（八上预习篇）第2章 3 二次根式-【假期好时光】2025年新教材数学七升八暑假作业（北师大版2024）

第二章实数 预习篇 3二次根式 学习目标☐ 1.了解二次根式、最简二次根式等概念。 2.掌握二次根式的法则及相关性质，并能运用这些性质进行化简运算。 3.学会二次根式的加减运算以及加减乘除混合运算。 厂知识点讲解了 知识点一二次根式 1.一般地，形如wa(a≥0)的式子叫作 ,a叫作 2.一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫作 【典型例题1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ (1)3; (2)-√16：(3)迈：(4)√-5： (5)号(a≥0)： (6)√x2+1。 解：3，-√16，号(a≥0)，√？+1符合二次根式的形式，故是二次根式。 2是三次根式，故不是二次根式。 √-5的被开方数小于0，无意义，故不是二次根式。 【跟踪练习1】 1.若√a是二次根式，则a的值不可以是 A.4 B.-6 C.9 D.888 2.当a为实数时，下列各式中哪些一定是二次根式？ a+10,√Ial,a,√a2-1,a2+1,√(a-1)2。 知识点二二次根式的性质 1.√ab= (a≥0，b≥0)。 2层 (a≥0，b>0)。 【典型例题2】化简： (1)√25×100： (2)√-36)×(-2)； (3) 15 1449 解：(1)√25×100=25×√/100=5×10=50。 59 假期好时光 BS·数学·八年级·上 (2)√(-36)×(-2)=√36×2=√36×√2=6×2=6√2。 ,隔震 5-5 【跟踪练习2】 化简： (1)W98; (2)W/100×3; (4)1 369 知识点三二次根式的乘法法则和除法法则 1.乘法法则：a·√6= (a≥0，b≥0)。 2除法法则：口= (a≥0，b>0) 【典型例题3】计算下列各题。 (1)12x5-6;(2)6×8 解：(1)12×√3-6=12×3-6=36-6=6-6=0。 (2)6x8=6x8=16=4。 5 3 【跟踪练习3】 计算： (1)√14×7： (2)3√5×2√10： (3)53 42 知识点四二次根式的加减 二次根式可以进行加减运算，这时，以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用。 二次根式的加减法的一般步骤： ①将每一个二次根式化成最简二次根式： ②找出其中被开方数 的二次根式； ③合并被开方数相同的二次根式。 【典型例题4】计算： a42-愿+vis,(2店+3v2而-v5:(3)-3层-厄-6 解：(1)原式=42-7√2+32=0. 60 第二章实数 预习篇 (2)原式=5 +65-105=-195 (3)原式=√5-√6-2√3-6=-3-26。 【跟踪练习4】 计算： (1)18-√8： (2)wW9a+25a; (3)√75+27-43。 知识点五二次根式的混合运算 二次根式的运算包括加减、乘除和加减乘除混合运算。在运算的过程中，要熟练掌握运算 顺序和方法技巧的运用。 (1)二次根式的混合运算顺序：先算 ,再算 ,最后算加减。 (2)在进行二次根式的混合运算时还要注意三点： ①原来学习的 仍然适用； ②原来学习的 仍然适用； ③运算的结果可能是二次根式，也可能是有理式，如果是二次根式，要化为最简二次根式。 【典型例题5】计算： a-√9×： (2)(3+3)×(1-3): (3)18-V50 (4)(5-√2)2×(5+26)。 2 解：0)原武=D×5-停x5=v6-4=6-2=4 (2)原式=3×1-3×3+3×1-3×3=3-33+3-3=-23。 (3)原式=18-50=9-25=3-5=-2。 22 (4)原式=(5-26)×(5+26)=25-(26)2=25-24=1。 