（八上预习篇）14.3 角的平分线-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（人教版2024）

∴∠BEC=∠CDB=90 在△BEC和△CB中，ECB. ..Rt△BEC≌RL△CDB(HI). 7.证明：：AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三 角形ABE的高，且AC=AE,AD=AF, ∴.Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).,∴.CD=EF .·AB=AB.AD=AF,∠D=∠F=90°， ∴Rt△ABD≌R△ABF(HL). .∴BD=BF ∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 8.证明：如图，连接BD. 因为∠BAD=∠BCD=90°， E 在R1△ABD和R1△CBD中， 「BD=BD, AB=CB. 所以RL△ABD≌Rt△CBD(HL) 所以AD=CD 因为AE⊥EF,CF⊥EF 所以∠E=∠F=90. 在R△ADE和R△CDF中，AE=CF, [AD=CD 所以Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). 9.解：(1)证明：在R△AFB和RI△CED中， 「AB=CD LAF CE, ∴，Rt△AFB≌RL△CED(HL) ∴.BF=DE r∠BMF=∠DME 在△BFM和△DEM中，∠BFM=∠DEM, BF DE. ∴.△BFM≌△DEM(AAS). .∴，MB=MD,ME=MF (2)结论MB=MD,ME=MF仍成立， 证明：在△AB和△CED中，[C公： ∴.Rt△AFB≌Rt△CED(HL) ∴，BF=DE.同理可证△BFM≌△DEM. ∴.MB=MD,ME=MF,即结论仍成立 14.3角的平分线 知识点一相等 【跟踪练习1】 1.B 2.解：AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB 交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F, ∴.DF=DE=2. 又，SAAc=SAAw+SANCD,AB=4, 7=7×4x2+7×4Cx2 ∴.AC=3. 知识点二角的平分线 【跟踪练习2】 证明：AB=AD,BC=DC,AC=AC, ∴，△ABC≌△ADC(SSS). ,∴.∠BAC=∠DAC ,CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F, .CE =CF. 自主检测 1.D2.A 3.A【解析】DC⊥AC,DE⊥AB,且DE=DC, 14 ∠1=∠2 在△AED和△BED中，AE=BE,∠AED=∠BED, ED ED .△AED≌△BED(SAS)..∠1=∠B. ∴.∠B=∠1=∠2. 又：在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°， .∠B=30°.故选A. 4.C【解析】：AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC, DC的长度等于点D到AB的距离. ,BC=1000m,BD=800m, ∴.DC=200m. ∴，点D到AB的最短距离为200m.故选C. 5.2 6.7【解析】如图，过点P作PN ⊥OA于点N',当PN⊥OA时， PN的值最小，此时PN=PW' ,OC平分∠A0B,PM⊥OB, ∴.PM=PN' PM=7,PN'=7. ∴.PW的最小值为7 7.PC=PD 8.证明：，AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°， .DC DE. DC=DE. 在△DCF和△DEB中 ∠C=∠BED LCF EB. .△DCF≌△DEB(SAS). ∴.BD=DF 9.证明：如图，过点P作PE⊥AC 于点E :AP,CP分别为∠MAC与 ∠NCA的平分线，且PD⊥BM, PF⊥BN, .PD PE,PF PE..PD PF. 又PD⊥BM,PF⊥BN,∴点P在∠MBN的平分 线上，即BP是∠MBN的平分线. 10.解：(1)证明：如图，连接BD,CD ,AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC, ∴.DE=DF ∠BED=∠CFD=90° ,DG⊥BC且平分BC .∠BGD=∠CGD=90°，BG=CG DG=DG,.△BDG≌△CDG(SAS). ∴.BD=CD. [BD =CD, 在R△BED和R△CFD中，DE=DF, ∴.Rt△BED≌Rt△CFD(HL)..BE=CF ∠AED=∠AFD (2)在△AED和△AFD中， ∠EAD=∠FAD LAD =AD, .△AED≌△AFD(AAS) .AE =AF. 设BE=x,则CF=x. .AB=5,AC=3,AE =AB-BE,AF =AC+CF, ∴5-x=3+x..x=1 .BE=1. .AE=AB-BE=5-1=4 章末预习自测 1.B2.C3.B假期好时光 RJ·数学·八年级·上 14.3角的平分线 一学习目标一 1.历经探究角平分线性质的过程，会用尺规作一个角的平分线. 2.掌握角平分线的性质，会利用角平分线的性质证明简单的线段相等、角相等问题 3.理解并会运用角平分线性质的逆定理解决问题. 厂知识点讲解☐ 知识点一角平分线的性质 在角平分线上的点到角两边的距离 【典型例题1】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE,DF分别垂 直于AB,AC,垂足为E,F.求证：EB=FC 小斗点拨：依题意知，DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC,由角平分线性质，得 DE=DF,已知BD=DC,利用“HL”证明Rt△BDE≌Rt△CDF即可. 证明：，DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC,∴，DE=DF tBD CD, 在Rt△BDE和Rt△CDF中， DE =DF, ∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)..EB=FC. 【跟踪练习1】 1.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距 离为 A.5 B.6 D C.3 D.4 2.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F.若SAABC= 7,DE=2,AB=4,求AC的长 知识点二角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在 上 64 第十四章全等三角形 预习篇 【典型例题2】如图，已知∠C=∠D=90°，E是CD的中点，BE平分∠ABC.求证： AE平分∠DAB. 小斗点拨：如图，过点E作EF⊥AB于点F,根据角平分线的性质，得EC= EF,再证明EF=ED,然后根据角平分线的性质定理的逆定理可证明AE平分 ∠DAB. 证明：如图，过点E作EF⊥AB于点F BE平分∠ABC,EC⊥BC,EF⊥AB,∴.EC=EF. E是CD的中点，∴.ED=EC.∴.EF=ED EF⊥AB,ED⊥AD,∴.AE平分∠DAB. 【跟踪练习2】 如图，已知点D,B分别在∠EAF的两边上，C是∠EAF内的一点，且AB=AD,BC=DC,CE⊥ AD,CF⊥AB,垂足分别是E,F.求证：CE=CF 一 自主检测☐ 一、选择题 1.如图，∠1=∠2，PDLOA于点D,PE⊥OB于点E,下列结论中错误的是 A.PD=PE B.OD=OE C.∠DPO=∠EPO D.PD=OD D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3,则△ABD的 面积为 () A.15 B.30 C.12 D.10 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB于点E,且AE=EB,DE=DC,则∠B等 于 A.30° B.45° C.60° D.55° 4.如图，有三条道路围成Rt△ABC,其中BC=1000m,一个人从B处出发沿着BC行走了800m, 到达D处，AD恰为∠CAB的平分线，则此时这个人到AB的最短距离为 () A.1000m B.800m C.200m D.1800m 65 假期好时光 RJ·数学·八年级·上 二、填空题 5.如图，AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E,且OE=1,则AB与CD 之间的距离等于 M B 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PM⊥OB于点M,N是射线OA上的一个动点， 若PM=7,则PN的最小值为 7.我们大家都喜欢放风筝，如图是一个风筝骨架.为使风筝平衡，需使∠AOP=∠BOP.已知PC ⊥OA,PD⊥OB,那么PC和PD满足 ,才能保证OP为∠AOB的平分线. 三、解答题 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E,点F在AC上，BE=FC.求证： BD DF. 9.如图，已知AP,CP分别是△ABC的外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P,PD⊥BM 于点D,PF⊥BN于点F.求证：BP为∠MBN的平分线. 10.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F (1)求证：BE=CF; (2)如果AB=5,AC=3,求AE,BE的长 66