（八上预习篇）13.3.1 三角形的内角-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（人教版2024）

假期好时光 RJ·数学·八年级·上 13.3 三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 一学习目标☑ 1.通过测量、撕拼、折叠等方法，探索和发现三角形三个内角的度数和等于180度，并能根据已 知两个内角的度数求出第三个内角 2.能根据三角形内角和定理推导出直角三角形的性质，并能运用三角形内角和的性质解决一些 简单的问题， 3.通过三角形内角和定理的证明，提高逻辑思维能力 4.历经探索三角形内角和定理和推理的过程，发展合情推理能力 厂知识点讲解☐ 知识点一三角形的内角和定理 三角形的内角和等于 【典型例题1】如图，点B在点A的南偏西45方向，点C在点A的南偏东15方向，点C在点B 的北偏东80°方向. (1)求∠BAC的度数； 北 (2)求∠C的度数 D本 南 解：(1)由题意，得∠BAE=45°，∠CAE=15°， .∠BAC=∠BAE+∠CAE=6O°. (2)由题意，得∠DBC=80°，BD∥AE,∴.∠DBA=∠BAE=45°.∴.∠ABC=∠DBC-∠DBA=35° .·∠BAC=60°，.∠C=180°-∠BAC-∠ABC=85 【跟踪练习1】 已知△ABC的三个内角度数之比为3：4：5，则此三角形是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不能确定 知识点二直角三角形的性质和判定方法 1.直角三角形的两个锐角 2.有两个角 的三角形是直角三角形 【典型例题2】如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E是边AB上一点，CE交AD于点M,且 ∠DCM=∠MAE,求证：△AEM是直角三角形 小斗点拨：根据三角形的高的概念得到∠DMC+∠DCM=90°，根据对顶角相等得到∠DMC= ∠AME,进而证明∠AME+∠MAE=90°，证明结论. 证明：，AD是边BC上的高，，∠DMC+∠DCM=90 :∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME, ∴.∠AME+∠MAE=90°.∴.△AEM是直角三角形 【跟踪练习2】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 A.∠A+∠B=90° B.∠A+∠B=∠C C.∠A:∠B:∠C=1:2:3 D.∠A=∠B=2∠C 42 第十三章三角形 预习篇 自主检测一 一、选择题 1.新素养〔几何直观〕如图，α+B= 140 B△ A.180° B.140° C.100° D.70 2.在△ABC中，若∠A-∠B=∠C,则此三角形是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 3.若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 4.在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC=40°，∠CAD=30°，则∠BAC的度数是 A.20° B.80°或30 C.20°或80 D.60 二、填空题 5.如图，AB∥CD,∠HGF=89°，∠GHF=33°，则∠AEM的度数为 M B H D ED 第5题图 第6题图 6.在△ABC中，若AE是∠BAC的平分线，AD是边BC上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则 ∠EAD的度数为 三、解答题 7.如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，∠A=70°，CE平分∠ACB交BD于点E,∠BEC= 118°，求∠ABC的度数. 8.如图，P是△ABC内一点，∠C=70°. (1)若∠PAC=20°，∠PBC=40°，求∠APB的度数 (2)若PA,PB分别为∠CAB,∠CBA的平分线，求∠APB的度数： 43各边长分别为24cm,24cm,22cm,满足三角形 三边关系； ②当底边长为24cm时，腰长为2×(70-24) =23(cm), 各边长分别为24cm,23cm,23cm,满足三角形 三边关系. 综上所述，能围成有一边长是24cm的等腰三角 形，其他两边长为24cm,22cm或23cm,23cm. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识点一中点重心 【跟踪练习1 1.A【解析】因为D为边BC的中点，△ABC的面积 等于8，所以S四=5m=4因为E是AB的中 1 点，所以Sae=2Saa0=2×4=2故选A 2.30 知识点二角平分线三三 【跟踪练习2】 40°【解析】因为DE∥AC, 所以∠BAC=∠DEB=8O°，∠CAD=∠ADE. 国为AD是角平分线，所以LCD=子∠BAC=40 所以∠ADE=40°. 知识点三 1.高线高 2.内部直角边外部延长线上 【跟踪练习3】 1.C 2.3 自主检测 1.D 2.B【解析】三角形的高、中线是线段，角平分线也 是线段，故A说法错误，不符合题意；三角形的三 条高中，至少有一条在三角形的内部，故B说法 正确，符合题意；纯角三角形的三条角平分线都在 三角形内部，故C说法错误，不符合题意；在三角 形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫作三 角形的中线，故D说法错误，不符合题意.故选B. 3.B【解析】因为CF是边AB的中线，所以AB= 2BF,正确，A选项不符合题意；无法证明AE= BE,说法错误，B选项符合题意；因为CE是 LACB的平分线，所以LACE=7LACB,正骑，C 选项不符合题意；因为CD是△ABC的高，所以 CD⊥AB,正确，D选项不特合题意.故选B. 4.D【解析】如图 因为AM⊥BC, 所以根据垂线段最短， 可知AM≤AN. 故选D. B MN 5.稳定性6.= 7.1【解析】因为D为BC中点， 所以Som=5a=25度=7×4=2(em)。 1 同理Sam=SaE=宁m=25aa=25aa 1 1 =2×2=1(cm2).所以SAs=2cm2 因为F为EC中点， 所以Sg=2aa=2×2=1(cm2). 1 8.解：(1)∠2=∠DCB.因为∠1=∠ACB, 所以DE∥BC.所以∠2=∠DCB. (2)因为∠2=∠3，∠2=∠DCB 所以∠3=∠DCB.所以HF∥CD. 因为FH⊥AB, 所以CD⊥AB,即CD是△ABC的高. 9.解：(1)因为CD是AB的中线， 所以AD=DB. 因为BC=7,AC=5, 所以△BCD与△ACD的周长差为(BC+CD+ BD)-(AC+CD+AD)=BC-AC=2. 故答案为2. (2)因为∠A=80°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°. 因为BE,CD是△ABC的角平分线， 所以∠0BC=∠ABC,∠0CB=∠ACB 所以L0BC+L0CB=(LABC+LACB)=50 所以∠B0C=180°-50°=130°. 故答案为130° (3)因为CD是高，所以∠CDB=90° 因为∠ABC=62°，所以∠BCD=90°-62°=28°. 因为BE平分∠ABC, 所以LBBC=7LABC=7×62=31 在△B0C中，∠B0C=180°-28°-31°=121. 10.解：(1)以AD为中线的三角形是△ABC; 以AE为角平分线的三角形是△ABD: 以AF为高线的钝角三角形有△ABE,△ABD, △ADE共3个. 故答案为△ABC;△ABD;△ABE,△ABD,△ADE. (2)在△ABC中，∠BAC=88°，∠B=35°， 所以∠C=180°-88°-35°=57. 因为AF⊥BC,所以∠CAF=90°-57°=33° 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 知识点一180° 【跟踪练习1】 A【解析】，△ABC的三个内角度数之比为3：4：5， ∴.设三角的度数分别为3x°，4x°，5x°.∴.3x+4x+5x =180,解得x=15.∴.三个内角的度数分别为45°， 60°，75°，∴.此三角形为锐角三角形.故选A. 知识点二1.互余2.互余 【跟踪练习2】 D【解析】：∠A+∠B=90°，∠A+∠B+∠C= 180°，∴.∠C=90°.·△ABC是直角三角形.A选项 不符合题意；：∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C= 180°，∴.2∠C=180°，即∠C=90°.∴.△ABC是直角 三角形.B选项不符合题意；：∠A:∠B:∠C=1: 2:3,∠A+∠B+∠C=180°，∴.∠C=180°× 1+2+3=90°心△ABC是直角三角形.C选项不符 3. 合题意；：∠A=∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°， ∠A+∠A+2∠A=180,即∠A=∠B=72 ∴△ABC不是直角三角形，D选项特合题意.故选D. 9 自主检测 1.B2.B3.A 4.C【解析】当△ABC为锐角三角形时，如图1 AD为边BC上的高，∴.