第17讲 反比例函数（知识清单+5大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第17讲 反比例函数（知识清单+5大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 题型练习 【题型一】用反比例函数描述数量关系 【例1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为 ． 3．已知某盐厂晒出了3000吨盐，厂方决定把盐全部运走. (1)写出运走盐所需的时间t（天）与运走速度v(吨/天）之间的函数关系式； (2)该盐厂有工人80名，每天最多可运走500吨盐，则预计盐最快可在几天内运完？ (3)若该盐厂的工人工作了3天后，天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨，于是盐厂决定在2天内把剩下的盐全部运走，则需要从其他盐厂调来多少人？ 【题型二】根据定义判断是否是反比例函数 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（22-23九年级上·全国·课前预习），y=kx-1，xy=k是 函数的三种表现形式．其中k是常数，k≠0． 3．下列哪些式子表示y是x的反比例函数？为什么？ （1）；       （2）； （3）；       （4）（a为常数，）． 【题型三】根据反比例函数的定义求参数 【例3】若是反比例函数，则的取值为（    ） A．1 B． C． D．的任意实数 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数的图象经过点，则的值为 ． 3．已知函数为反比例函数． 已知函数为反比例函数． 求的值； 它的图象在第________象限内，在各象限内，随增大而________；（填变化情况） 当时，此函数的最大值为________，最小值为________． 【题型四】求反比例函数值 【例4】（24-25九年级上·广西百色·期末）下列各点中，不在反比例函数的图象上的点为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，则的值是（　　） A．0 B． C．1 D．3 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． x 10 ？ y 3 5 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【题型五】由反比例函数值求自变量 【例5】（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·海南三亚·期末）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（     ）． A．-4 B．4 C． D． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，则当时，x的取值范围为 ． 3．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 好题必刷 一、单选题 1．下列函数中y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中不是反比例函数关系的是（   ） A． B． C．（） D． 3．下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣ 4．下列函数中，是反比例函数的为（　　） A． B． C． D． 5．若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．若反比例函数y＝的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 7．已知矩形的面积为16，则矩形的宽y是长x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．不能确定 8．已知和y成正比例，与z成反比例，那么和z成（   ）． A．正比例 B．反比例 C．既不成正比例，也不成反比例 D．既成正比例也成反比例 9．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△ABC中，AB⊥y轴于点B，点C是x轴上一点，点A在反比例函数的图像上，若△ABC的面积为2，则k＝（    ） A．－4 B．4 C．－2 D．2 10．下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（　　） A．正方形的面积S与边长a的关系 B．正方形的周长l与边长a的关系 C．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系 D．矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系 二、填空题 11．若反比例函数的反比例系数是 ． 12．在函数中，自变量的取值范围是 ． 13．已知y与(2x+1)成反比例且当x=0时，y=2，那么当x=－1时，y=________． 14．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为时，视野为80度.如果视野f(度）是关于车速的反比例函数，则f，v之间的函数关系式为 ；当车速为时，视野的度数为 度. 15．如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的 16．若y＝（4﹣2a）是反比例函数，则a的值是 ． 17．已知是关于的反比例函数，则 ． 18．表1给出了正比例函数y1＝kx的图象上部分点的坐标，表2给出了反比例函数y2=的图象上部分点的坐标． 表1                       x 0 1 2 3 y1 0 -2 -4 -6 表2 x 0.5 1 2 4 y2 -4 -2 -1 -0.5 则当y1＝y2时，x的值为 ． 三、解答题 19．下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？ ，，，，，，． 20．计划修建铁路，那么铺轨天数是每日铺轨量的反比例函数吗？ 21．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值． 22．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 23．已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 24．反比例函数的图像经过、两点. （1）求m，n的值； （2）根据反比例图像写出当时，y的取值范围. 25．已知函数y=（m+1）x|2m|﹣1  ， ①当m何值时，y是x的正比例函数？②当m何值时，y是x的反比例函数？ （上述两个问均要求写出解析式） 26．