（1）函数是“卓然”函数，因为， 当时，则有，，满足； 因为，， 当时，，而，所以，不可能成立， 即不存在实数，满足成立， 所以，不是“卓然”函数； （2）由题意可得，， 所以有解，即有解． 对于函数： 因为，， 所以；， 令，则，解得：， 所以严格增区间：， 严格减区间：，值域：． 所以实数的取值范围是． （3），，设， ， 当时，恒成立， 此时不存在使得成立，不合题意； 当时，在上严格减，所以在上严格增， 因为， 所以存在使，， 当时，严格减， 当时，严格增， 所以， 由，所以， 此时不存在使得成立，不合题意； 当时，若，则，从而， 所以在上严格增， 当时，设，则， 设，当时，在上严格增， 且，所以，从而， 所以在上严格增，所以， 从而，所以在上严格增， 又， 由零点存在性定理，存在使得， 即成立，符合题意； 当时，，显然存在零点符合题意； 当时，在上严格减， 且，所以，从而， 所以在上严格减， 又时，， 存在，使得，即， 当时，严格增， 当时，严格减， 又时，， 由零点存在性定理，存在使得， 即成立，符合题意； 综上所述，为“卓然”函数，该函数“卓然”取值范围是． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 一、单选题 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数，正确的命题是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在定义域上是严格增函数 D．有两个不同的零点 【答案】C 【分析】利用指数函数和对数函数的性质，结合特值法，即可判断. 【详解】对于A：因为，定义域，所以定义域，故A错误； 对于B：设，则，故B错误； 对于C：因为，所以在定义域上是严格增函数，故C正确； 对于D：设，则，又因为，且在定义域上是严格增函数，所以只有一个零点，故D错误. 故选：C. 2．已知函数，则以下正确的个数有（    ） （1）有两个极值点；（2）的驻点为和；（3）有3个零点；（4）直线是曲线的切线. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据函数的解析式，求得，从而判断函数的单调性，利用极值点和驻点的定义，可判断（1）（2）， 根据单调性和零点存在性定理可判断（3），求出函数的斜率为的切线方程可判断（4）. 【详解】对于（1），因为，令，得， 当，或，当时，， 则的增区间为，， 的减区间为，所以有两个极值点为与， 故（1）正确； 对于（2），因为，，所以的驻点为和，故（2）正确； 对于（3），因为的增区间，， 减区间为，又因为，，，所以有个零点，故（3）错误； 对于（4），，得，又， 则曲线的切线在点和的切线方程为和， 则直线不是曲线的切线，故（4）错误； 所以正确的个数是个. 故选：C. 3．已知函数，若函数恰有三个零点时，（其中，为正实数），则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D．9 【答案】D 【分析】将函数写成分段函数的形式，利用导数判断出函数的单调性，根据函数的图象与零点的关系可得的值，最后由基本不等式即可得结果. 【详解】， 当时，恒成立， ∴在上单调递减， ∴， 当时，为偶函数，在上单调递增，在上单调递减， ∴，即， 当时，恒成立，∴在上单调递增， ∴， 由此作出函数的草图如下所示， 由函数恰有三个零点，即与恰有三个交点， 所以，即， 又，， 所以 ， 即的最小值为9，当且仅当，时，等号成立， 故选：D. 4．已知函数，给出下列命题： （1）无论取何值，恒有两个零点；      （2）存在实数，使得的值域是； （3）存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对； （4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是．其中，正确命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】命题（1）利用零点即对应方程的根进行分析处理；命题（2）结合图象分析值域；命题（3）转化为两个函数与在上有两个交点问题进行处理；命题（4）画出的图象，利用数形结合分析处理，把直线绕定点旋转确定临界位置，从而确定结果． 【详解】对于命题（1），当时，由，得到，所以在上有一个零点， 当时，，当，得到，此时在上没有零点，所以命题（1）错误， 对于命题（2），当时，，要使值域为， 则当时，的值域应包含，所以， 此时对称轴，所以在区间上单调递增，又， 因此不存在，使值域为，所以命题（2）错误， 对于命题（3），当时，，其关于原点对称函数为， 要存在实数使得的图象上关于原点对称的点有两对， 即当时，与有两个交点， 当时，，其图象开口向下，又时，， 此时与有两个交点，如图1，所以存在使命题成立，所以命题（3）正确， 对于命题（4），对于时，，其图象如图2所示， 又过点，由，消得到， 由，得到，由图知，当时，与在上有2个交点， 又由，得到，当时，，所以在处的切线方程为， 又的图象与直线有且只有三个公共点，由图可知，所以命题（4）正确， 故选：B. 5．已知函数，其中为正整数，且为常数．若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求导函数，可以判断函数在上单调递增，进而转化为，再解不等式得对一切成立，进而得范围. 【详解】函数的导数， 当时，恒成立， 函数在上单调递增， 若函数在内均存在唯一零点，只需即可， 即 为正整数，， 对一切成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 故选：． 二、填空题 6．已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为 . 【答案】 【分析】设函数在区间上的零点为，带入函数变形得到，再利用柯西不等式得到，构造函数，求取最小值时的值即可. 