6.3.2角的比较与运算 同步讲义-2025-2026学年七年级数学上册人教版（2024）

第六章 几何图形初步 6.3.2角的比较与运算 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 熟练运用度量法和叠合法比较角的大小。​ . 理解角的和、差、倍、分运算，能准确进行计算。​ . 掌握角平分线的概念，会运用其性质解决相关问题。 . 一.角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 二.角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 三.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 考点一：角的比较 1．在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 考点二： 角度的四则运算 5．如图，某校综合实践活动小组在校园附近开发A、B两块菜地，一块菜地A在学校（点O）的北偏东方向，另一块菜地B在学校的南偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．一副三角板按如图方式摆放，若， 则（   ） A． B． C． D． 7．若，则的度数下列表达正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点三：三角板中角度计算问题 9．用一副三角板，不能拼出（   ）的角 A．15度 B．20度 C．135度 D．150度 10．将一副一角板（1个两个内角都为的等腰直角三角板，一个两个内角为和的直角三角板）按如图方式摆放，与不一定互补的是（    ） A． B． C． D． 11．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点四.实际问题中角度计算问题 13．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 14．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 15．如图，一艘轮船行驶到处时，测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 16．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点五.角平分线的有关计算 17．射线在内部，下列条件不能判断是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 18．如图，是的平分线，为的平分线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 19．如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，交于点G，，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 考点六.角n等分线的有关计算 21．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 22．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 23．如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 24．如图，BD在∠ABC的内部，∠ABD＝∠CBD，如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝（　　） A． B．20° C．60° D． 一、单选题 1．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点逆时针旋转，形成（小于），，，当增加时，下列说法正确的是（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 2．利用一副三角尺画角，无法画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 4．如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线和相交于点，平分，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图是内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边平分，三角尺的另一边也正好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，在中，平分，平分，E，F分别在，的延长线上，平分，平分，，相交于点G，若，则的度数是 ．    12．直线相交于点O，是的平分线．若，的度数为 ． 13．如图，已知，，则 ． 14．如图，直线AB和CD相交于点O，，那么直线AB和CD的夹角为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 几何图形初步 6.3.2角的比较与运算 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 . 熟练运用度量法和叠合法比较角的大小。​ . 理解角的和、差、倍、分运算，能准确进行计算。​ . 掌握角平分线的概念，会运用其性质解决相关问题。 . 一.角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 二.角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 三.角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 考点一：角的比较 1．在内任取一点C，作射线，那么一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较角的大小，角的和差，根据射线在的内部，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵射线在的内部， ∴， ∴， 的大小关系跟的位置有关，可能大于、小于或等于； 故选A． 2．已知，，，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度，分，秒之间的转化是解题的关键． 将转化为，即可得出答案． 【详解】解：由， 又因为， 所以． 故选：A． 3．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板的特点，正确得出的取值范围是解题的关键．根据三角板的特点可得，结合选项即得答案． 【详解】解：根据题意，可知， 所以选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 4．