已知：关于x的一元二次方程 （k是整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 反比例函数（知识清单+5大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 用反比例函数描述数量关系 题型二 根据定义判断是否是反比例函数 题型三 根据反比例函数的定义求参数 题型四 求反比例函数值 题型五 由反比例函数值求自变量 知识清单 知识点1．反比例函数的定义 （1）反比例函数的概念 形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数． （2）反比例函数的判断 判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 题型练习 【题型一】用反比例函数描述数量关系 【例1】（24-25九年级上·湖南永州·期末）对于反比例函数，下列哪个点在反比例函数图像上（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据纵横坐标的乘积为的点在反比例函数上，即可作答． 【详解】解：A、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； B、，该点在反比例函数图象上，故该选项符合题意； C、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； D、，该点不在反比例函数图象上，故该选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，面积为20，那么y与x之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了列反比例函数解析式，根据三角形面积公式，即可得到函数解析式． 【详解】解：由三角形面积公式，得：， 所以y与x之间的函数关系式为， 故选A． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）为了响应新中考体育考试要求，某中学八（1）班用200元购买了某品牌篮球y个．若该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 3．已知某盐厂晒出了3000吨盐，厂方决定把盐全部运走. (1)写出运走盐所需的时间t（天）与运走速度v(吨/天）之间的函数关系式； (2)该盐厂有工人80名，每天最多可运走500吨盐，则预计盐最快可在几天内运完？ (3)若该盐厂的工人工作了3天后，天气预报预测在未来的几天内可能有暴雨，于是盐厂决定在2天内把剩下的盐全部运走，则需要从其他盐厂调来多少人？ 【答案】（1）；(2)盐最快可在6天内运完；(3)需从其他盐厂调来40人. 【知识点】用反比例函数描述数量关系、求反比例函数值 【分析】（1）根据题意可直接得出函数关系式； （2）将代入（1）中关系式求解即可； （3）设需从其他盐厂调来n人，根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）根据题意，得. (2)当时，， 即盐最快可在6天内运完. (3)设需从其他盐厂调来n人， 则根据题意，得. 解得， 即需从其他盐厂调来40人. 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 【题型二】根据定义判断是否是反比例函数 【例2】（2025九年级上·全国·专题练习）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的标准形式为 （ 为常数且）是解题的关键． 根据反比例函数的解析式的形式即可判断． 【详解】A、是正比例函数，不符合反比例函数形式，故不符合题意； B、 可写为 ，其中，符合反比例函数定义，故符合题意； C、 的分母为，而非单独的，不是反比例函数，故不符合题意； D、 即，但题目未明确，若 则函数退化为，不符合反比例函数要求，故不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东淄博·期末）下列函数：（a为常数，）．其中能表示y是x的反比例函数的共有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据形如，这样的函数叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成的形式，据此进行判断即可． 【详解】解：（a为常数，）中，（a为常数，）为反比例函数，共3个； 故选B． 2．（22-23九年级上·全国·课前预习），y=kx-1，xy=k是 函数的三种表现形式．其中k是常数，k≠0． 【答案】反比例 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【解析】略 3．下列哪些式子表示y是x的反比例函数？为什么？ （1）；       （2）； （3）；       （4）（a为常数，）． 【答案】（1）（3）（4）是表示y是x的反比例函数，理由见解析 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义“如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k是常数，k≠0）的形式，那么y就称作x的反比例函数”进行解答即可得． 【详解】解：（1）可以写成，是反比例函数； （2）不满足反比例函数的定义，不是反比例函数； （3）可以写成，是反比例函数； （4）(a为常数，a≠0)，是反比例函数； 综上，（1）（3）（4）是表示y是x的反比例函数， 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟记反比例函数的定义． 【题型三】根据反比例函数的定义求参数 【例3】若是反比例函数，则的取值为（    ） A．1 B． C． D．的任意实数 【答案】B 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，其表达式应为（），需满足指数为且系数非零，据此计算即可． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）若点都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出的值，将其代入和中即可求出结论． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ， ，， 故选：B． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）若函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把代入得到结论． 【详解】解：∵函数的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知函数为反比例函数． 已知函数为反比例函数． 求的值； 它的图象在第________象限内，在各象限内，随增大而________；（填变化情况） 当时，此函数的最大值为________，最小值为________． 