（八上预习篇）14.2.4 利用“HL”判定直角三角形全等-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（人教版2024）

假期好时光 RJ·数学·八年级·上 匚知识点讲解☐ 知识点用“HL”证明直角三角形全等 【典型例题】如图，AB⊥BC,AD⊥DC,AB=AD.求证：CB=CD. 小斗点拨：根据已知条件，利用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ADC,根据全等三角 形的对应边相等即可得到CB=CD 证明：，AB⊥BC,AD⊥DC,∴.∠B=∠D=90°. 在RL△ABC和Rt△ADC中， [AC=AC, AB =AD. ∴.Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).∴.CB=CD. 【跟踪练习】 1.使两个直角三角形全等的条件是 () A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等 C.一条边对应相等 D.斜边及一条直角边对应相等 2.如图，∠C=∠D=90°，再添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下 给出的条件适合的是 () A.AC=AD B.AB=AB C.∠ABC=∠ABDD.∠BAC=∠BAD 3.如图，在△ABC中，AC=BC,直线I经过顶点C,过A,B两点分别作I的垂线AE,BF,E,F为垂 足，AE=CF.求证：∠ACB=90°. 自主检测☐ 一、选择题 1.如图，已知AC⊥BD,垂足为O,AO=C0,AB=CD,则可得到△AOB≌△COD,理由是() A.HL B.SAS C.ASA D.SSS B B D 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，两根长度为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木 桩离旗杆底部的距离BD和CD的关系是 () A.BD>CD B.BD<CD C.BD=CD D.不能确定 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB交BC于点E,若∠B=28°，则∠AEC等于 () A.28 B.59 C.60° D.62° 62 第十四章全等三角形 预习篇 二、填空题 4.如图，DE⊥AB,DF⊥AC,AE=AF,请找出一对全等三角形： 第4题图 第5题图 5.如图，在R△ABC中，∠C=90°，线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动， 当AP= 时，才能使△ABC≌△QPA 三、解答题 6.如图，BD,CE是△ABC的高，且BE=CD.求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. 7.如图，已知AD,AF分别是钝角三角形ABC和钝角三角形ABE的高，如果AD=AF,AC=AE. 求证：BC=BE. 8.如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，D是EF上一点，AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,AE= CF.求证：Rt△ADE≌Rt△CDF. 9.如图1，E,F为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于点E,BF⊥AC于点F,若AB=CD,AF= CE,BD交AC于点M. (1)求证：MB=MD,ME=MF; (2)当E,F两点移动至如图2所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，请 给出证明；若不成立，请说明你的理由， 图1 图2 63AC=TAE=2=DE. 又DE∥AB,∴∠BAC=∠E. ∠B=∠DAE, 在△ABC和△EAD中， ∠BAC=∠E, LAC=ED, ·△ABC≌△EAD(AAS). 自主检测 1.B2.C 3.D【解析】如图，过点O作OG⊥地面于点G,则 OG=60cm,标注点A,B,E,F 淇淇 由题意可知，∠ABO=∠FEO,∠AOB=∠FOE, A0=F0. .∴.△ABO≌△FEO(AAS)..∴.AB=EF=15cm. ·嘉嘉离地面的高度是0G-EF=60-15=45(cm). 故远D. 4.C 5.∠C=∠D或∠ABC=∠BAD或AC=BD或∠OAD =∠OBC(答案不唯一，选择一个条件即可) 6.25 7.证明：AC=BD, .AC CD BD +CD...AD=BC. r∠E=∠F 在△ADE和△BCF中，{∠A=∠B, LAD=BC, ∴.△ADE≌△BCF(AAS). 8.解：(1)①（答案不唯一） (2)证明：BE=CF,.BC=EF. ∠B=∠1， 在△ABC和△DEF中，{BC=EF, ∠2=∠F, .∴△ABC≌△DEF(ASA). 9.解：(1)证明：∠1+∠C+∠EDC=180°，∠2+ ∠BDE+∠EDC=180°，∠1=∠2， ∴∠C=∠BDE. ∠C=∠BDE. 在△AEC和△BED中，∠A=∠B, LAE =BE. .∴△AEC≌△BED(AAS). (2)由(1)知，△AEC≌△BED ∴.EC=ED.∴.∠EDC=∠C. .∠1=42°，.∠C=69 ∠C=∠BDE,∴.∠BDE=∠C=69°. 14.2.3利用“SSS”判定三角形全等 知识点三边分别相等 【跟踪练习】 AC=CE. 1.证明：在△ABC和△CDE中，{CB=ED, LAB=CD, ,∴.△ABC≌△CDE(SSS). 2.解：(1)证明：，BF=EC, ∴.BF+FC=EC+FC.∴.BC=EF AB =DE. 在△ABC和△DEF中，AC=DF, LBC =EF, .∴△ABC≌△DEF(SSS). (2):∠BFD=150°，∠BFD+∠DFE=180°， 六.∠DFE=30 由(1)知，△ABC≌△DEF, .∠ACB=∠DFE.∴，∠ACB=30 自主检测 1.D 2.B【解析】这里要考虑满足两个三角形三边相等 的所有情况，如图，共有4种情况.故选B. B: 3.D 4.