（八上预习篇）14.2.2 利用“两角一边”判定三角形全等-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（人教版2024）

假期好时光 RJ·数学·八年级·上 三、解答题 8.如图，AB=CB,BE=BF,∠1=∠2.求证：△ABE≌△CBF. 9.如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE. (1)求证：△ACD≌△BCE: (2)若∠D=50°，求∠B的度数. 10.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C,D,E在同一直线 上，连接BD (1)求证：△BAD≌△CAE; (2)试猜想BD,CE有何特殊位置关系，并证明. 14.2.2利用“两角一边”判定三角形全等 一学习目标☐ 1.掌握三角形全等的判定定理“角边角”与“角角边”，并能用数学符号语言表示这两个判定 定理 2.能利用这两个定理判定两个三角形全等，并能利用这两个定理进行简单的推理与计算 3.会选择合适的判定定理证明三角形全等， 厂知识点讲解了 知识点一“ASA”定理的应用 分别相等的两个三角形全等（简称“角边角”或“ASA”). 【典型例题1】如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB∥DE,AC∥DF,BE=CF.求证：△ABC ≌△DEF. 小斗点拨：根据已知条件，证明出∠B=∠DEF,∠F=∠ACB,再根 据“ASA”进行证明. 证明：BE=CF,∴.BE+EC=CF+EC.,BC=EF AB∥DE,AC∥DF,∴.∠B=∠DEF,∠F=∠ACB. 56 第十四章全等三角形 预习篇 t∠B=∠DEF 在△ABC和△DEF中，BC=EF, .△ABC≌△DEF(ASA). L∠ACB=∠F, 【跟踪练习1】 1.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，则判定△ABD和△ACD全等的依据是 () B' A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS 2.如图，在△ABC中，O为AB的中点，AD∥BC,过点O的直线分别交AD,BC于点D,E. 求证：OD=OE. 知识点二“AAS”定理的应用 分别相等的两个三角形全等（简称“角角边”或“AAS”) 【典型例题2】如图，AC和BD相交于点E,AB∥CD,BE=DE. 求证：△ABE≌△CDE. 小斗点拨：由平行线的性质得到∠B=∠D,∠A=∠C,再根据全等三 角形判定的“AAS”定理即可证得结论 证明：：AB∥CD,∴.∠B=∠D,∠A=∠C t∠A=∠C, 在△ABE和△CDE中，∠B=∠D, BE DE, ∴.△ABE≌△CDE(AAS) 【跟踪练习2】 1.如图，在△ABC和△ABD中，已知∠CAB=∠DAB,在不添加任何辅助线的前提下，下列条件 中不能使△ABC≌△ABD的是 A.AC=AD B.BC=BD C.∠C=∠D D.∠CBE=∠DBE 2.如图，已知DE∥AB,∠DAE=∠B,DE=2,AE=4,C为AE的中点.求证：△ABC≌△EAD D 57 假期好时光 RJ·数学·八年级·上 自主检测 一、选择题 1.如图，要测量河两岸相对的两点A,B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC 再定出BF的垂线DE,使点A,C,E在一条直线上，可以证明△EDC兰△ABC,得ED=AB,因 此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是 () A.SAS B.ASA C.SSS D.AAS 第1题图 第2题图 2.如图，AD平分∠BAC,AB=AC,连接BD,CD并延长分别交AC,AB于点F,E,则此图中全等三 角形有 () A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 主题情境游乐场请完成第3~4小题 3.如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是60cm, 当淇淇从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是 A.15 cm B.30 cm C.40 cm D.45 cm 0 是洪洪。嘉嘉 E.------C D ..D 一地面 第3题图 第4题图 4.小文与爸爸、妈妈在荡秋千.小文两脚在地面上用力一蹬，妈妈在点B处接住她后用力一推，爸 爸在点C处接住她.若点B距离地面的高度为1,5m,点B到OA的距离BD为1.9m,点C距离 地面的高度是1.6m,∠BOC=90°，则点C到OA的距离CE为 () A.1m B.1.5m C.2 m D.2.5m 二、填空题 5.如图，∠BAC=∠ABD,请你添加一个条件： (只添加一个即可)，使OC=OD D 第5题图 第6题图 6.