【答案】（1）k=-3；（2）二、四，增大；（3）12，3 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】（1）首先根据反比例函数的定义可得8−k2＝−1，且k−3≠0，解出k的值即可； （2）根据k＜0，结合反比例函数的性质可得答案； （3）根据y随x增大而增大可得当x＝−2时，y最小，当x＝−时，y最大，代入求值即可． 【详解】由题意得：8-k2=-1，且k-3≠0， 解得：k=-3； （2）∵k=-3＜0， ∴图象在第二、四象限，在各象限内，y随x增大而增大； 故答案为二、四；增大； （3）当x=-2时，y最小==3； 当x=-12时，y最大==12； 故答案为12；3． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质和定义，关键是掌握反比例函数的形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝kx−1（k为常数，k≠0）． 【题型四】求反比例函数值 【例4】（24-25九年级上·广西百色·期末）下列各点中，不在反比例函数的图象上的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可． 【详解】解：A．当时，，∴点不在的图象上，故本选项符合题意； B．当时，，∴点在的图象上，故本选项不符合题意； C．当时，，∴点在的图象上，故本选项不符合题意； D．当时，，∴点在的图象上，故本选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·山东济宁·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点，则的值是（　　） A．0 B． C．1 D．3 【答案】A 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．将两点代入得到，则，即可判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如表，如果x与y成反比例关系，那么表格中“？”处应填 ． x 10 ？ y 3 5 【答案】6 【知识点】求反比例函数值 【分析】本题考查了求反比例关系的关系式及相应x值，准确求得反比例的关系式是解决本题的关键． 设x和y成反比例关系式为，把，代入解析式，即可求得关系式，再把代入即可求得． 【详解】解：设x和y的反比例关系式为， 把，代入关系式，得， 所以，x和y的关系式为， 把代入关系式，得， 解得， 故“？”处应填6， 故答案为：6． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）已知函数是关于的反比例函数． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据反比例函数的定义求参数、求反比例函数值 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值： （1）根据反比例函数的定义，得到，且，进行求解即可； （2）把代入函数解析式，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：且， ． （2） ∴反比例函数的表达式为， ∴当时，． 【题型五】由反比例函数值求自变量 【例5】（2025·重庆綦江·一模）若反比例函数的图象经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入反比例函数，即可求得的值． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 解得， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·海南三亚·期末）某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（     ）． A．-4 B．4 C． D． 【答案】B 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选B． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，反比例函数的图象经过点，则当时，x的取值范围为 ． 【答案】或 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．先令代入反比例函数求出的值，然后根据图象即可求出的范围． 【详解】解：由题意可知：， ， 由图象可知：或． 故答案为：或． 3．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 【答案】(1) (2)4 (3) 【知识点】求自变量的取值范围、求反比例函数值、由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，． （2）将代入中，得． （3）将代入中，得，解得． 好题必刷 一、单选题 1．下列函数中y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义即可判断． 【详解】解：A、，y是x的一次函数，不符合题意； B、中，y是x的反比例函数，不符合题意； C、中，y是x的一次函数，不符合题意； D、中，y是x的正比例函数，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 2．下列各式中不是反比例函数关系的是（   ） A． B． C．（） D． 【答案】D 【详解】因为形如（k≠0，k为常数）的函数，叫做反比例函数.所以A，B，C是反比例函数关系，D不是反比例函数关系. 故选D. 3．下列函数是y关于x的反比例函数的是（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝﹣ 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义：形如的函数，叫做反比例函数；其中分母不能是多项式，只能是的一次单项式，即可． 【详解】A．，分母是多项式，不满足反比例函数的定义，故不合题意； B．，分母是的二次单项式，不满足； C．，满足反比例函数的定义，故符合题意； D．，是正比例函数，不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的知识，解题的关键是掌握反比例函数的定义和解析式． 4．下列函数中，是反比例函数的为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义即可求解． 【详解】解：A. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； C. ，是反比例函数，故该选项正确，符合题意；     D. ，不是反比例函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键． ()或或的函数是反比例函数． 5．