第2章 特殊三角形 单元测试2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

浙教版（2024）八年级上册 第2章 特殊三角形 单元测试 一、选择题 1.下列说法正确的是 （　　） A.每个命题都有逆命题 B.每个定理都有逆定理 C.真命题的逆命题是真命题 D.真命题的逆命题是假命题 2.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为（　　） A.30° B.34° C.36° D.40° 如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为(    ) 3. A. B. C. D. 如图，是等边三角形，，若，则的度数为(    ) 4. A. B. C. D. 5.如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为(    ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 如图，，则是的(    ) 6. A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 7.如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（　　） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 8.如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰，这样的点C一共有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 9.如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是(    ) A. B. C.于点 D. 10.如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 11.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.等边三角形是锐角三角形 B.如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C.两直线平行，同位角相等 D.如果两个角是直角，那么它们相等 如图，在和中，，，，，相交于点，点，分别是线段，的中点以下结论：；；是等边三角形；连接，则平分其中正确的结论是    ． 12. A. B. C. D. 二、填空题 13.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝3，则AB＝　 　． 14.如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，那么，∠1＝　 　°，∠2＝　 　°；并且指出图中等腰三角形有　 　个；分别是　               　． 三角形三个内角度数之比是，则此三角形是          三角形． 16.若一个等腰三角形的两条边长分别是5和12，则它的周长是 　 　． 17.如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 　                  　． 三、解答题 18.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC． 19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝25，b＝15，求a． 20.如图，CD＝CA＝CB，找出图中的等腰三角形，指出它们的腰、底边和顶角，并填入表格． 21.如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋于AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　　m． 22.如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点． （1）证明：DE＝CE； （2）若∠F＝50°，求∠DEC的度数； （3）若∠F＝α，求∠DEC的度数． 浙教版（2024）八年级上册 第2章 特殊三角形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.下列说法正确的是 （　　） A.每个命题都有逆命题 B.每个定理都有逆定理 C.真命题的逆命题是真命题 D.真命题的逆命题是假命题 【答案】A 【解析】A、每个命题都有逆命题，故本选项正确． B、每个定理不一定都有逆定理，故本选项错误． C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项错误． D、真命题的逆命题不一定是假命题，故本选项错误． 故选：A． 2.如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为（　　） A.30° B.34° C.36° D.40° 【答案】B 【解析】∵AB＝BD，∠B＝40°， ∴∠ADB＝70°， ∵∠C＝36°， ∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°． 故选：B． 如图，直线，等边的顶点在直线上，若，则的度数为(    ) 3. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】是等边三角形，， 过作直线， ，，直线直线，直线，，，， 故选：C. 如图，是等边三角形，，若，则的度数为(    ) 4. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过作的平行线，，， 同理可得，，，． 故选B． 5.如图，正方形网格中的，若小方格边长为，则的形状为(    ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】正方形小方格边长为， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 如图，，则是的(    ) 6. A.倍 B.倍 C.倍 D.倍 【答案】A 【解析】 ，是等边三角形，和均为等腰三角形，，，，，，，，， 故选A． 7.如图，玻璃杯的底面半径为4cm，高为6cm，有一只长13cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（　　） A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【解析】如图， 由题意得：CB＝2×4＝8cm，DC＝6cm， ∴， ∴露出杯口外的长度为：13﹣10＝3（cm）， 故选：C． 8.如图，在格点中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中的一条腰，这样的点C一共有（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】如图，点C的位置共有5个． 故选：C． 9.如图所示，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是(    ) A. B. C.于点 D. 【答案】D 【解析】由勾股定理可得：，，，，，，，， 故A、、都正确，不符合题意，，， 故选：D． 10.如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】连接AF， ∵AB＝AD，F是BD的中点， ∴AF⊥BD， ∴∠AFD＝90°， ∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°， ∵EF＝EC， ∴∠EFC＝∠C， ∴∠EAF＝∠AFE， ∴EA＝EF， ∴EF＝EA＝ECAC＝4， 故选：B． 11.下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A.等边三角形是锐角三角形 B.如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C.两直线平行，同位角相等 D.如果两个角是直角，那么它们相等 【答案】C 【解析】A、等边三角形是锐角三角形的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题，不符合题意； B、如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，符合题意； D、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题，不符合题意； 故选：C． 