（八上预习篇）第2章 2.2 三角形全等的判定-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（青岛版2024）

假期好时光 QD·数学·八年级·上 2.2三角形全等的判定 一学习目标一 1.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 2.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 3.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 4.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。 5.了解三角形的稳定性，能举例说明其在生产生活中的应用。 6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。 厂知识点讲解了 知识点一全等三角形的判定方法一SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”)。 【典型例题1】如图，在△ABC中，CD是△ABC的中线，延长CD至点E,使得CE=2CD,连接 BE。求证：AC=BE。 小斗点拨：利用中线和CE=2CD得到AD=BD,CD=ED,再利用SAS得出结论即可。 证明：因为CD是△ABC的中线，所以AD=BD。 因为CE=2CD=CD+ED,所以CD=ED。 AD=BD, 在△ACD和△BED中，{∠ADC=∠BDE, CD=ED, 所以△ACD≌△BED(SAS)。所以AC=BE。 【跟踪练习1】 如图，点A,F,C,D在同一直线上，AB∥DE,AB=DE,AF=CD。求证：BC∥EF。 知识点二全等三角形的判定方法一ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”)。 【典型例题2】如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E是边AB上一点，过点C作CF∥AB交ED 的延长线于点F。求证：D是EF的中点。 小斗点拨：利用CF∥AB和中点得到∠EBD=∠FCD,BD=CD,再利用ASA得出结论即可。 证明：因为CF∥AB,所以∠EBD=∠FCD。 E 因为D是边BC的中点，所以BD=CD。 t∠EBD=∠FCD, 在△BDE和△CDF中 BD=CD, ∠EDB=∠FDC, 所以△BDE≌△CDF(ASA). 所以DE=DF,即D是EF的中点。 46 第2章全等三角形 预习篇 【跟踪练习2】 为了测量池塘两岸相对的两点A,B的距离，同学们想出了如下方案：如图，在池塘外作AB的垂 线BF,在BF上取C,D两点，使BC=CD,再画出BF的垂线DE,在DE上取点E,使E,C,A三点 在一条直线上，这时测得DE的长度即为A,B两点间的距离，请说明理由。 知识点三全等三角形的判定方法一AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或 “AAS”)。 【典型例题3】如图，B是AD的中点，BC∥DE,∠C=∠E。求证：AC=BE。 小斗点拨：利用中点和BC∥DE得到AB=BD,∠ABC=∠D,再利用AAS得出结论即可。 证明：因为B是AD的中点，所以AB=BD。 因为BC∥DE,所以∠ABC=∠D。 ∠C=∠E, 在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠D, LAB=BD, 所以△ABC≌△BDE(AAS). 所以AC=BE。 【跟踪练习3】 如图，在△ABC中，点D在边AB上，EF分别交边BC,AC于点G,O,DF∥BC,AC=DF,∠C= ∠OGC,∠B=∠E。求证：BC=EF。 知识点四全等三角形的判定方法一SSS 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”)。 【典型例题4】如图，点F,C在BE上，BF=CE,AB=DE,DF=AC。求证：∠B=∠E。 小斗点拨：利用BF=CE得到BC=EF,再利用SSS得出结论即可。 证明：因为BF=CE, 所以BF+CF=CE+CF,即BC=EF。 BC=EF, 在△ACB和△DFE中，AB=DE, LAC =DF, 所以△ACB≌△DFE(SSS)。 所以∠B=∠E。 