若为关于的反比例函数，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义和解一元一次方程，形如的函数，叫反比例函数．根据反比例函数定义直接列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵为关于的反比例函数， ∴， 解得， 故选C． 6．若反比例函数y＝的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（　　） A．（﹣3，1） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【答案】D 【分析】由反比例函数y=的图象经过点（3，1），可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解． 【详解】∵反比例函数y＝的图象经过点（3，1）， ∴y＝， 把点一一代入，发现只有（﹣1，﹣3）符合． 故选D． 【点睛】本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上． 7．已知矩形的面积为16，则矩形的宽y是长x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．反比例函数 D．不能确定 【答案】C 【详解】由矩形面积公式可得，故为反比例函数． 8．已知和y成正比例，与z成反比例，那么和z成（   ）． A．正比例 B．反比例 C．既不成正比例，也不成反比例 D．既成正比例也成反比例 【答案】B 【分析】可以根据正比例与反比例函数的定义确定z与的函数关系． 【详解】解：因为和y成正比例，所以y=k1， 又与z成反比例，所以z= ． 所以z=k2y=k2 k1，， 即z与x2之间的关系是成反比例． 故选B． 【点睛】本题考查正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是y＝（k≠0）． 9．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，在△ABC中，AB⊥y轴于点B，点C是x轴上一点，点A在反比例函数的图像上，若△ABC的面积为2，则k＝（    ） A．－4 B．4 C．－2 D．2 【答案】A 【分析】根据题意设 A 点为（ a ， ），由题目中的图可知， ，则可得到答案． 【详解】解：设 A 点为（ a ， ）， 由题目中的图可知， ， 解得，， ∵反比例函数的图像在第二象限， ∴k ﹤0， ∴k =-4， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形面积公式和反比例函数，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式和反比例函数． 10．下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（　　） A．正方形的面积S与边长a的关系 B．正方形的周长l与边长a的关系 C．矩形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系 D．矩形的面积为40，长a与宽b之间的关系 【答案】D 【详解】A、根据题意，得，所以正方形的面积S与边长a的关系是二次函数关系；故本选项错误； B、根据题意，得，所以正方形的周长l与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误； C、根据题意，得，所以正方形的面积S与边长a的关系是正比例函数关系；故本选项错误； D、根据题意，得，所以正方形的面积S与边长a的关系是反比例函数关系；故本选项正确． 故选D． 二、填空题 11．若反比例函数的反比例系数是 ． 【答案】-3 【分析】依据反比例函数定义即可得出答案． 【详解】∵， ∴反比例函数的比例系数是-3， 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义，形如的函数成为反比例函数． 12．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：在函数中，， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查反比函数自变量取值范围，掌握反比例函数自变量不等于0，是解题的关键． 13．已知y与(2x+1)成反比例且当x=0时，y=2，那么当x=－1时，y=________． 【答案】-2 【详解】试题解析：y与(2x+1)成反比例， 设 当x=0时，y=2，则 解得： 则： 当时， 故答案为-2. 14．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄.当车速为时，视野为80度.如果视野f(度）是关于车速的反比例函数，则f，v之间的函数关系式为 ；当车速为时，视野的度数为 度. 【答案】 40 【分析】首先根据题意，视野f（度）是车速v（km/h）的反比例函数，用待定系数法可得反比例函数的关系式；代入进一步求解可得答案． 【详解】解：设f，v之间的关系式为（k≠0）， ∵v＝50km/h时，f＝80度， ∴80＝， 解得k＝4000， 所以， 当v＝100km/h时，f＝＝40（度）． 故答案为，40. 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例关系的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 15．如果是的正比例函数，是的反比例函数，那么是的 【答案】反比例函数 【分析】由是的正比例函数，是的反比例函数，可得y=am（a≠0），（k≠0），由此可得y= ，即可得y是x的反比例函数. 【详解】∵y是m的正比例函数， ∴y=am（a≠0）， ∵m是x的反比例函数， ∴（k≠0）， ∴y= ， ∴y是x的反比例函数. 故答案为反比例函数. 【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数定义，熟练掌握两种函数的定义是解决问题的关键． 16．若y＝（4﹣2a）是反比例函数，则a的值是 ． 【答案】-2 【分析】根据反比例函数的定义直接解答即可． 【详解】解：∵若y＝（4﹣2a）是反比例函数， ∴a2-5=-1， 解得，a2=4， ∴a=±2， ∵4﹣2a≠0， ∴a≠2， ∴a=-2， 故答案为-2． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，直接开平方法解方程，解题的关键是掌握y=k（k≠0）是反比例函数． 17．已知是关于的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义、求代数式的值，反比例函数的一般形式是（为常数，），先根据反比例函数的定义求出的值，再代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， ∴， 故答案为：． 18．表1给出了正比例函数y1＝kx的图象上部分点的坐标，表2给出了反比例函数y2=的图象上部分点的坐标． 