∠ADC=90° ∴∠C=90°-∠CAD=90°-30°=60 ∴根据三角形内角和定理，得∠BAC=180°- ∠ABC-∠C=180°-40°-60°=80°； B D B 图1 图2 当△ABC为钝角三角形时，如图2. :AD为边BC上的高，∴.∠ADB=90 ∴.∠BAD=90°-∠ABC=90°-40°=50. .∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=50°-30°=20 综上，∠BAC的度数是20°或80°.故选C. 5.58°【解析】∠HGF=89°，∠GHF=33° ∠GHF+∠HGF+∠HFG=180°， .∠HFG=180°-∠GHF-∠HGF=58. AB∥CD,∴，∠AEM=∠HFG=58°. 6.5°【解析】：∠B=50°，∠C=60°， .∠BAC=180°-∠B-∠C=70° ,AE是∠BAC的平分线， 六LEAC=2∠BAC=350 :AD是边BC上的高线， ∴.∠ADC=90. .∴∠DAC=90°-∠C=30 .∠EAD=∠EAC-∠DAC=5 7.解：：BD是边AC上的高， ∴.∠ADB=∠BDC=90. :∠A=70°，，∠ABD=180°-∠BDA-∠A=20°. ∠BEC=118°，.∠DEC=62. ∴.∠DCE=180°-∠BDC-∠DEC=28. ,CE平分∠ACB,∴.∠DCB=2∠DCE=56 ∠DBC=180°-∠BDC-∠DCB=34°. ∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=54. 8.解：(1).∠C=70°， ∴.∠CAB+∠CBA=180°-70°=110° ,∠PAC=20°，∠PBC=40° 六∠PAB+∠PBA=110°-20°-40°=50°. ∴∠APB=180°-50°=130° (2)PA,PB分别为∠CAB,∠CBA的平分线， ∴.∠PAB+∠PBA=110°÷2=55 ∴.∠APB=180°-55°=125° 13.3.2三角形的外角 知识点 1.另一边的延长线 2.与它不相邻 【跟踪练习1】 1.B【解析】：∠ACD是△ABC的一个外角，∠B= 50°，∠A=80°， .∴.∠ACD=∠B+∠A=50°+80°=130° 故选B. 2.C【解析】设三个外角的度数分别为2k°，3 4°.2k°+3k°+4k°=360°，∴.k°=40°.∴三个 10 外角分别为80°，120°和160°.：三角形外角与它 相邻的内角互补，“与之对应的三个内角的度数 分别是100°，60°和20°，即三个内角的度数之比 为5：3：1.故选C 【跟踪练习2】 1.B 2.证明：如图，延长BP交AC于点D. ,∠BPC>∠PDC, ∠PDC>∠A. ∴.∠BPC>∠A. 自主检测 1.A2.D3.D 4.C【解析】BP是△ABC中∠ABC的平分线， CP是∠ACB的外角的平分线，又∠ABP=20° ∠ACP=50°，.∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM= 2∠ACP=100°..∴.∠A=∠ACM-∠ABC=60° ∠ACB=180°-∠ACM=80°.∴.∠BCP=∠ACB+ ∠ACP=130°.∠PBC=20°，∴.∠P=180° ∠PBC-∠BCP=30°.∴.∠A+∠P=90°.故 选C. 5.75°6.7507.105°8.939 9.解：(1)x+x+72=180,解得x=54, (2)y+(y-36)=y+24,解得y=60. 10.解：∠CAD=26°，∠D=39° .∠BCA=∠CAD+∠D=26°+39°=65°. ,∠EBD=107° .∠BAC=∠EBD-∠BCA=42. 11.解：如图，延长BC与AD相 D 交于点E,标注∠1. :∠1是△ABE的外角， ∠A=90°，∠B=20° .∠1=∠B+∠A=20°+ 90°=110°. 同理，∠BCD=∠1+∠D=110°+30°=140° 李师傅量得∠BCD=142°，不是140°， ∴这个零件不合 章末预习自测 1.D2.A3.A4.B5.C 6.C【解析】小：∠DAC是△ABC的外角， .∠DAC=∠B+∠C. ·.·∠B+∠C=180°-∠BAC,∠B=∠C,∠BAC= ∠B+15 ∴.∠B+∠C=180°-∠B-15 .3∠B=165°.∴.∠B=55 ,∠DAC=2×55°=110°.故选C. 7.D 8.B【解析】如图，连接AC, 标注∠1，∠2. .·∠1+∠2+∠ADC= 180°，∠ADC=105°， .∠1+∠2=75°. ,·∠ABC+∠1+∠BAD+ ∠2+∠BCD=180°， ∠ABC=63°，∠BAD=22° ∴.∠BCD=180°-∠ABC-∠BAD-(∠1+∠2)= 180°-63°-22°-75°=20. 故选B. 9.C【解析】由点在数轴上的位置， 得AB=1-(-1)=2,BC=x-1,CD=7-x,