第12讲等边三角形（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年八年级上册数学（人教版2024）

第12讲等边三角形（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 等边三角形的性质 典型例题二 等边三角形的判定 典型例题三 等边三角形的判定与性质 知识点一：等边三角形的性质 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵图中是三个等边三角形， ∴∠1＝180°﹣60°﹣∠ABC＝120°﹣∠ABC，∠2＝180°﹣60°﹣∠ACB＝120°﹣∠ACB，∠3＝180°﹣60°﹣∠BAC＝120°﹣∠BAC， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BAC）＝180°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和，熟知等边三角形各内角均等于60°是解答此题的关键． 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在等边中，，，则的长为 ． 【答案】/2.5 【分析】根据等边三角形的性质，以及等边三角形三线合一，可得DC的长度． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形，且， ∴D为BC的中点（三线合一），且BC=AB=5， ∴ 故答为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解决本题的关键． 知识点二：等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据等边三角形的判定条件逐一分析选项：需满足三个角均为，或一个角为的等腰三角形． 【详解】解：A、不能判定为等边三角形，不符合题意； B、不能判定为等边三角形，不符合题意； C、不能判定为等边三角形，不符合题意； D、能判定为等边三角形，符合题意； 故选D． 2．（23-24八年级下·全国·课前预习）等边三角形的判定： ① 的三角形是等边三角形．（定义） ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形． 【答案】 三条边都相等 60° 【解析】略 【典型例题一 等边三角形的性质】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（   ） A．220° B．180° C．270° D．240° 【答案】D 【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的定义可得，再根据四边形的内角和即可得． 【详解】解：如图，是等边三角形， ， ，即， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形的内角和、等边三角形，熟练掌握多边形的内角和是解题关键． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查等边三角形中求角度，涉及“一线三等角”模型，先利用等边三角形的性质可得，从而利用三角形外角性质得到，再由已知条件即可得证．熟记等边三角形性质、三角形外角性质是解决问题的关键． 【详解】证明：是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ，， ． 1．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在等边中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．由等边可得，根据可得，利用三线合一性质可得，代入数据即可解答． 【详解】解：等边， ，， ， ， ， 又， ． 故选：B． 3．（23-24八年级下·全国·课前预习）根据条件判断下列三角形是等边三角形为 ． 【答案】（2）（3）（5）（6） 【解析】略 4．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，连接，即可证明，根据等腰三角形的性质可证明，再根据三角形外角的性质，可知，即可求出，最后即可证明． 【详解】证明：如图所示，连接． 是等边三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【典型例题二 等边三角形的判定】 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是（　　　） A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据正六边形的外角等于60°，可得，即可求解． 【详解】解：∵正六边形ABCDEF， ∴， △GAF是等边三角形， 故选B 【点睛】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定，掌握正多边形的每个外角相等是解题的关键． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明，得出，根据等腰三角形三线合一的性质即可求解． （2）根据，得出，结合，得出，结合，即可证明． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 平分， 即平分． （2）解：是等边三角形，理由： ， ， ， ， ， ， ， 1．（23-24七年级上·山东青岛·期中）下列条件不能得到等边三角形的是（   ） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】根据等边三角形的判定、等腰三角形的性质进行逐一判断即可． 【详解】解：因为有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形， 所以A选项符合题意，B选项不符合题意； 因为顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形， 所以C不符合题意； 因为腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形， 所以D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的判定、等腰三角形的性质． 2．（2023九年级·北京·专题练习）下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．三边都相等的三角形 D．有一个角是且是轴对称图形的三角形 【答案】B 【分析】根据等边三角形的判定解题． 【详解】解：、两个内角为，根据三角形的内角和为，可知另一个内角也为，所以该三角形为等边三角形．故不符合题意； 、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件，所以不能确定该三角形是等边三角形．故符合题意； 、三边都相等的三角形当然是等边三角形．故不符合题意； 、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是，有两边相等且一角为的三角形是等边三角形．故不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，等边三角形的判定．根据题意要证明垂直平分，推出，再根据等边三角形的判定定理即可得出结论． 【详解】解：如图，添加时，为等边三角形， ∵在中，平分，， ∴是中边上的中线， ∴是中边上的高（三线合一）， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，，交于．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定证明即可． 【详解】证明：，， ， ， ， 是等边三角形． 