如图，∠A=∠D,OA=OD,∠DOC=50°，则∠DBC= 三、解答题 7.如图，点A,C,D,B在同一条直线上，且AC=BD,∠A=∠B,∠E=∠F.求证：△ADE≌△BCF 58 第十四章全等三角形 预习篇 8.如图，已知B,E,C,F四点在同一条直线上，BE=CF,∠B=∠1 (1)在①L2=∠F;②AC=DF;③AB=DE三个条件中任选一个，使△ABC≌△DEF,你选择 的条件是 (填序号，填符合题意的一个即可)： (2)在(1)选择的条件下，证明：△ABC≌△DEF. 9.如图，∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O. (1)求证：△AEC≌△BED; (2)若∠1=42°，求∠BDE的度数 14.2.3利用“SSS”判定三角形全等 一学习目标 1.体验探究三角形全等的判定定理“SSS”的过程，并会利用该定理证明三角形全等 2.初步体会尺规作图. 3.熟练掌握简单的证明格式 厂知识点讲解☐ 知识点利用“SSS”证明三角形全等 1. 的两个三角形全等（简称“边边边”或“SSS”) 2.判断两个三角形全等的推理过程，叫作证明三角形全等。 【典型例题】如图，AB=DC,AC=DB. 求证：(I)△ABC≌△DCB; (2)∠1=∠2. 小斗点拨：(1)要求证△ABC≌△DCB,观察图中△ABC和△DCB,即可发现△ABC和△DCB 有一条公共边BC,再加上已知条件，就可根据“SSS”证明△ABC≌△DCB. (2)可根据三角形全等的性质来解答 AB=DC, 证明：(1)在△ABC和△DCB中 BC=CB,∴.△ABC≌△DCB(SSS) AC=DB, (2).△ABC≌△DCB,∴.∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC. ∴.∠ABC-∠DBC=∠DCB-∠ACB,即∠1=∠2. 59【跟踪练习1】 1.B2.B 知识点二 全等于相等对应角 【跟踪练习2】 1.B 2.20 自主检测 1.B2.A 3.A【解析】由折叠知，DN=AN,DN+BN=AN+ BN =AB=9 又，D为BC的中点，BC=6 ..BD=3 ·.△DNB的周长=DN+BN+BD=AN+BN+BD =AB+BD=9+3=12.故选A 4.D 5.△ADC AD DC∠DCA 6.60°【解析】：△ABC≌△DEF,.∠A=∠D= 70°，∠B=∠E=50°..∠DFC=180°-（∠D+ ∠E)=180°-120°=60. 7.13【解析】：△ABC≌△DBE,BE=8, ∴.BC=BE=8. ,△ABC的周长为30，∴.AB+AC+BC=30. ..AC=30-AB-BC=13. 8.100° 9.解：因为∠B=∠C,∠1=∠2， 所以另一组对应角为∠BAE与∠CAD. 因为∠B和∠C的对边分别是AE和AD,∠1和 ∠2的对边分别是AC和AB,∠BAE和∠CAD的 对边分别是BE和CD,所以它们的对应边是AB 与AC,AE与AD,BE与CD. 10.解：(1)证明：.△ABC≌△DEF, ∴.∠B=∠DEF.∴.AB∥DE. (2).·△ABC≌△DEF, .'AB =DE =6. 0E=4, ∴.0D=DE-0E=6-4=2. 14.2三角形全等的判定 14.2.1 利用“SAS”判定三角形全等 知识点夹角 【跟踪练习】 1.B 2.证明：.AB∥DE,∴.∠A=∠D. AF =CD,..AC+CF=CF +DF. .AC DF. rAC DF, 在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D, LAB=DE, ..△ABC≌△DEF(SAS). 3.证明：·∠EAB=∠CAD ..∠EAB+∠BAD=∠CAD+∠BAD. 即∠EAD=∠CAB. AB=AD. 在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠EAD, LAC=AE, ∴.△ABC≌△ADE(SAS). ∴∠B=∠D. 自主检测 1.D2.C3.C 4.A【解析】如图，在AC上裁取AE=AB=3,连 接PE. 12 AC=7, .CE=AC-AE=7-3=4. :P是∠BAC平分线AD上 的一点， .∴.∠EAD=∠BAD tAE=AB, 在△APE和△APB中，{∠EAP=∠BAP, LAP=AP. ·.△APE≌△APB(SAS). ∴.PE=PB=2 ∴.4-2<PC<4+2,即2<PC<6.故选A 5.B6.C 7.垂直 8.证明：∠1=∠2 ∴.∠1+∠FBE=∠2+∠FBE, 即∠ABE=∠CBF rAB=CB. 在△ABE和△CBF中， ∠ABE=∠CBF, BE BF, .△ABE≌△CBF(SAS). 9.解：(1)证明：，C是线段AB的中点， ∴.AC=BC 又：CD平分∠ACE,CE平分∠BCD .∠1=∠2，∠2=∠3.∴.∠1=∠3. CD =CE, 在△ACD和△BCE中， ∠1=∠3， LAC =BC, △ACD≌△BCE(SAS). (2):∠1+∠2+∠3=180°， .