如图，在正方形网格中，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出角的度数，然后再比较大小就容易了． 根据题意和图得出：，，再根据，从而得出，然后结合图观察出，，最后比较大小即可． 【详解】解：由题意知：， 同理， 又， ， 由图可知，， ， 故选：D． 考点二： 角度的四则运算 5．如图，某校综合实践活动小组在校园附近开发A、B两块菜地，一块菜地A在学校（点O）的北偏东方向，另一块菜地B在学校的南偏东方向，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，角的和差运算；由两个方向角与所求的角为一个平角，即可求解． 【详解】解：由题意知，； 故选：A． 6．一副三角板按如图方式摆放，若， 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用三角形板求角的度数，由图可知，再结合即可求出的度数． 【详解】解：根据图形，得， 故选：A． 7．若，则的度数下列表达正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角度的运算，根据角度的单位制和角度的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 8．已知，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角度的加减计算．根据角度的加减法计算即可，注意进率为； 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 考点三：三角板中角度计算问题 9．用一副三角板，不能拼出（   ）的角 A．15度 B．20度 C．135度 D．150度 【答案】B 【分析】本题考查的是角的和差运算，利用三角板的角度进行组合，判断各选项是否可拼出即可. 【详解】解：一副三角板包含、、和、、的角。通过角的加减组合： （可拼出，对应选项A）； （可拼出，对应选项C）； （可拼出，对应选项D）； ：无法通过上述角度的和或差得到（、、、均为15的倍数，20不是15的倍数），因此，无法拼出的角， 故选：B 10．将一副一角板（1个两个内角都为的等腰直角三角板，一个两个内角为和的直角三角板）按如图方式摆放，与不一定互补的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查与三角板有关的计算，分别计算是否等于即可． 【详解】解：A、，即与互补，故选项A不符合题意； B、无法计算，故选项B符合题意； C、如图，，则， ∵， ∴，故选项C不符合题意； D、如图，， ∵， ， ∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：B． 11．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 又，， ∴， 故选：C． 12．如图，把含有的直角三角板斜边放在直线l上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形内角和与平角的性质，熟练掌握直角三角形内角特点和平角为是解题关键． 先确定三角板的内角，再利用平角与对顶角等知识，通过角度关系求出 ． 【详解】解：直角三角板含角，则另一个锐角为 ． ∴ 故选：D ． 考点四.实际问题中角度计算问题 13．如图，平面镜放置在水平地面上，墙面于点，一束光线照射到镜面上，反射光线为，点在上，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得，根据平角的定义，代入即可求解， 本题考查了，反射角等于入射角，平角的定义，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：依题意，，， ∵， ∴，解得：， 故选：． 14．如图，将长方形沿折叠，得到如图所示的图形，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算和翻折变换，注意翻折过程中不变的角和边，根据邻补角先求出，然后根据翻折可知进而求解． 【详解】解： 由翻折可知 故选：C． 15．如图，一艘轮船行驶到处时，测得小岛的方向分别为北偏西和西南方向，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据平角的定义求解即可. 【详解】解：根据题意可得：， ∴； 故选：D.    【点睛】本题考查了方位角和角的和差计算，正确得出是解题的关键. 16．如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东方向，轮船B在灯塔P的南偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求解． 【详解】解∶如图所示标注字母， 由题意知： ， ， ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了方位角的特点以及角的计算，理解方位角的概念是解题的关键． 考点五.角平分线的有关计算 17．射线在内部，下列条件不能判断是的平分线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，根据角平分线的定义逐一分析即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：、由可知，是原角的一半，则另一部分也必为原角的一半，故为角平分线，该选项能判断是的平分线，不合题意； 、仅说明在内部，未能说明两角相等，无法确定是角平分线，该选项符合题意； 、，说明是原角的一半，可知也为原角的一半，故为角平分线，该选项能判断是的平分线，不合题意； 、直接满足角平分线的定义，该选项能判断是的平分线，不合题意； 故选：． 18．如图，是的平分线，为的平分线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的角平分线．熟练掌握角平分有关计算，是解题的关键． 根据角平分线的有关计算即可求解． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴， ∵为的平分线， ∴． 故选：A． 19．如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，角平分线求出，垂直得到，角的和差关系求出，再根据平角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵射线是的平分线，，， ∴，， ∴， ∴； 故选B． 20．如图，交于点G，，平分，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，角平分线的有关计算，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于的方程，进行计算可求出，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ， ， ， ， ∵平分， ， ， 解得：， ， ， 故选：A． 