【典型例题三 等边三角形的判定与性质】 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知中，则的周长等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断为等边三角形即可求出其周长． 【详解】根据题意可知为等边三角形， ∴的三条边相等且等于3， ∴的周长为． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质．掌握等边三角形的判定条件是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段，利用直尺和圆规按以下要求作图：分别以点A、B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在的上方相交于点C，连接、．求证：的三条边都相等（要求保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图与证明见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握作一条线段等于已知线段，根据作图证明，是正确解答此题的关键． 按题设作法逐步作图，根据作图即得． 【详解】解：由作图知，， ∴． 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知等腰三角形的一边长为，且其有一个内角的度数为，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，当等腰三角形有一个内角为时，该三角形必为等边三角形．因此，无论已知边长为的是底边还是腰，其余两边均为，周长可直接计算． 【详解】解：一个等腰三角形的一个内角为， 该等腰三角形是等边三角形， 又其一边长为， 它的周长是． 故选：B． 2．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，先根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，再结合等边三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵衣架杆．， ∴是等边三角形 ∴ 故选：B 3．（23-24八年级上·甘肃定西·期中）在中，则的度数为 度． 【答案】60 【分析】根据条件可判断是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴是等边三角形 ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质．掌握等边三角形的判定定理是关键． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，为对角线延长线上一点，且，连接．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，先根据平行线的性质得出，再证明是等边三角形，进而得出，，再证明，进而可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴． ∴． 1．（23-24七年级下·山西·期末）如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 先根据等边三角形的性质得出，根据直角三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵于F，交于点E， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，那么下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，先根据“两边对应成比例且夹角相等”得，再根据相似三角形的对应角相等得，然后根据“两角相等的两个三角形相似”得，，比较和各角之间的关系得出答案． 【详解】∵，是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 所以A，C，D正确； 在和中，， 可知这两个三角形不相似． 所以B不正确． 故选：B． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质．连接，交于点F，连接，根据等边三角形的性质得出是的垂直平分线，证明，得出，说明当B，，三点共线时，最小，的最小值，得出当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长，求出最小值即可． 【详解】解：连接，交于点F，连接，如图所示： ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵当B，，三点共线时，最小，的最小值， ∴当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 即的最小值为9， 故选：B． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列语句中，正确的是（　　） A．等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线 B．等腰三角形的对称轴是底边上的高 C．腰上的高也是中线的三角形是等边三角形 D．角可看作是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 【答案】C 【分析】根据轴对称的定义和三角形的性质分别判断即可． 【详解】解：A、三角形中，中线是连接一个顶点和它所对边的中点的线段，而线段的垂直平分线是直线，故错误； B、三角形的高对应的是线段，而对称轴对应的是直线，故错误； C、腰上的高也是中线的等腰三角形是是等边三角形，故正确； D、角可看作是以它的角平分线所在直线为对称轴的轴对称图形，故错误； 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的基本性质，轴对称的定义，在三角形中，高、中线对应的都是一条线段，而角平分线对应的是一条射线．这些都属于基本的概念问题，要能够吃透概念、定义． 6．（23-24八年级上·四川乐山·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．如果，那么 C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查命题，根据不等式与等式的性质，等边三角形的判定，角平分线的性质逐一分析各选项是否符合相关数学定理或性质即可解答． 【详解】解：A． 当和均为正数时可能成立，但若、为负数则不成立．例如，，时，，但，故A为假命题． B． 平方相等的两个数可能相等或互为相反数．例如，，时，但，故B为假命题． C． 有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故C为假命题． D．根据角平分线性质定理，角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故D为真命题． 故选：D． 7．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则的长度是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分得到，，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据直角三角形的性质可得，从而得到是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵在中，E是的中点， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 故选：B 9．（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定与性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，结合，可证明是等边三角形，所以，再根据对顶角相等即得答案． 