【跟踪练习5】 计算： （1)4s+3-5xvm+w24: (2)(3-25)(3+25)-(1-5)2。 61 假期好时光 BS·数学·八年级·上 自主检测一 一、选择题 1.下列各式是最简二次根式的是 A.√6 B.√12 D.0.5 “ 2.下列各式一定属于二次根式的是 A.√-4 B. C.√Ixl+1 D.x-1 3.下列计算正确的是 A.2+5=万 B.52-22=3 D.√3×√27=9 4.若二次根式√a-2在实数范围内有意义，则a的取值范围是 A.a>2 B.a≤2 C.a≠2 D.a≥2 5.把(x-2)2-x 。1根号外的因式移到根号内为 A.2-x B.√x-2 C.-2-x D.-√x-2 6.已知-1<a<0,化简√(a+2)-√(2a-3)2= A.-a+5 B.3a-1 C.-a-5 D.-3a+5 二、填空题 7.已知实数a,b在数轴上的对应点位置如图，则化简1a+b1-√(a-2)2的结果是 ⊥6 a 012 8.若a=2026×2028-2026×2027,b=√2027-4×2026，c=√2026×2024，则a,b,c的大 小关系是 _。(用“<”连接) 9.二次根式√24a是一个整数，那么正整数a的最小值是 三、解答题 10.计算： (1)12+√5-48： (2)√27×50÷√2。 1计算：2-m)°+4×，5-唇-1-a1+,6。 62 第二章实数 预习篇 12.新考法〔拓展探究〕【认识概念】 两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互 为有理化因式。 如：2·√2=2：(5+1)·(5-1)=3-1=2.我们称2的一个有理化因式为2,5+1的一 个有理化因式是5-1。 如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分 母中不含根号，这种变形叫作分母有理化。 如：1 1×(2-3) =2-√3。 2+3(2+3)·(2-3) 【理解应用】 (1)填空：w5-2的有理化因式是 ；将2分母有理化，得 32 (2)化简：3+3.5 √/10万101 【拓展应用】 (3)利用以上解题方法比较3-22与5-2√6的大小，并说明理由； (4)已知有理数a,b满足0，-么=3-2，求a,b的值。 "2-12 数学故事一 根号的秘密与希帕索斯的勇气 古希腊时期，毕达哥拉斯学派相信“万物皆数”，认为宇宙间的一切现象都能归结为整数或 整数之比（即有理数）。学派成员希帕索斯在研究边长为1的正方形时，发现其对角线长度无 法用整数或分数表示—这个值就是√2。 这一发现颠覆了学派的信仰。惊恐的毕达哥拉斯学派为了掩盖“无理数”的存在，下令禁 止传播这个秘密。但希帕索斯坚持真理，暗中分享发现，最终被学派成员投入海中溺亡。 后来，数学家们逐渐接受了无理数的存在，二次根式√ā(a≥0)成为数学中描述“不可公度 比”的关键工具。希帕索斯的牺牲推动了数学的进步，也让人们认识到：数学的真理，有时需要 突破偏见的勇气去揭示。 故事意义：无理数的发现历程，展现了数学发展中的矛盾与突破，也解释了二次根式诞生的 背景一它不仅是一个数学符号，更是人类追求真理的见证。 635.D 6.C【解析】因为正方形莱地的面积为88m2, 所以正方形菜地的边长为√88m。 因为√81<88<√100，所以9<√88<10。 所以这块菜地的边长在9m至10m之间。 故选C。 7.98.±1 9.0.8【解析】设每块地砖的边长是am。 由题意，得200a2=128, 解得a=0.8或a=-0.8(舍去) 所以每块地砖的边长是0.8m。 10.1【解析】设它的棱长需要增加xm。 原立方体的棱长为64=4m。 由题意，得(4+x)3=125,4+x=5, 所以x=1。 所以它的棱长需要增加1m。 11.解：(1)原式=2+3-2=√3。 (2)原式=2+√5-1-√3=1。 12.解：因为2b+1的平方根为±3， 所以2b+1=9。所以b=4。 因为3a+2b-1的算术平方根为4， 所以3a+2b-1=16。所以a=3。 所以a+2b=11。 所以a+2b的立方根为T。 13.解：(1)设改建后的长方形场地的长为3x米，宽 为2x米。 由题意，得3x·2x=300,解得x=√50。 所以3x=3√50,2x=250。 答：设改建后的长方形场地的长为3√50米，宽 为250米。 (2)栅栏围墙够用。理由如下： 因为正方形场地的边长为√400=20（米）， 所以正方形场地的周长为20×4=80（米）。 因为改建后的长方形场地的周长为2×(3，√50+ 250)≈2×(3×7.1+2×7.1)=71（米）， 71<80,所以栅栏围墙够用。 3二次根式 知识点讲解 知识点一 1.二次根式被开方数 2.最简二次根式 【跟踪练习1】 1.B 2.解：根据二次根式的非负性可知，√Ia,√a2, √a2+1,(a-1)2一定是二次根式。 知识点二 L.a 2.a 【跟踪练习2】 解：(1)/98=√49x2=√49×√2=72。 (2)w√100×3=√/100×5=105。 以原爱 @儒震2 61 3 c 知识点三 1m28 【跟踪练习3】 解：(1)√14x7=14×7=72 (2)35×210=3×2×√5×10=302。 5√5 =42。 知识点四 相同 【跟踪练习4】 解：(1)√18-8=32-22=2 (2)√9a+√25a=3/a+5√a=8a。 (3)√/75+√27-43=55+35-45=45。 知识点五 (1)乘方乘除 (2)①加法法则 ②乘法法则 【跟踪练习5】 解：)原式=4级3-√分×12+26 =4-6+26 =4+6。 (2)原式=9-20-(1-25+5) 15 =-11-6+25 =25-17。 自主检测 1.A2.C3.D 4.D【解析】依题意，得a-2≥0， 解得a≥2。故选D。 5.C【解析】由二次根式有意义的条件可知， >0,所以x-2<0。 1 所以(x-2)2=x 1·(2-x)2 =2- =-√2-x。 故选C。 6.B【解析】因为-1<a<0, 所以a+2>0,2a-3<0。 所以/(a+2)2-√2a-3) =a+2-(3-2a) =a+2-3+2a =3a-1。故选B。 7.2a+b-2【解析】观察数轴可知， -1<b<0<a<2,Ibl<1al, 所以a+b>0,a-2<0。 所以la+bl-√(a-2) =a+b-(2-a) =a+b-2+a =2a+b-2。 8.c<b<a【解析】根据题意，得 a=2026×2028-2026×2027 =2026×(2028-2027) =2026; b=√W2027-4×2026 =√/(2026+1)2-4×2026 =√/20262+2×2026+1-4×2026 =√/2026-2×2026+1 =√/(2026-1)7 =2026-1 =2025: c=√2026×2024 =√(2025+1)(2025-1) 16 =√20252-1<2025。 所以c<b<a。 9.6【解析】因为√24a是一个整数，24=4×6， 所以正整数a的最小值为6。 10.解：(1)√2+5-√48 =23+3-43 2-x =-5。 (2)√27×50÷√2 =√27×50÷2 =155。 1解：2-mP+4×及--1-a1+6+5 1+4x号-2-(2-0+2 =1+22-22-2+1+√2 =2。 12.解：(1)因为(5+2)(5-2)=1， 所以5-2的有理化因式为5+2。 2 2×2.22_2 3232×263 放答案为5+2： (2)3+ 35 √10万√10 -3而，3万.51而 10 10 =3710 7 (3)3-22>5-26。