形状大小稳定性 5.BE CD BD=CE AB=AC, 6.4【解析】在△ABD和△ACD中，{AD=AD, BD =CD .△ABD≌△ACD(SSS). ∴.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC .∠ADB=∠ADC=90°.AD⊥BC. ∴.①②③④都正确. 7.证明：AB=AC,BE=CE,AE=AE, ,△ABE≌△ACE(SSS). ∴.∠AEB=∠AEC ∴.180°-∠AEB=180°-∠AEC .∠1=∠2 8.证明：如图，连接BC 在△ABC和△DCB中， tAB=DC. AC=DB BC =CB, .△ABC≌△DCB(SSS)..∠A=∠D. AE =AD. 9.解：(1)证明：在△BAE和△CAD中，AB=AC, BE =CD ∴.△BAE≌△CAD(SSS).∴.∠BAE=∠L. .∠BAE+∠EAC=∠1+∠EAC, 即LBAC=∠EAD. (2)∠3=∠1+∠2. 证明：△CAD≌△BAE, ∠1=∠BAE,∠2=∠ABE. ∠3=∠BAE+∠ABE,.∠3=∠1+∠2. 14.2.4利用“L”判定直角三角形全等 【跟踪练习】 1.D2.A 3证明：在△4CE和△cC8F中，EC, .RL△ACE≌Rt△CBF(HL). ∴.∠EAC=∠FCB. ∠EAC+∠ACE=90°，∴.∠ACE+∠FCB=90°. ∴.∠ACB=180°-90°=90°. 自主检测 1.A2.C3.B 4.△ADE≌△ADF5.CB 6.证明：BD,CE是△ABC的高， 13 .∴.∠BEC=∠CDB=90° 在△BC和R△cDB中，G:C品. .∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL). 7.证明：，AD,AF分别是钝角三角形ABC和饨角三 角形ABE的高，且AC=AE,AD=AF, ∴.Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴.CD=EF .AB=AB,AD=AF,∠D=∠F=90°， ..Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴.BD=BF ∴.BD-CD=BF-EF,即BC=BE. 8.证明：如图，连接BD. 因为∠BAD=∠BCD=90°， E 在Rt△ABD和Rt△CBD中， 「BD=BD: AB=CB. 所以Rt△ABD≌Rt△CBD(HL) 所以AD=CD 因为AE⊥EF,CF⊥EF 所以∠E=∠F=90 在Rt△ADE和Rt△CDF中，AE=CF, 「AD=CD 所以Rt△ADE≌Rt△CDF(HL). 9.解：(1)证明：在Rt△AFB和Rt△CED中， 「AB=CD AF =CE. ∴，Rt△AFB≌Rt△CED(HL) .BF=DE ∠BMF=∠DME, 在△BFM和△DEM中，{∠BFM=∠DEM, BF DE, ∴.△BFM≌△DEM(AAS). ∴.MB=MD,ME=MF. (2)结论MB=MD,ME=MF仍成立. 证明：在△AB和△CED中，C: ∴，Rt△AFB≌Rt△CED(HL). ∴.BF=DE.同理可证△BFM≌△DEM. ∴.MB=MD,ME=MF,即结论仍成立. 14.3角的平分线 知识点一相等 【跟踪练习1】 1.B 2.解：，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB 交AB于点E,DF⊥AC交AC于点F, .DF =DE =2 又，S△ABc=SAAD+SAACD,AB=4, 7=7×4x2+7×4Cx2 ∴，AC=3. 知识点二角的平分线 【跟踪练习2】 证明：AB=AD,BC=DC,AC=AC, ∴.△ABC≌△ADC(SSS). .∴.∠BAC=∠DAC :CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F, ∴.CE=CF. 自主检测 1.D2.A 3.A【解析】：DC⊥AC,DE⊥AB,且DE=DC, 14 .∠1=∠2 在△AED和△BED中，AE=BE,∠AED=∠BED, ED =ED. ∴.△AED≌△BED(SAS).∴∠1=∠B. ∴.∠B=∠1=∠2. 又：在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°， ∴.∠B=30°.故选A 4.C【解析：AD恰为∠CAB的平分线，DC⊥AC, ∴.DC的长度等于点D到AB的距离. ,BC=1000m,BD=800m, .∴.DC=200m ∴.点D到AB的最短距离为200m.故选C. 5.2 6.7【解析】如图，过点P作PN ⊥OA于点N'.当PN⊥OA时， PN的值最小，此时PN=PW”. OC平分∠AOB,PM⊥OB, ∴.PM=PN'. PM=7,PN'=7. M ∴.PN的最小值为7. 7.PC=PD 8.证明：：AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°， ∴.DC=DE. DC=DE」 在△DCF和△DEB中 ∠C=∠BED, F=EB, ∴.△DCF≌△DEB(SAS). ∴.BD=DF 9.证明：如图，过点P作PE⊥AC 于点E. :AP,CP分别为∠MAC与 ∠NCA的平分线，且PD⊥BM PF⊥BN, ∴PD=PE,PF=PE.PD=PF 又：PD⊥BM,PF⊥BN,∴.点P在∠MBN的平分 线上，即BP是∠MBN的平分线. 10.解：(1)证明：如图，连接BD,CD, :AD平分∠BAC,DE⊥AB, DF⊥AC, .DE DF, ∠BED=∠CFD=90° ,DG⊥BC且平分BC ∴.∠BGD=∠CGD=90°，BG=CG DG=DG,∴.△BDG≌△CDG(SAS). .BD =CD. 在△BED和a△GPD中，C ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)..BE=CF. ∠AED=∠AFD (2)在△AED和△AFD中， ∠EAD=∠FAD, LAD =AD, .△AED≌△AFD(AAS): ..AE =AF. 设BE=x,则CF=x AB=5,AC=3,AE =AB-BE,AF =AC CF, ∴.5-x=3+x.∴.x=1. ∴.BE=1. ∴AE=AB-BE=5-1=4. 章未预习自测 1.B2.C3.B