考点六.角n等分线的有关计算 21．已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 22．如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为(   ) A． B． C． D．4a 【答案】A 【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解． 【详解】∵四条射线五等分， ∴每个小角的度数为．如图， 图中所有锐角的和为 ， 故选：A． 23．如图，若，，且OC在∠AOB的内部，则（    ） A．22° B．42° C．72° D．44° 【答案】D 【分析】根据，分析出∠AOC与∠AOB的倍分关系即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角的倍分关系，正确得到∠AOC与∠AOB 的关系是解题的关键． 24．如图，BD在∠ABC的内部，∠ABD＝∠CBD，如果∠ABC＝80°，则∠ABD＝（　　） A． B．20° C．60° D． 【答案】B 【分析】根据角的和差与倍分得出∠ABC=4∠ABD，列方程求解即可． 【详解】解：∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠CBD=3∠ABD， ∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=3∠ABD+∠ABD=4∠ABD=80°， ∴ABD=20°． 故选择B． 【点睛】本题考查角的倍分，角的和差，一元一次方程，掌握角的倍分关系，角的和差计算，解一元一次方程是解题关键． 一、单选题 1．如图，点B，O，D在同一条直线上，，直线从与重合的位置开始绕点逆时针旋转，形成（小于），，，当增加时，下列说法正确的是（   ） A．增加 B．减少 C．增加 D．减少 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转和计算角的和、差．根据角的和差关系计算即可． 【详解】解：， ∴当增加时，减少． ， ∴当减少时，增加． 故选：A． 2．利用一副三角尺画角，无法画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一副三角尺的角度问题．一副三角尺的角度为，通过加减这些角度，即可求解． 【详解】解：根据题意得：一副三角尺包含四个基本角． A、或，可画出角，故本选项不符合题意； B、，可画出角，故本选项不符合题意； C、，可画出角，故本选项不符合题意； D、无法通过基本角的和差得到，不可画出角，故本选项符合题意； 故选：D 3．把一副直角三角尺如图摆放，，，，斜边、在直线l上，保持不动，在直线l上平移，当以点三点为顶点的三角形是直角三角形时，则的度数是（    ） 　 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质，直角三角形的性质. 分两种情况进行讨论：①当点D运动到与A重合时；②当点D运动到A是中点时；分别画出相应的图形进行求解即可． 【详解】解：当点D运动到与A重合时，是直角三角形，此时， 当点D运动到A是中点时，是直角三角形，此时， ∴的度数为或， 故答案为：或． 4．如图，直线相交于点，，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，先由平角得，平分，得，因为，则，再进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B 5．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，理解三角板的性质是解题的关键；由题意可得，再结合，即可得出的度数． 【详解】解：依题意，结合图形，得， ∵， ∴， 故选：C 6．如图，直线和相交于点，平分，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是角平分线相关的计算，解题关键是正确找到角与角之间的关系． 先由推得，再由平分推得即可证． 【详解】解：， ， ， 平分， ， ， ， ． 故选：． 7．如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 8．如图，已知直线相交于点平分，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线平分角，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴； 故选C． 9．如图，，，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线定义，角度和差，先求出，又是的平分线，则，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故选：． 10．如图是内部的一条射线，把三角尺的角的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的边平分，三角尺的另一边也正好平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的计算，根据角平分线的定义得出，，然后结合三角板中，求解即可． 【详解】解：∵平分， 平分， ∴，， 又， ∴， ∴， 即， 故选：B． 2、 填空题 11．如图，在中，平分，平分，E，F分别在，的延长线上，平分，平分，，相交于点G，若，则的度数是 ．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义． 先求出，根据角平分线的定义得到，即可得到，再由角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：因为， 所以． 因为平分，平分， 所以， 所以， 所以． 因为平分，平分， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 12．直线相交于点O，是的平分线．若，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先由平角的定义得到的度数，再由角平分线的定义得到的度数，最后由平角的定义可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角的和差运算，由即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14．如图，直线AB和CD相交于点O，，那么直线AB和CD的夹角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，解题的关键是利用已知角的度数，通过角的和差关系求出直线和的夹角． 先根据与的度数求出的度数，就是直线和的夹角． 【详解】解：， 直线和的夹角为． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$