47 假期好时光 QD·数学·八年级·上 【跟踪练习4】 如图，点E在CD上，BC与AE交于点F,AB=BC,BE=BD,AE=CD。求证：∠1=∠2。 知识点五三角形的稳定性 当三角形三条边的长度确定后，它的形状和大小就确定了。我们把三角形的这种特性叫作 【典型例题5】如图，学校门口设置的移动拒马护栏是由多个钢管焊接组成的，这里面蕴含的数 学原理是 A.两点之间，线段最短 B.三角形的稳定性 C.三角形的任意两边之和大于第三边 D.三角形的内角和等于180 解析：因为学校门口设置的移动拒马护栏都用钢管焊接成三角形，所以这样做的数学原理 是利用了三角形的稳定性。 答案：B 【跟踪练习5】 如图所示，人字梯中间一般会设计一条“拉杆”，这样做的依据是 知识点六全等三角形的判定方法一HL 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”)。 【典型例题6】如图，∠A=∠D=90°，AC=BD。求证：AB=DC 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，∠A=∠D=90°。 BC CB, AC DB, 所以Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)。 所以AB=DC。 【跟踪练习6】 如图，AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°，D是EF上一点，AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,AE= CF。求证：Rt△ADE≌Rt△CDF。 48 第2章全等三角形 预习篇 自主检测 1.如图，以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等，从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的 点P,则点P有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 50 50 丙 50 人50 52 452°782 第1题图 第2题图 2.上面各图中，a,b,c为三角形边长，则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是 A.甲和乙 B.乙和丙 C.甲和丙 D.只有丙 3.有一块三角形玻璃在运输过程中，不小心碎成如图所示的四块，嘉祺想按原来的大小在玻璃 店再订制一块，需要带的两块可以是 A.①② B.②③ C.①③ D.①④ B ① ② ③ D 第3题图 第4题图 4.如图，AC⊥BD于点P,AP=CP,添加下列一个条件，能利用“HL”判定△ABP≌△CDP的条 件是 A.AB∥CD B.∠B与∠C互余 C.BP=DP D.AB=CD 5.根据相应的条件，不能判断分别给出的两个三角形全等的是 图1 图2 图3 图4 A.如图1，AD与BC相交于点0，OA=OD,OB=OC,△AOB与△D0C B.如图2，AC=AD,BC=BD,△ABC与△ABD C.如图3，AC与BD相交于点E,AB=DC,BE=CE,∠AEB=∠DEC,△ABE与△DCE D.如图4，∠BAC=∠ABD,∠1=∠2，△ABC与△BAD 6.如图中有6个条形方格图，图上由实线围成的图形与①是全等形的有 ① ⑤ ⑥ 49 假期好时光 QD·数学·八年级·上 7.如图，已知点A,D,B,F在一条直线上，AC=EF,BC=DE,要使△ABC≌△FDE,还需添加一个 条件，这个条件可以是 A B 第7题图 第8题图 8.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直 角顶点C在书架底部DE上，当顶点A落在右侧书籍的上方边沿时，顶点B恰好落在左侧书 籍的上方边沿，点A,B,C,D,E在同一平面内。已知每本书长20cm,厚度为2cm,则两摞书 之间的距离DE为 cm。 9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,点E,F在BD上，且DF=BE,连接AE,CF,且AE∥CF。 (1)证明：△ABE≌△CDF; (2)连接AF,CE,试判断AF与CE有怎样的数量关系，并说明理由。 10.