【详解】四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选B． 10．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（　　） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 【答案】A 【分析】先求得，然后可判断为等边三角形，从而可求得的长． 【详解】解：如图所示：连接． 点在点的南偏西方向，点在点的北偏西方向， ． 又， 为等边三角形． 海里． 故选：． 【点睛】本题主要考查的是方向角、等边三角形的性质和判定，证得为等边三角形是解题的关键． 11．（23-24八年级上·吉林·期中）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 cm． 【答案】4 【分析】根据等边三角形的定义“三条边都相等的三角形”即可求出答案． 【详解】根据等边三角形的三条边相等可知其边长cm． 故答案为：4． 【点睛】本题考查等边三角形的定义．掌握其定义是解答本题的关键． 12．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）如图，l1∥l2，等边△ABC顶点A、B分别在l1，l2上，∠2＝45°，则∠1度数为 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，以及等边三角形的性质即可解得． 【详解】如图： ∵l1∥l2 ∴∠2=∠ABD ∵△ABC为等边三角形 ∵∠ABC=60° ∵∠2=45° ∴∠1=∠ABC-∠ABD=15° 故答案为：15°. 【点睛】本题考查了平行线的性质，以及等边三角形的性质，熟记以上性质是解题之关键． 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）等边三角形的判定1： 都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定2： 都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定3：有一个角 的 三角形是等边三角形． 【答案】 三条边 三个角 是 等腰 【分析】根据等边三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：等边三角形的判定1：三条边都相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形； 等边三角形的判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形； 故答案为：三条边；三个角；是；等腰． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定定理，熟知定理是解本题的关键． 14．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，P 为射线上一点，若是等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或6或2 【分析】由题意可求得；分三种情况考虑：；；即可． 【详解】解：， ， 由勾股定理得：； 当时，如图，则； 当时，过点C作于E，如图； 则，， 由勾股定理得：， ； 当时，则， ； 而， 即， ， 是等边三角形， ， ； 综上，的长为或6或2． 【点睛】本题考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，注意分类讨论． 15．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，是等边三角形，于点D，于点E．若，则 ；与的面积关系是： ． 【答案】 ； ． 【分析】根据等边三角形三线合一性质，可知，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半解得；由解得，继而解得、，再根据三角形面积公式解得，，整理即可解得的值． 【详解】是等边三角形， 是的平分线 在中， ； 故答案为：；． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 16．（2023·北京石景山·二模）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形性质得出∠B＝∠C＝60°，根据三角形外角性质得出∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°，根据∠ADE＝60°，可得∠ADB＝∠2＋60°，可证∠1＝∠2即可． 【详解】证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠ADB＝∠1＋∠C＝∠1＋60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB＝∠2＋60°， ∴∠1＝∠2， ∴△ADC∽△DEB． 【点睛】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定，掌握等边三角形性质，三角形外角性质，三角形相似判定是解题关键． 17．（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由等边三角形得到，然后证明出，进而证明出． 【详解】证明：为等边三角形， ， ， ， 在和中， ． 18．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据等边对等角得到，再导角证明．进一步证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 19．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证： (2)若．求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得结论； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可，根据，求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，   是等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ； （2）解：如图2中，连接，   ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， ， 是直角三角形， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20．（2025·河北唐山·二模）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用证明即可； （）先证为等边三角形，可得，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】（1）证明：∵为的中点， ∴， 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲等边三角形（2大知识点+3大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 等边三角形的性质 典型例题二 等边三角形的判定 典型例题三 等边三角形的判定与性质 知识点一：等边三角形的性质 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【即时训练】 1．（23-24八年级上·山东临沂·期中）如图是三个等边三角形随意摆放组成的图形，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在等边中，，，则的长为 ． 知识点二：等边三角形的判定 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【即时训练】 1．