上册 微素养·专题突破4 二次函数与一元二次方程(不等式)的关系-【精彩练习】2024-2025学年九年级全一册数学同步评价作业教师用书配套Word（浙教版）

　二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 类型　　1　 【例1】 右图为抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一交点为B(6，0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　D　) A．x＞6 B．0＜x＜6 C．x＜－2或x＞6 D．－2＜x＜6 【变式】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如表： x … －1 0 1 3 … y … －1 3 5 3 … 下列结论错误的是(　C　) A．ac＜0 B．3是关于x的方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根 C．当x＞1时，y的值随x值的增大而减小 D．当－1＜x＜3时，ax2＋(b－1)x＋c＞0 【解析】 根据x与y的部分对应值可知， 当x＝－1时，y＝－1，即a－b＋c＝－1； 当x＝0时，y＝3，即c＝3； 当x＝1时，y＝5，即a＋b＋c＝5； ∴解得 ∴y＝－x2＋3x＋3. A．ac＝－1×3＝－3＜0，故A正确； B．方程ax2＋(b－1)x＋c＝0可化为方程ax2＋bx＋c＝x， 由表格数据可知，当x＝3时，y＝3，则3是方程 ax2＋bx＋c＝x的一个根，从而也是方程ax2＋ (b－1)x＋c＝0的一个根，故B正确； C．∵当x＝0时，y＝3；当x＝3时，y＝3， ∴二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直 线x＝＝. 又∵二次项系数a＝－1，抛物线开口向下， ∴当1＜x＜时，y的值随x值的增大而增大， 故C错误； D．不等式ax2＋(b－1)x＋c＞0可化为ax2＋ bx＋c＞x，即y＞x， ∵由表格可知，(－1，－1)，(3，3)均在直线y＝ x上，又抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向下， ∴当－1＜x＜3时，y＞x，故D正确． 综上，只有选项C错误． 类型　　2　 【例2】 已知函数y1＝x2－(m＋2)x＋2m＋3，y2＝nx＋k－2n(m，n，k为常数且n≠0). (1)若函数y1的图象经过A(2，5)，B(－1，3)两个点中的一个点，求该函数的表达式． (2)若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M. ①求点M的坐标和k的值． ②若m≤2，当－1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m＋n的取值范围． 解：(1)对于函数y1＝x2－(m＋2)x＋2m＋3，当x＝2时，y＝3，∴点A不在抛物线上． 把B(－1，3)代入y1＝x2－(m＋2)x＋2m＋3， 得3＝1＋3m＋5，解得m＝－1， ∴该抛物线的表达式为y1＝x2－x＋1. (2)①∵函数y1经过定点(2，3)，对于函数y2＝nx＋k－2n，当x＝2时，y2＝k， ∴当k＝3时，两个函数的图象始终过同一定点M(2，3). ②∵m≤2，∴抛物线的对称轴直线x＝≤2， ∴抛物线的对称轴在定点M(2，3)的左侧． 如图，由题意，当1＋(m＋2)＋2m＋3≤－n＋3－2n时，满足当－1≤x≤2时，总有y1≤y2， ∴3m＋3n≤－3，∴m＋n≤－1. 【变式1】 在同一平面直角坐标系中，抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x的图象如右图所示，则不等式y1＞y2的解集是(　B　) A．x＜0　　　　　　B．0＜x＜2 C．x＜0或x＞2　　　D．x＞2 【变式2】 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，n). (1)求m，n的值． (2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集．(直接写出答案) 解：(1)将(1，0)代入y＝x＋m，得0＝1＋m， 解得m＝－1， ∴y＝x－1. 将(3，n)代入y＝x－1，得n＝3－1＝2， ∴m＝－1，n＝2. (2)由图象可得当x＜1或x＞3时，抛物线在直线上方， ∴x2＋bx＋c＞x＋m的解集为x＜1或x＞3. 1．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点是A(2，0)和B(3，0)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是(　D　) A．x1＝2，x2＝0　　　　B．x1＝3，x2＝0 C．x1＝－2，x2＝－3 D．x1＝2，x2＝3 2．二次函数y1＝ax2＋bx＋c与一次函数y2＝mx＋n的图象如下左图所示，则满足ax2＋bx＋c＞mx＋n的x的取值范围是(　A　) A．－3＜x＜0 B．x＜－3或x＞0 C．x＜－3 D．0＜x＜3 第2题图 　　第3题图 3．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)交x轴于A(－2，0)，B(4，0)两点，则不等式x2＋x＋>0的解为(　D　) A．－2＜x＜4 B．2＞x＞－4 C．x＜－4或x＞2 D．x＜－2或x＞4 4．已知二次函数y＝x2＋4x＋a，下列说法中正确的是(　B　) A．当x＜1时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 C．当a＝3时，利用图象可知不等式x2＋4x＋a＞0的解是1＜x＜3 D．若将其图象先向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，－2)，则a＝－3 5．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，0)，B(2，0). (1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为__x1＝－1，x2＝2__． (2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解为__－1＜x＜2__． (3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解为__x≤－1或x≥2__． 6．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表： x … －1 0 1 2 … y … 0 4 7 9 … 回答下列问题： (1)抛物线的对称轴是直线__x＝__． (2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__－1＜x＜8__． (3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__k＜__． 【解析】 (1)把x＝－1，y＝0；x＝0，y＝4；x＝1，y＝7代入y＝ax2＋bx＋c， 得 解得 ∴y＝－x2＋x＋4＝－＋， ∴抛物线的对称轴为直线x＝. (2)令y＝0，则－x2＋x＋4＝0， 解得x1＝－1，x2＝8， ∴抛物线与x轴的交点为(－1，0)和(8，0). ∵抛物线开口向下， ∴ax2＋bx＋c＞0的解集是－1＜x＜8. (3)由(1)知，抛物线的顶点为， ∵方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根， ∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝k有两个交点， ∴k的取值范围是k＜. 7．如图，二次函数y1＝ax2＋bx＋3的图象与x轴相交于点A(－3，0)，B(－1，0)，与y轴相交于点C. (1)求二次函数的表达式和其图象的顶点坐标． (2)若一次函数y2＝kx＋3的图象经过二次函数图象的顶点，请根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 解：(1)∵二次函数的图象与x轴交于点A(－3，0)，B(－1，0)，∴函数表达式可设为y1＝a(x＋1)(x＋3)， 即y1＝ax2＋4ax＋3a. 又∵y1＝ax2＋bx＋3，∴a＝1，b＝4， ∴所求二次函数表达式为y1＝x2＋4x＋3. ∵y1＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1， ∴其图象的顶点坐标为(－2，－1). (2)直线y2与抛物线y1相交于(－2，－1)和(0，3)， 根据图象可知，x的取值范围为x＜－2或x＞0. 学科网（北京）股份有限公司 $$