新素养〔应用意识〕如图1，小刚站在河边的A处，在河对岸（小刚的正北方向）的B处有一电 线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了20步到达一棵树C处，接着再向 前走了20步到达D处，然后再左转90°直行，当小刚看到电线塔B,树C与自己现处的位置 E在同一条直线上时，从点A出发开始他共走了110步。 (1)若小刚走一步的长度约为0.6米，请直接写出A,B两点间的距离约为 米； (2)如图2，小华在点A所在河岸同侧的平地上取点C,D,使得点A,B,C在同一条直线上， 且CD=AC,测得∠ACD=100°，∠BDC=65°，在CD的延长线上取点E,使得∠E=15°， 测得DE的长为42米。小华认为A,B两点之间的距离为42米。你认为小华的做法正 确吗？若正确，请给出证明：若不正确，请给出合理的解释。 D E 图1 图2 50则百位数字为a-2,个位数字为b-2。 所以双减数A=1000a+100(a-2)+10b+ (b-2)。 所以N(A)=10a+(a-2)-[10b+(b-2)] =11(a-b),即N(A)能被11整除。 22.解：垂直的定义直角三角形的两个锐角互余 直角三角形的两个锐角互余角平分线的定义 等角的余角相等对顶角相等等量代换 两直线平行，同位角相等等量代换 第2章全等三角形 2.1全等三角形 知识点讲解 知识点一全等形 【跟踪练习1】 1.D2.B 知识点二全等三角形对应顶点对应边对 应角 【跟踪练习2】解：因为△ABC≌△ADE, 所以对应边：AB和AD,AC和AE,BC和DE: 对应角：∠BAC和∠DAE,∠B和∠D, ∠C和∠E。 知识点三 【跟踪练习3】解：(1)因为△ABC≌△DEF, 所以∠A=∠D=95°，∠F=∠ACB=55°。 所以∠DEF=180°-∠D-∠F=30°。 (2)因为△ABC≌△DEF, 所以BC=EF=6。 因为E是BC的中点， 所以CB=7BC=3。 所以CF=EF-CE=6-3=3。 自主检测 1.B2.B3.C4.A 5.D【解析】因为△ACE≌△DBF,AB=4,BC=3, 所以BD=AC=AB+BC=4+3=7. 所以AD=AB+BD=4+7=11。 故选D。 6.D【解析】因为两个三角形全等， 所以3x-2=5,2y-1=7或3x-2=7,2y-1=5, 7 解得x=3)=4或x=3,y=3。 18 所以x+y= 6 故选D。 7.80°【解析】因为∠BAC=30°，∠B=70°， 所以∠ACB=180°-∠BAC-∠B=80°。 又因为△ABC≌△ADE, 所以∠AED=∠ACB=80°。 8.6【解析】因为折叠△ABD≌△ACD, 所以AC=AB=5,CD=BD。 因为AE=7, 所以CE=AE-AC=7-5=2。 因为BE=4, 所以△CDE的周长=CD+DE+CE=BD+DE+ CE=BE+CE=6 9.解：(1)因为△ABD≌△EBC, 所以EB=AB=3cm,BD=BC=5cm。 所以DE=BD-BE=5-3=2cm。 (2)AC⊥BD。理由如下： 因为△ABD≌△EBC, 所以∠ABD=∠EBC。 又因为∠ABD+∠EBC=180°， 所以∠ABD=∠EBC=90°，即AC⊥BD。 10.(1)证明：因为△ABC≌△EDF, 所以AC=EF。 所以AC-CF=EF-CF,即AF=CE。 (2)解：因为△ABC≌△EDF, 所以∠B=∠EDF。 因为∠AFD=2∠B=∠EDF+∠E, 所以∠E=∠EDF=∠B。 因为∠DAF=∠ADE=2∠B=2∠E, ∠DAF+∠ADE+∠E=180°」 所以2∠E+2∠E+∠E=180°，解得∠E=36°。 2.2三角形全等的判定 知识点讲解 知识点一 【跟踪练习1】证明：因为AB∥DE, 所以∠A=∠D。 因为AF=CD, 所以AF+CF=CD+CF,即AC=DF。 AB DE, 在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D, LAC DF, 所以△ABC≌△DEF(SAS)。 所以∠BCA=∠EFD。 所以BC∥EF。 知识点二 【跟踪练习2】证明：因为在池塘外作AB的垂线B 再画出BF的垂线DE, 所以BF⊥AB,DE⊥BF。 所以∠B=90°，∠CDE=90°。 r∠B=∠EDC, 在△ABC和△EDC中 BC=DC, ∠ACB=∠ECD, 所以△ABC≌△EDC(ASA). 所以AB=DE。 知识点三 【跟踪练习3】证明：因为DF∥BC, 所以∠F=∠BGE。 