【详解】设函数在区间上的零点为， 则，即， 两边平方得， 由柯西不等式可得，当且仅当时等号成立， 即，， 设，， 则， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减， 所以当时，在上取最小值，即取最小值. 证明柯西不等式：， 证明： ， 即 故答案为：. 7．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是 ．(填序号) ①是的一个周期；           ②在上是增函数； ③的最小值为；            ④在上有3个零点． 【答案】①③④ 【分析】分别计算和的最小正周期，再由其最小公倍数即可得到的最小正周期为，即可判断①选项；设，对求导，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，即可判断②③④选项. 【详解】解：因为：， 的最小正周期是，的最小正周期是， 所以的最小正周期是，故①正确； 由题可知，取一周期，不妨设， 由， 令得，，， 当，，为增函数， 当，，为减函数， 当，，为增函数， 所以在，上单调递增，在上为单调递减，故②不正确； 由于，， 所以的最小值为，所以③正确； 因为在，上单调递增，在上为单调递减， ，，所以在上有3个零点，故④正确. 故答案为：①③④ 三、解答题 8．已知函数的导函数为，的图像在点处的切线方程为，且，函数． (1)求函数的解析式． (2)令，讨论函数在的零点个数． (3)若函数与函数的图像在原点处有相同的切线．若对于任意恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)，0个，，1个，，2个 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，以及切线方程，建立方程关系，即可求出，，的取值， （2）构造函数，问题转化成直线与函数的图象的交点情况，求导，利用导数研究的单调性，即可分类讨论求解零点 （3）将不等式对于任意，恒成立，进行参数分离，利用导数求函数最值，即可求实数的取值范围． 【详解】（1）， ，， 的图象在点，处的切线方程为， 当时，，且切线斜率， 则，②， ，③， 联立②③解得，，， ； （2）令，则， 记 问题转化成直线与函数的图象的交点情况， 则， 在单调递增，故当时，， 故令，解得，，解得或， 故在单调递增，在单调递减，又，且当且趋近于0时，趋向，且当时 当时，， 当，结合在单调递减，故 可知当时，与函数只有一个交点， 当时，与函数有2个交点， 当时，与函数一个交点， 当，与函数没有交点， 当，与函数一个交点， （3）函数， 函数在原点处的切线斜率为1， ，． 若对于任意恒成立， 则等价为对于任意恒成立， 即恒成立， 则只需要求出在上的最小值即可， 设， ，求导可得，， 在上单调递增，在上单调递减， ，故恒成立，即， 在上恒成立，即在上恒成立， 又， 故，即， 故的取值范围为，． 9．已知函数过点，函数在点处的切线斜率为4，且为函数的一个驻点. (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）求出导函数，根据切线斜率和极值点列出方程组，求出，得到解析式； （2）令导函数大于0和小于0，求出单调区间； （3）在第一问和第二问的基础上，数形结合得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】（1）由题意，函数，可得， 因为函数在点处的切线斜率为4，且在处为驻点， 可得：，即，解得：， 所以， （2）可得，令，解得：或， 当变化时，的变换情况如下： -1 + 0 - 0 + 递增 2 递减 递增 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是； （3）依题意得：方程有3个不同的实数根， 即，函数与函数的图象有3个不同的交点， 由（1）（2）知需要满足，解得：， 的取值范围是. 10．设a是实常数，并记． (1)当时，求函数的单调减区间； (2)是否存在a，使得函数在实数范围内有且仅有三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求所有满足条件的a的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，3和-3 【分析】（1）求出函数的导数，令，即可求得答案； （2）假设存在满足条件的a，设三个零点为，则，展开后和比较可得，结合，即可求得a的值，验证后即可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 令，解得， 故函数的单调减区间为； （2）假设存在a，使得函数在实数范围内有且三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列， 设这三个零点为，， 则 ， 又，则， 而，故， 即，则或， 当时，，， 函数在R上单调递增，不可能有3个零点，不合题意； 当时，，解，得或或， 即函数在实数范围内有且三个零点，且或成等差数列， 当时，，解，得或或， 即函数在实数范围内有且三个零点，且或成等差数列， 故满足条件的a的值为和. 检测Ⅱ组 创新能力提升 一、单选题 1．（2025·上海徐汇·二模）已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候即可判断A，根据若对应的根的个数为2，2，3即可判断C，根据若对应的根的个数为3，3，3即可判断D. 【详解】由题意可得，若对应的的取值的情况可以有1个，2个或3个，且对应2个根的情况的时候， 的取值只要2个，若对应的根的个数为1，1，2， 则符合要求的集合的个数为，A有可能； 若对应的根的个数为2，2，3， 则符合要求的隹合的个数为，C有可能； 若对应的根的个数为3，3，3， 则符合要求的集合的个数为，D有可能. 故选：B. 2．设，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【分析】对于①，列举验证，对于②，列举验证. 