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）下列条件中，能判定为等边三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·全国·课前预习）等边三角形的判定： ① 的三角形是等边三角形．（定义） ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形． 【典型例题一 等边三角形的性质】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠a＋∠β的度数是（   ） A．220° B．180° C．270° D．240° 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．求证：． 1．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在等边中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C． D．6 3．（23-24八年级下·全国·课前预习）根据条件判断下列三角形是等边三角形为 ． 4．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：． 【典型例题二 等边三角形的判定】 1．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图是一款圣诞帽，该帽子的下方是正六边形ABCDEF，延长BA，EF，交于点G，则帽子的顶部△GAF的形状是（　　　） A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，是上的一点，过点作的垂线交于点，连接，交于点． (1)求证：平分； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 1．（23-24七年级上·山东青岛·期中）下列条件不能得到等边三角形的是（   ） A．有一个内角是60°的锐角三角形 B．有一个内角是60°的等腰三角形 C．顶角和底角相等的等腰三角形 D．腰和底边相等的等腰三角形 2．（2023九年级·北京·专题练习）下列条件中，不能得到等边三角形的是（   ） A．有两个内角是的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．三边都相等的三角形 D．有一个角是且是轴对称图形的三角形 3．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，是边上一点，平分，在不添加字母和辅助线的情况下，如果添加一个条件能使为等边三角形，那么可以添加的条件是 ．（只需写出一个） 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，，交于．求证：是等边三角形．    【典型例题三 等边三角形的判定与性质】 1．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知中，则的周长等于（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段，利用直尺和圆规按以下要求作图：分别以点A、B为圆心，以的长为半径作弧，两弧在的上方相交于点C，连接、．求证：的三条边都相等（要求保留作图痕迹，不写作法）． 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）已知等腰三角形的一边长为，且其有一个内角的度数为，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．15 C．18 D．20 2．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·甘肃定西·期中）在中，则的度数为 度． 4．（2025·陕西·模拟预测）如图，在四边形中，，，为对角线延长线上一点，且，连接．若，求证：． 1．（23-24七年级下·山西·期末）如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）如图，在等边三角形中，点E、F分别在上，且，那么下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 4．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列语句中，正确的是（　　） A．等腰三角形底边上的中线就是底边上的垂直平分线 B．等腰三角形的对称轴是底边上的高 C．腰上的高也是中线的三角形是等边三角形 D．角可看作是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 6．（23-24八年级上·四川乐山·期末）下列命题中，真命题是（   ） A．若，则 B．如果，那么 C．有一个角是的三角形是等边三角形 D．角平分线上的点到角两边的距离相等 7．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则的长度是（    ） A．1 B．2 C． D． 8．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 9．（23-24八年级下·吉林松原·期末）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·山西太原·阶段练习）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地，则A，C两地相距（　　） A．100海里 B．80海里 C．60海里 D．40海里 11．（23-24八年级上·吉林·期中）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 cm． 12．（23-24七年级下·江西景德镇·期中）如图，l1∥l2，等边△ABC顶点A、B分别在l1，l2上，∠2＝45°，则∠1度数为 ． 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）等边三角形的判定1： 都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定2： 都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定3：有一个角 的 三角形是等边三角形． 14．（23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在中，，P 为射线上一点，若是等腰三角形，则的长为 ． 15．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，是等边三角形，于点D，于点E．若，则 ；与的面积关系是： ． 16．（2023·北京石景山·二模）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°．求证：△ADC∽△DEB． 17．（2025·福建福州·三模）如图，是等边三角形，是上的点，点在外，且，．求证：． 18．（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，是边延长线上一点． (1)尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，标明字母，不写作法；如果完成有困难，可直接画出草图，解答第（2）题）； (2)在（1）得到的图中，若，求证：是等边三角形． 19．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证： (2)若．求四边形的面积． 20．（2025·河北唐山·二模）如图，直线经过线段的中点，，为射线上的一动点，为射线上的一动点，，连接. (1)求证：. (2)若，当时，求的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$