因为∠BGE=∠OGC,∠C=∠OGC, 所以∠F=∠C。 r∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中，{∠C=∠F, LAC DF, 所以△ABC≌△DEF(AAS)。 所以BC=EF。 知识点四 【跟踪练习4】证明：在△ABE和△CBD中， AB=CB, AE CD, BE =BD, 所以△ABE≌△CBD(SSS)。 所以∠ABE=∠CBD: 所以∠ABE-∠CBE=∠CBD-∠CBE, 即∠1=∠2。 知识点五三角形的稳定性 【跟踪练习5】三角形的稳定性 知识点六 【跟踪练习6】证明：如图，连接BD。 因为∠BAD=∠BCD=90°， BD BD, 在Rt△ABD和Rt△CBD中， AB CB, 所以Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)。 所以AD=CD。 因为AE⊥EF,CF⊥EF, 所以∠E=∠F=90°。 [AD =CD, 在R△ADE和R△CDF中，AE=CF, 所以RL△ADE≌Rt△CDF(HL)。 自主检测 1.C2.B3.D4.D 5.C【解析】如题图1，在△AOB和△DOC中， 0A=OD, ∠AOB=∠DOC, OB =OC 所以△AOB≌△DOC(SAS)。 故选项A不符合题意； 如题图2，在△ABC和△ABD中， rAC=AD, BC BD, AB =AB, 所以△ABC≌△ABD(SSS)。 故选项B不符合题意； 如题图3，因为AB=DC,BE=CE,∠AEB=∠DEC, 不符合全等三角形判定定理的条件， 所以不能判断△ABE与△DCE全等。 故选项C符合题意； 如题图4，在△ABC和△BAD中， I∠BAC=∠ABD, AB=BA, ∠2=∠1， 所以△ABC≌△BAD(ASA)。 故选项D不符合题意。故选C。 6.②③⑥ T.∠ACB=∠FED(答案不唯一)【解析】若添加 条件：∠ACB=∠FED。 AC FE, 在△ABC和△FDE中， ∠ACB=∠FED, BC=DE, 所以△ABC≌△FDE(SAS)。 19 8.24【解析】由题意可知，BC=AC,∠BDC= ∠CEA=∠ACB=90°， 所以∠BCD+∠CBD=∠BCD+∠ACE=90°。 所以∠CBD=∠ACE。 ,∠BDC=∠CEA, 在△BDC和△CEA中 ∠CBD=∠ACE, BC=CA, 所以△BDC≌△CEA(AAS)。 所以BD=CE=2×2=4(cm),CD=AE=20cm。 所以DE=CD+CE=20+4=24(cm)。 9.(1)证明：因为AB∥CD, 所以∠ABE=∠CDF。 因为AE∥CF, 所以∠AEB=∠CFD。 ,∠ABE=∠CDF, 在△ABE和△CDF中，BE=DF, L∠AEB=∠CFD, 所以△ABE≌△CDF(ASA)。 (2)解：AF=CE。理由如下： 因为△ABE≌△CDF, 所以AB=CD。 因为DF=BE, 所以DF-EF=BE-EF,即DE=BF。 AB=CD, 在△ABF和△CDE中 ∠ABF=∠CDE, BF=DE, 所以△ABF≌△CDE(SAS)。 所以AF=CE。 10.解：(1)根据题意，得AC=20步，CD=20步， 所以DE=110-20-20=70(步)。 因为小刚走一步的长度约为0.6米， 所以AC=CD=0.6×20=12(米)， DE=0.6×70=42(米)。 ∠A=∠D=90°， 在△ABC与△DEC中 AC =DC. ∠ACB=∠DCE, 所以△ABC≌△DEC(ASA)。 所以AB=DE=42米。 所以A,B两点间的距离约为42米。 20 故答案为42。 (2)正确。证明如下： 在△BCD中，∠ACD=100°，∠BDC=65°， 所以∠B=180°-∠ACD-∠BDC=15°。 ∠E=∠B, 在△ACE与△DCB中，∠ACE=∠DCB. CA=CD, 所以△ACE≌△DCB(AAS). 所以CE=CB。 所以CE-CD=CB-CA,即DE=AB=42米。 所以小华的做法正确。 2.3尺规作图 知识点讲解 知识点一基本作图 【跟踪练习1】 1.A2.74° 知识点二 【跟踪练习2】 1.B 2.C【解析】A.根据SAS可以作出唯一△ABC; B.根据ASA可以作出唯一△ABC; C.根据SSA不可以作出唯一△ABC; D.根据SSS可以作出唯一△ABC。 故选C。 知识点三 【跟踪练习3】 1.C 2解：如图，点D即为所求作。 B 知识点四 【跟踪练习4】解：如图，Rt△ABC即为所求作。