【详解】当时， ，此时， ，此时， ，此时， 故存在，使为常数列；①正确； 设，则有个零点， 则在的每个区间内各至少一个零点，故至少有个零点， 因为是一个次函数，故最多有个零点，因此有且仅有个零点， 同理，有且仅有个零点，，有且仅有个零点， 故，所以是公差为的等差数列，故②正确. 故选：C. 二、填空题 3．已知函数在上有零点，则实数的取值范围 . 【答案】 【分析】通过讨论的范围，利用函数的单调性及零点存在定理判断函数的零点个数，从而确定的范围. 【详解】当时，，，， 故，由零点存在性定理知：在区间上至少有1个零点； 当时，，符合题意； 当时，， ， 由零点存在性定理知，在区间至少有1个零点； 当时， ， 因为，，所以，， 当时，，，递增， 当时，，，递减， 故在上递增，在上递减， 又，即在上，， 故在区间上没有零点． 所以，当时，函数在上有零点. 令，， 可知为奇函数，图象关于原点对称， 从而，当时，函数在上有零点. 又当时，，符合题意， 综上，实数的取值范围． 故答案为：． 4．已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为 ． 【答案】643 【分析】首先分区间写出函数的解析式，判断函数的周期，再利用数形结合，求函数的零点个数. 【详解】当时，无解，故没有零点， 当时，， 当时，，则， 当时，，则， 以此类推，，而， 当有1个交点，以后每个周期内有2个交点，在区间无交点，所以共有个交点， 所以函数的零点个数为个. 故答案为：643 5．若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，利用导数求得和时的切线方程，并根据图象得出a的取值范围. 【详解】由可得，则函数与函数的图象有两个交点； 设，则， 令，解得； 令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 函数与函数的图象如图所示： 切线与在x轴上的截距分别上，， 当时，与函数的图象有一个交点， 所以实数a的取值范围. 故答案为： 三．解答题 6．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，直线是函数在处的切线. (1)当时，求函数的单调减区间； (2)求证：直线不经过原点； (3)当时，设点、、、为与轴的交点，与分别表示和的面积.是否存在点使得成立，若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由. 【答案】(1)单调递减区间为 (2)证明见解析 (3)个，理由见解析 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将原点代入切线方程再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）解：当时，定义域为，则， 由，可得， 所以，当时，函数的单调递减区间为. （2）解：，切线的斜率为， 则切线方程为， 将原点坐标代入切线方程可得，得， 即，则，， 令，且， 假设过原点，则在时存在零点. ，所以，函数在上单调递增， 所以，当时，，所以，函数在上无零点， 与假设矛盾，故直线不过原点. （3）解：时，，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知，所以， 则切线的方程为， 令，则. 因为，则， 则，记， 所以，满足条件的的个数集为函数的零点个数. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为，，， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 7.已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)函数在区间上有零点，求k的值； (3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可； （3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解． 【详解】（1）解：因为，所以，切线斜率为， 又，切点为，所以切线方程为； （2）解：，， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，， 在区间上存在一个零点，此时； 又，， 在区间上存在一个零点，此时． 综上，的值为0或3； （3）解：函数，， 所以， 由得，依题意方程有两不相等的正实根、， ，，， 又，，，解得， ， 构造函数，， 所以， 在上单调递减； 所以当时，， 所以． 8.已知函数的极小值为1． (1)求实数a的值； (2)设函数． ①证明：当时，，恒成立； ②若函数有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1)1 (2)①证明见解析；②或 【分析】（1）求导之后，讨论单调性，再根据题设条件列式即可求解（2）①法一：先判定的单调性，再结合（1）的结论放缩即可；法二：直接利用（1）的结论放缩即可②研究的单调性，极值的符号，再结合零点存在性定理的推论即可求解 【详解】（1）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增，无极小值； 当时，令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，即． 综上，． （2）①法一：，． ∵， ∴，即在上单调递减． ∴． 由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）． ∴，即． 法二：由（1）知，的最小值为， 即（当且仅当时，等号成立）． 因为，所以 所以得证． ②． 当时，，在上单调递增，至多有一个零点． 当时，． 