理由如下： 3-22=③-22(3+22.1 3+22 3+221 5-26-5-26)(5+26.1 5+26 5+26 因为3+22<5+26，所以3-22>5-26。 (4)a b 2-12 a(2+1)】 26 (2-1)(2+1) 2 2a+a- 2 =a+a-) =3-√2。 所以a=3,a-号=-l。所以a=3,6=8。 章未预习自测 1.B2.C 3.C【解析】设正方形B的边长为x。由正方形的 面积公式，得正方形A的边长为√10，正方形C的 边长为1，所以正方形B的边长x的取值范围是 1<x<10。因为1<5<10<11<4，所以正 方形B的边长可以是√5。故选C。 4.A【解析】第一次输入x=81,则√81=9，是有理 数；第二次输入x=9,则√9=3，是有理数；第三次 输入x=3,则√3不是有理数，所以输出y=√3。 故选A。 5.C【解析】设被遮挡的数为x。由题意，得2<x <3。A.1<5<2,故选项不符合题意；B.√4=2， 故选项不符合题意；C.2<5<3,故选项符合题 意；D,3<√10<4，故选项不符合题意。故选C。 6.B【解析】由题意，得点A1表示的数为√2，点B 表示的数为2，所以A,B1=2-√2。点A2表示的 数为2+(2-2)=4-2，点B2表示的数为3，所 以A2B2=3-（(4-√2)=-1+√2。如此继续，点 A3表示的数为3+(-1+2)=2+√2。故选B。 7.C【解析】由条件可知AD=√6，所以AE=AD= √6。因为点A表示的数是1，所以点E表示的数 是1-6。故选C。 8A【解桥1由题可知，-50=0，解得三120， 1y=50。 所以帛画的面积为120×50=6000(cm2)。 故选A。 9.x≥210.点Q 11.-2b+c【解析】由数轴，得b<a<0<c, 所以b-a<0,b-c<0. 所以原式=1b-al-a+1b-cl=a-b-a+c- b=-2b+co 12.104.04 13.-√21-2【解析】因为a2-1=a2-1, 所以a2-1=0或a2-1=1。 所以a=±1或a=±V2。 因为，点B在原，点左侧，点B表示的数为b, 所以b<0。 因为点B沿数轴向左平移1个单位长度到达点 A,点A表示的数为a, 所以b-1=a,a<0。所以a=-1或a=-√2。 当a=-1时，b=0(舍去)； 当a=-2时，b=1-2。 所以a=-√2，b=1-√2。 14.6【解析】设康师傅制作的正方体月饼礼盒的 棱长为xcmo 由题意，得x3=144×1.5,解得x=6。 所以康师傅制作的正方体月饼礼盒的棱长为 6 cm. 15.2【解析】因为a,b,n均为正整数，n-1<Va<n, n<√b<n+1, 所以n>1,且n-1,n,n+1为三个连续的自然数。 所以√(n-1)2<√a<,m<6<√(n+1)。 因为02=0,12=1,22=4,32=9,42=16… 所以(n-1)2与n2之间的整数有(2n-2)个，n2 与(n+1)2之间的整数有2n个， 所以2n-(2n-2)=2。 所以满足条件的a的个数总比b的个数少2。 16.-80【解析】因为√(-5)×(-20)=10， 又因为其中有两个数乘积的算术平方根为20， 所以分两种情况， 当√/-5m=20时，m=-80,此时三个数分别是 -5,-80,-20: 当√/-20m=20时，m=-20,此时三个数分别 是-5，-20，-20。因为是三个互不相等的负整 数，所以舍去。 所以m为-80。 17.解：因为b2-9≥0,9-62≥0， 所以b2-9=0。所以b=±3。 因为b+3≠0，所以b≠-3。所以b=3。 所以a=1。所以±√a+b=±4=±2。 18.解：(1)由题意，得3m+1=(±5)2=25,5n-8 =33=27,解得m=8,n=7。 所以√m-n=√8-7=1。 (2)由(1)知，m=8,n=7,所以√4a+8=4, 解得a=2。 所以3a-2n=3×2-2×7=6-14=-8。 所以3a-2n的立方根为-8=-2。 17