表1                       x 0 1 2 3 y1 0 -2 -4 -6 表2 x 0.5 1 2 4 y2 -4 -2 -1 -0.5 则当y1＝y2时，x的值为 ． 【答案】1或-1 【分析】分别找一个点代入y1=kx和y2=，求得解析式，使y1=y2，再解出x即可． 【详解】解：∵点（1，-2）和点（1，-2）分别在y1=kx和y2=上， ∴y1=-2x和y2=-， ∴-2x=-， 解得x=±1． 故答案为1或-1． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，是基础知识要熟练掌握． 三、解答题 19．下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？ ，，，，，，． 【答案】，． 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），可以判定函数的类型． 【详解】解：y＝4x不是反比例函数， 不是反比例函数， 是反比例函数， y＝6x＋1不是反比例函数， 不是反比例函数， 不是反比例函数， 由xy＝123，可得： ， 所以xy＝123是反比例函数． 综上：y是x的反比例函数的有：，， 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的形式为y＝（k为常数，k≠0）或y＝k（k为常数，k≠0）． 20．计划修建铁路，那么铺轨天数是每日铺轨量的反比例函数吗？ 【答案】，y是x的反比例函数 【分析】铺轨天数铁路长每日铺轨量，把相关数值代入即可得到与之间的函数关系式，根据反比例函数的一般形式判断是否为反比例函数即可． 【详解】解：铺轨天数铁路长每天铺轨量， ， ∴是的反比例函数． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，反比例函数解析式的一般形式为，关键是得到与之间的函数关系式． 21．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象经过点和点，求m的值． 【答案】-3 【分析】由反比例函数的图象及其性质将A、B点代入反比例函数即可求得m的值为-3． 【详解】∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：． 故m的轴为-3． 【点睛】本题考查了反比例函数值的求法，明确图象上点的坐标和解析式的关系是解题的关键． 22．如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为的矩形养鸡场，其中一边靠墙，墙长为．设的长为，的长为． (1)求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围； (2)现有两种方案，或，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长． 【答案】(1)， (2)栅栏总长． 【分析】本题主要考查了反比例函数．解决本题的关键是根据矩形的面积公式得到矩形的长与宽之间的函数关系式，并根据墙的长度确定自变量的取值范围． （1）根据矩形的面积公式和矩形的长为、宽为得到求与之间的函数关系式是，再根据墙的长度确定的取值范围； （2）分别求出当和时对应的值分别是和，当时超过了墙的长度，所以应选当，并根据矩形的周长公式求出此时栅栏的长度． 【详解】（1）解：矩形的面积为， ， 整理得：， 墙的长度是， ， ， 解得：， 自变量的取值范围是； （2）解：当时，， 矩形的长为，宽为， 此时墙的长度恰好够用； 当时，， 矩形的长为， 此时墙的长度不够用， 选比较合理， 当时， 此时栅栏的部总长为：， 答：栅栏的总长为． 23．已知：，并且与x成正比例，与成反比例，且当时，，当时，，求y与x之间的函数解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设，则，然后利用待定系数法即可求得； 【详解】∵与x成正比例，与成反比例， ∴设，， ∴， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴y与x之间的函数解析式为． 24．反比例函数的图像经过、两点. （1）求m，n的值； （2）根据反比例图像写出当时，y的取值范围. 【答案】（1），；（2）当时，． 【分析】（1）将点 , 的坐标分别代入已知函数解析式,列出关于m,n 的方程组,通过解方程=组来求m,n的值即可; （2） 利用（1）中的反比例函数的解析式画出该函数的图象,根据图象直接回答问题. 【详解】(1)根据题意，得 解得m=−2，n=−2，即m，n的值都是−2. (2)由(1)知，反比例函数的解析式为y=−，其图象如图所示： 根据图象知，当−2<x<0时，y>1. 【点睛】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握计算法则是解题关键. 25．已知函数y=（m+1）x|2m|﹣1  ， ①当m何值时，y是x的正比例函数？②当m何值时，y是x的反比例函数？ （上述两个问均要求写出解析式） 【答案】①当m=1时，y是x的正比例函数；②当m=0时，y是x的反比例函数 【分析】①根据正比例函数的定义得到|2m|-1=1，且m+1≠0，由此即可求得答案； ②根据反比例函数的定义得到|2m|-1=-1，且m+1≠0，由此即可求得. 【详解】①∵函数y=（m+1）x|2m|﹣1是正比例函数， ∴|2m|﹣1=1，且m+1≠0， 解得，m=1， 即当m=1时，y=2x，y是x的正比例函数； ②∵函数y=（m+1）x|2m|﹣1是反比例函数， ∴|2m|﹣1=﹣1，且m+1≠0， 解得，m=0； 即当m=0时，y=，y是x的反比例函数． 【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键． 26．已知：关于x的一元二次方程 （k是整数）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2），设，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）y是变量k的函数. 【分析】（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算△得，而k是整数，则2k－1≠0，得到△＞0，根据△的意义即可得到方程有两个不相等的实数根， （2）先根据求根公式求出一元二次方程的解为x=3或x=，而k是整数，x1＜x2，则有x1=，x2=3，代入得到即可得出结论， 【详解】（1）方程是一元二次方程， ∴k≠0， ， ∵k是整数， ∴k≠，2k－1≠0， ∴＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）y是k的函数， 解方程得：， ∴x=3或x=， ∵k是整数， ∴≤1， ∴≤2＜3， 又∵x1＜x2， ∴x1=，x2=3， ∴， ∴y是变量k的函数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$