令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 设，． 令，；令，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以的最大值为． 当时，，只有一个零点； 当时，，又，． 所以有两个零点； 当时，， 由①知，当时，对，恒成立，又， 所以有两个零点； 综上：或 9．已知函数，其中为正整数，且为常数． (1)求函数的单调增区间； (2)若对于任意，函数，在内均存在唯一零点，求a的取值范围； (3)设是函数大于0的零点，其构成数列．问：是否存在实数a使得中的部分项：，，，（其中时，）构成一个无穷等比数列若存在；求出a；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在； 【分析】（1）由题知，再根据导数求解即可得答案； （2）由题知，函数在上单调递增，进而转化为，再解不等式得对一切成立，进而得； （3）根据得，再证明时是恒为1的常数列，符合题意，和时不满足题意即可. 【详解】（1）解：由题知， 所以，令得， 所以函数的单调增区间为． （2）解：当时，恒成立， 所以，函数在上单调递增， 所以函数在内均存在唯一零点只需即可， 即 因为为正整数，， 所以对一切成立 因为当时，，当且仅当时等号成立， 所以． （3）解：由于得，下面证明时满足题意. ① ，则． 则． 由（2），是上的严格增函数， 所以． 所以，是恒为1的常数列，符合题意． ② ． ， 由于是上的严格增函数，所以． ， 由于是上的严格增函数， 所以． 所以，是严格增数列，那么无穷等比数列也为严格增数列． 所以，． 当时，．但这与矛盾 故不符合题意． ③时，， 由于是上的严格增函数，所以． ， 由于是上的严格增函数， 所以． 所以，是严格减数列，那么无穷等比数列也为严格减数列． 所以，． 当时，．但这与矛盾 故不符合题意． 综上，使数列部分项可以构成等比数列的充要条件是：． 10.设函数． (1)设，求函数的单调区间； (2)求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件； (3)设，，，证明：函数恰有一个零点r，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得. 【答案】(1)增区间和；减区间 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由题意可知，，利用导数求函数的单调区间； （2）由函数有三个不同的零点，转化为函数有两个极值点，再结合函数的性质，以及充分，必要条件的定义，即可说明； （3）首先结合零点存在性定理，说明函数恰有一个零点r，再结合反证法，说明等式成立. 【详解】（1），， 令，得，得，， ，解得：或，，解得：， 所以在和单调递增，在单调递减， （2）因为有三个不同的零点，必然会有两个极值点， 所以有两个不同的根，所以，所以， 又因为有两个极值点，极小值不一定小于0，所以函数值受到的影响， 所以是有三个不同零点的必要不充分条件； （3）， 因为，所以函数单调递增， 当时，，当时，， 所以存在唯一零点， 所以， ， 故数列，是满足题设要求的数列， 若存在两个不同的递增正整数数列和，满足， ， 去掉上面等式两边相同的项，有， 这里的，所有的都是不同的整数， 不妨设，则 即，矛盾， 故满足题意的数列是唯一的. 11．（2023·上海闵行·一模）已知，． (1)若为函数的驻点，求实数的值； (2)若，试问曲线是否存在切线与直线互相垂直？说明理由； (3)若，是否存在等差数列、、，使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行？若存在，求出所有满足条件的等差数列；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由已知可得出，可求得的值； （2）由变形可得，利用零点存在定理判断出函数在区间上存在零点，即可得出结论； （3）假设存在满足条件的等差数列、、符合题意，根据导数的几何意义可得出，整理可得即，令，设，利用导数分析函数的单调性，由此分析函数在上函数值的符号，即可得出结论. 【详解】（1）因为，其中， 则， 因为为函数的驻点，则，可得， 所以为函数的驻点时. （2）当时，，则， 令，整理可得， 令，因为，， 且函数在上连续，由零点存在定理可知，存在，使得， 即方程在时有实根， 故当时，曲线上存在切线与直线互相垂直. （3）当时，，则， 假设存在等差数列、、， 使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行， 则， 过两点、的直线的斜率为 ， 令，即， 可得，即， 令，设，则， 所以，函数在上为增函数，则， 故等式不成立， 因此，不存在等差数列、、， 使得曲线在点处的切线与过两点、的直线互相平行. 12.已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点； (3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可； （2）构造新函数利用导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可； （3）根据题意得到，结合（1）中结论、等比数列的定义进行运算证明即可. 