∠1=∠2=∠3=60°. △ACD≌△BCE,∴，∠E=∠D=50 .∠B=180°-∠3-∠E=180°-60°-50°=70° 10.解：(1)证明：∠BAC=∠DAE=90°， ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. AB =AC. 在△BAD和△CAE中， ∠BAD=∠CAE. LAD =AE, .△BAD≌△CAE(SAS). (2)BD⊥CE. 证明：由(1)知，△BAD≌△CAE, ∴.∠ADB=∠E. :∠DAE=90°，∴.∠E+∠ADE=90 ∴.∠ADB+∠ADE=90°，即∠BDE=90° ∴.BD⊥CE. 14.2.2利用“两角一边”判定三角形全等 知识点一两角和它们的夹边 【跟踪练习1】 1.B 2.证明：0为AB的中点， A0=B0. AD∥BC,∴∠DAO=∠EBO. LDAO=∠EBO, 在△AOD和△BOE中，{AO=B0, t∠AOD=∠BOE, .△AOD≌△BOE(ASA).∴.OD=OE. 知识点二两个角和其中一个角的对边 【跟踪练习2】 1.B 2.证明：，C为AE的中点，AE=4,DE=2, AC=TAE=2=DE. 又DE∥AB,∴∠BAC=∠E. ∠B=∠DAE, 在△ABC和△EAD中， ∠BAC=∠E, LAC=ED, ·△ABC≌△EAD(AAS). 自主检测 1.B2.C 3.D【解析】如图，过点O作OG⊥地面于点G,则 OG=60cm,标注点A,B,E,F 淇淇 由题意可知，∠ABO=∠FEO,∠AOB=∠FOE, A0=F0. .∴.△ABO≌△FEO(AAS)..∴.AB=EF=15cm. ·嘉嘉离地面的高度是0G-EF=60-15=45(cm). 故远D. 4.C 5.∠C=∠D或∠ABC=∠BAD或AC=BD或∠OAD =∠OBC(答案不唯一，选择一个条件即可) 6.25 7.证明：AC=BD, .AC CD BD +CD...AD=BC. r∠E=∠F 在△ADE和△BCF中，{∠A=∠B, LAD=BC, ∴.△ADE≌△BCF(AAS). 8.解：(1)①（答案不唯一） (2)证明：BE=CF,.BC=EF. ∠B=∠1， 在△ABC和△DEF中，{BC=EF, ∠2=∠F, .∴△ABC≌△DEF(ASA). 9.解：(1)证明：∠1+∠C+∠EDC=180°，∠2+ ∠BDE+∠EDC=180°，∠1=∠2， ∴∠C=∠BDE. ∠C=∠BDE. 在△AEC和△BED中，∠A=∠B, LAE =BE. .∴△AEC≌△BED(AAS). (2)由(1)知，△AEC≌△BED ∴.EC=ED.∴.∠EDC=∠C. .∠1=42°，.∠C=69 ∠C=∠BDE,∴.∠BDE=∠C=69°. 14.2.3利用“SSS”判定三角形全等 知识点三边分别相等 【跟踪练习】 AC=CE. 1.证明：在△ABC和△CDE中，{CB=ED, LAB=CD, ,∴.△ABC≌△CDE(SSS). 2.解：(1)证明：，BF=EC, ∴.BF+FC=EC+FC.∴.BC=EF AB =DE. 在△ABC和△DEF中，AC=DF, LBC =EF, .∴△ABC≌△DEF(SSS). (2):∠BFD=150°，∠BFD+∠DFE=180°， 六.∠DFE=30 由(1)知，△ABC≌△DEF, .∠ACB=∠DFE.∴，∠ACB=30 自主检测 1.D 2.B【解析】这里要考虑满足两个三角形三边相等 的所有情况，如图，共有4种情况.故选B. B: 3.D 4.形状大小稳定性 5.BE CD BD=CE AB=AC, 6.4【解析】在△ABD和△ACD中，{AD=AD, BD =CD .△ABD≌△ACD(SSS). ∴.∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC .∠ADB=∠ADC=90°.AD⊥BC. ∴.①②③④都正确. 7.证明：AB=AC,BE=CE,AE=AE, ,△ABE≌△ACE(SSS). ∴.∠AEB=∠AEC ∴.180°-∠AEB=180°-∠AEC .∠1=∠2 8.证明：如图，连接BC 在△ABC和△DCB中， tAB=DC. AC=DB BC =CB, .△ABC≌△DCB(SSS)..∠A=∠D. AE =AD. 9.解：(1)证明：在△BAE和△CAD中，AB=AC, BE =CD ∴.△BAE≌△CAD(SSS).∴.∠BAE=∠L. .∠BAE+∠EAC=∠1+∠EAC, 即LBAC=∠EAD. (2)∠3=∠1+∠2. 证明：△CAD≌△BAE, ∠1=∠BAE,∠2=∠ABE. ∠3=∠BAE+∠ABE,.∠3=∠1+∠2. 14.2.4利用“L”判定直角三角形全等 【跟踪练习】 1.D2.A 3证明：在△4CE和△cC8F中，EC, .RL△ACE≌Rt△CBF(HL). ∴.∠EAC=∠FCB. ∠EAC+∠ACE=90°，∴.∠ACE+∠FCB=90°. ∴.∠ACB=180°-90°=90°. 自主检测 1.A2.C3.B 4.△ADE≌△ADF5.CB 6.证明：BD,CE是△ABC的高， 13