如图，在和中，，，，，相交于点，点，分别是线段，的中点以下结论：；；是等边三角形；连接，则平分其中正确的结论是    ． 12. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，，，，， 在和中，故正确设与交于， ，，，，，故正确，，， 又点、分别是线段、的中点，，，， 在和中，，， 又，，，，不一定是等边三角形，故不符合题意过作于，于， ，，，，，平分，故正确， 故选A． 二、填空题 13.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若CD＝3，则AB＝　 　． 【答案】6 【解析】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD＝3， ∴AB＝2CD＝6， 故答案为：6． 14.如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，那么，∠1＝　 　°，∠2＝　 　°；并且指出图中等腰三角形有　 　个；分别是　               　． 【答案】3；△BDC，△ABD，△ABC 【解析】∵在△ABC中，∠A+∠C+∠DBC+∠2＝180°，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°， ∴∠2＝180°﹣72°﹣36°﹣36°＝36°， ∴∠A＝∠2＝36°， ∴AD＝BD，△ADB为等腰三角形； ∠1＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠C＝∠1， ∴BD＝BC，△BCD是等腰三角形，∠ABC＝∠C＝72°， ∴AB＝AC， ∴△ABC也为等腰三角形． 故填3，△BDC，△ABD，△ABC． 三角形三个内角度数之比是，则此三角形是          三角形． 【答案】直角  【解析】设三角形的三个内角分别为、、， 由题意得，， 解得， ， 此三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 16.若一个等腰三角形的两条边长分别是5和12，则它的周长是 　 　． 【答案】29 【解析】1）若5为腰长，12为底边长， 由于5+5＜12，则三角形不存在； （2）若12为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为12+12+5＝29． 故答案为：29． 17.如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 　                  　． 【答案】10°，80°，140°或20° 【解析】∵∠B＝130°，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝20°， 分三种情况： 当AP＝AB时，点P在CA的延长线上，如图： ∵∠BAC是ABP的一个外角， ∴∠BAC＝∠APB+∠ABP＝20°， ∵AB＝AP， ∴∠APB＝∠ABP＝10°； 当AP＝AB时，点P在AC上，如图： ∵AB＝AP，∠BAP＝20°， ∴∠ABP＝∠APB80°； 当BA＝BP时，如图： ∵BA＝BP， ∴∠BAP＝∠BPA＝20°， ∴∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠BPA＝140°； 当PA＝PB时，如图： ∵PA＝PB， ∴∠BAP＝∠ABP＝20°； 综上所述：当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是10°，80°，140°或20°， 故答案为：10°，80°，140°或20°． 三、解答题 18.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，E是AD上一点，BE＝CE．求证：AD⊥BC． 【答案】证明：在△ABE和△ACE中， ∴△ABE≌△ACE ∴∠BAE＝∠CAE， ∴AD是三角形的角平分线， ∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一性质）． 【解析】 19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝25，b＝15，求a． 【答案】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得， a20． 【解析】 20.如图，CD＝CA＝CB，找出图中的等腰三角形，指出它们的腰、底边和顶角，并填入表格． 【答案】解：∵CD＝CA＝CB， ∴△ABC，△BCD，△ACD为等腰三角形， ∴△ABC的腰为AC和BC，底边为AB，顶角为∠ACB； △BCD的腰为CB和CD，底边为BD，顶角为∠BCD； △ACD的腰为CA和CD，底边为AD，顶角为∠ACD． 故答案为：△ABC；AC和BC；AB；∠ACB；△BCD；CB和CD；BD；∠BCD；△ACD；CA和CD；AD；∠ACD． 【解析】 21.如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋于AD往前推送3m，到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态． （1）求秋千的长度． （2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m时，需要将秋千AD往前推送 　　m． 【答案】解：（1）由题意得：BF＝1.6m，BC＝3m，DE＝0.6m， ∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE， ∴四边形BCEF是长方形， ∴CE＝BF＝1.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝1.6﹣0.6＝1（m）， ∵BC⊥AC， ∴∠ACB＝90°， 设秋千的长度为x m， 则AB＝AD＝x m，AC＝AD﹣CD＝（x﹣1）m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（x﹣1）2+32＝x2， 解得：x＝5， 即秋千的长度是5m； （2）当BF＝2.6m时，CE＝2.6m， ∵DE＝0.6m， ∴CD＝CE﹣DE＝2.6﹣0.6＝2（m）， 由（2）可知，AD＝AB＝5m， ∴AC＝AD﹣CD＝5﹣2＝3（m）， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4（m）， 即需要将秋千AD往前推送4m， 故答案为：4． 【解析】 22.如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点． （1）证明：DE＝CE； （2）若∠F＝50°，求∠DEC的度数； （3）若∠F＝α，求∠DEC的度数． 【答案】（1）证明：∵AD⊥BD，E为AB的中点， ∴DEAB， ∵AC⊥BC，E为AB的中点， ∴CEAB， ∴DE＝CE； （2）解：∵AD⊥BD，AC⊥BC， ∴∠ADB＝∠BCA＝90°，∠FDB＝∠FCA＝90°， ∵∠F＝50°， ∴∠FAC＝∠FBD＝90°﹣∠F＝40°， ∵∠F＝50°， ∴∠FAB+∠FBA＝180°﹣∠F＝130°， ∵∠ADB＝∠BCA＝90°，E为AB的中点， ∴DE＝AE，CE＝BE， ∴∠ADE＝∠FAB，∠ECB＝∠FBA， ∴∠ADE+∠ECB＝∠FAB+∠FBA＝130°， ∴∠DEA+∠CEB ＝180°﹣（∠ADE+∠FAB）+180°﹣（∠ECB+∠FBA） ＝360°﹣（∠ADE+∠FAB+∠ECB+∠FBA） ＝360°﹣（130°++130°） ＝100°， ∴∠DEC＝180°﹣（∠DEA+∠CEB）＝180°﹣100°＝80°； （3）解：∵AD⊥BD，AC⊥BC， ∴∠ADB＝∠BCA＝90°，∠FDB＝∠FCA＝90°， ∵∠F＝α， ∴∠FAC＝∠FBD＝90°﹣∠F＝90°﹣α， ∵∠F＝α， ∴∠FAB+∠FBA＝180°﹣∠F＝180°﹣α， ∵∠ADB＝∠BCA＝90°，E为AB的中点， ∴DE＝AE，CE＝BE， ∴∠ADE＝∠FAB，∠ECB＝∠FBA， ∴∠ADE+∠ECB＝∠FAB+∠FBA＝180°﹣α， ∴∠DEA+∠CEB ＝180°﹣（∠ADE+∠FAB）+180°﹣（∠ECB+∠FBA） ＝360°﹣（∠ADE+∠FAB+∠ECB+∠FBA） ＝360°﹣（180°﹣α+180°﹣α） ＝2α， ∴∠DEC＝180°﹣（∠DEA+∠CEB）＝180°﹣2α． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$