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，的定义域为， ， 当时，得，此时函数单调递增， 当时，得，此时函数单调递减， 因此函数极大值为， 单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，得，此时函数单调递增， 当时，得，此时函数单调递减， 因此函数极大值为， 单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为； 函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设， 设， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 因此有，当时取等号， 于是有， 因此单调递减，而， 根据函数零点存在原理，当时，函数在内有唯一零点， 因此有唯一实根，因此曲线有唯一交点. （3）由（1）可知两个函数的最大值均为， 且函数单调递增区间为，单调递减区间为； 函数单调递增区间为，单调递减区间为， 由（2）可知曲线有唯一交点，且交点在内， 因为直线和曲线共有三个不同交点，其中， 因此两条曲线必过两个曲线的交点， 所以有， 因此有， 因为，，在上单调递增， 所以有， 同理，，而函数在单调递减， 所以有，而，所以， 因此成等比数列. 13.已知函数，. (1)若直线是曲线在处的切线，求的表达式； (2)若任意且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合； (3)当时，方程在区间上恰有1个解，求k的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程得的表达式. （2）等价变形给定不等式，求出导数可得恒成立即可求解. （3）求出方程的一个解，再借助零点存在性定理探讨可得，然后证明即可得解. 【详解】（1）函数，求导得，则， 因此函数在处的切线方程为：，即， 所以. （2）令，由 整理得：，且， 即，则， ，，于是，又， 则两函数图象重合，即，有，则，， 所以符合要求的数对组成的集合为. （3）由，得，显然，则是方程的1个解， 若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形. 设， ①若，则由，且， 因此在中另有一根，矛盾； ②若，则由，， 因此在中另有一根，矛盾； 从而，以下证明，对任意，符合题意. 当时，由图象在连接两点，的线段的上方知，即， 当时，，即， 当时，，，则， 因此有且仅有一个解，即在满足题意， 所以k的取值范围是. 14．（2025·上海浦东新·三模）已知实数，且a、b、c依次构成等差数列，对于曲线，，若满足、、依次构成等差数列，则曲线，为曲线. (1)若，，是曲线，求实数的值； (2)已知曲线，都是曲线，证明：是曲线； (3)若，为曲线，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义和等差中项的性质列等式，讨论的范围化简等式，即可求得的值； （2）根据定义和等差中项的性质列等式，可得，进一步根据等差中项性质列关于的等式即可证明. （3）已知，为曲线，构造新函数，，即有解即可.讨论的范围，利用导数讨论函数的单调性和零点，即可得解. 【详解】（1），，， 因为，所以， ①不成立； ②，不存在； ③； ④不成立. 解得. （2），① ，② 两式相乘得，解得， 代入①得， 则成立，是曲线. （3）在上有解， 令，， ①当时，，，解得，有零点； ②当时，，， 由零点定理知，上存在使，有零点； ③当时，若，则， 因为在上为严格减函数，在上为严格增函数， 所以，，无零点； 若，又，有， 得，， ，在上为严格增函数， 注意到， 由零点定理知，若有零点，则， 解得，又，故， ④当时，，，为严格增函数，，无零点； 综上，. 15．（2025·上海浦东新·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得 ，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“2次缠绕”，求的取值范围； (3)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (4)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【答案】(1)“次缠绕”，理由见解析 (2) (3) (4)证明见解析 【分析】（1）结合题设新定义，找到和时，，则得到其为“2次缠绕”； （2）转化为存在互异的两个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可求解； （3）转化为存在互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可求解； （4）取，令，则，且，即可证明存在，进而求证. 【详解】（1）函数和“次缠绕”， 理由如下：因为对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由“次缠绕”定义可知和在上“2次缠绕”. （2）设，， 因为和在上“2次缠绕”， 所以存在互异的两个正数，使得， 当且仅当时等号成立，所以是的两个零点. 由，当时，， 则函数在上单调递增，不满足题意； 当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又时，， 要使有两个零点，则，解得， 此时存在，使得成立， 当且仅当时等号成立. 综上所述，的取值范围为. （3）设， 因为和在上3次缠绕， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立，所以是的三个零点. 注意到，所以1是的一个零点，， ①当时，， 在上递增，1是的唯一零点，不合题意， ②当时，在上单调递减，1是的唯一零点，不合题意， ③当时，令，存在两根， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上递减，所以，即， 所以存在. 又， 所以存在， 使得成立， 即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是. （4）取，设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立. 所以对任意，存在， 其中， 使得，且和在上“次缠绕”. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$