（九上预习篇）第22章 22.3 实际问题与二次函数-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（人教版）

（②)由>1时y随x的增大而增大，得一2及≤1， 解得k≤1. ,',若x>1时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k≤1. 10.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x一3)2一1， 把(2,3)代人，得a(2-3)3-1=3, 解得a=4. 所以抛物线解析式为y=4(x一3)2一1， 即5y=4x2一24x十35. (2)设抛物线解析式为y=a(x十1)（红一1）， 把(0,1)代人，得a×(0+1)×(0-1)=1, 解得a=一1， 所以抛物线解析式为y=一(x十1)(x一1)，即y=一x2十1. (3),抛物线对称轴是直线x=2且经过点(5,0)， .抛物线还经过点（一1,0）. 设抛物线的解析式为y=a(x十1)(x一5)， 把(1,4)代人，得a×(1十1)×(15)=4， 解得a=一2 所以范物线的解析式为y-(红+1D一5)， 即y-7+2+号 22.2二次函数与一元二次方程 知识点讲解 【跟踪练习1】 1.C【解析】△=-4ac=(一2)2-4×3×(-1)=16>0， 六抛物线y=3r2-2x-1与x袖有2个交点.故选C. 2.B【解析】令y=0,则kx2一6x一9=0. :二次函数y=kx2一6x一9的图象与x轴有两个不同的 交点， .一元二次方程kx2一6x一9=0有两个不相等的解。 /≠0， {△=(-6)2-4k×(-9)>0, 解得>一1且k≠0.故选B. 【跟踪练习2】B 自主检测 1.A 2.C【解析】山表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个 数时，y=0,即这个数是ax2十br十c=0的一个根.所以 ax2十bx十c=0的一个解x的取值范围为6.18<x<6.19. 故选C, 3.A【解析】，抛物线与x轴的交点为（一1,0），(3,0)， 两交，点关于抛物线的对称轴对称， “此抛物线的对称轴是直线工=二，十31.故选A 2 4B【解析】，图象与x轴有两个交点， ,,方程ax2十bx十c=0有两个不相等的实数根， ,∴.-4ac>0.①错溪t :当x=1时，y<0,.a十b十c<0.②正确 -名--1,6-2a.③错误：】 ,抛物线开口向下，a<0. .b=2a,.b<0. ,抛物线交y轴于正半轴.∴.c>0.∴ac>0.④正确 故选B. 5.3【解析】根据题意，得△=（一4）2一4(a一1)×2=0， 解得a■3.由于a一1■3一1■2≠0， 所以a=3持合题意. 6.x1=-2,x1=1 7.一1<x<3【解析】从抛物线图象看，对称轴为直线x=1, 与x轴的一个交点是(3,0)，则另外一个交点为（一1,0），则 当一1<x<3时，y>0. 8.解：(1)该二次函数的图象经过点(2，一3)， ,.-3=22一(m-2)×2-3. 解得m=4. 102 二次函数的解析式为y=x2一2x一3. "y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .二次函数图象的顶点坐标为(1，一4) (2)令x=0,得y=-3. 该二次函数图象与y轴的交点坐标为(0，一3). 令y=0,得x=一1，x2=3. .该二次函数图象与x轴的交点坐标为（一1,0），(3,0). 9.解：(1)，二次函数的图象与x轴有两个交点， .△=22+4m>0. ∴.m>-1. (2)二次函数的图象过点A(3,0), .0■一9十6十m, .m=3. .二次函数的解析式为y=一x2十2x十3. 令x=0,则y=3, .B(0,3). 设直线AB的解析式为y=x十b, ÷/0=3k+6. 13=b, :得合 .直线AB的解析式为y=一x十3. "抛物线y=一x2十2x十3的对称轴为x=1, ∴.把x=1代人y=-x十3，得y=2. .P(1,2). 10.解：(1)，抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于A(一3,0)， D(1,0)两点， 9二6c=0解得-。2， -1+b+e=0. c=3. 故该抛物线的解析式为y=一x2一2x十3. (2)由抛物线解析式y■-x2-2x+3,可得B(一1,4)， C(0,3). 如图，过点B作BE⊥x轴于点E,交直线AC于点F,则点 F的横坐标是一1， D ,直线AC经过点A(-3,0),C(0,3), .直线AC的解析式是y=x十3. 把x=一1代入y=x十3，得y=2. 则F(-1,2)..BF=2. 六Sa=BF·A0=号X2X3=3. 22.3实际问题与二次函数 知识点讲解 【跟踪练习1】解：(1)根据题意，得S=x(24一3x)=一3十24x. (2)当S=45时，-3x2+24x=45, 解得x=3或x=5. 当x=3时，24一3x=15>10,∴.x=3不符合题意舍去. .x=5,即AB的长是5米. (3)可以.现由如下： S=-3x2+24x=-3(x-4)2+48, -3<0 ∴.S有最大值.当x=4时，S的最大值为48，即围成花画 的最大面积为48m, 【跟踪练习2】解：(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx十b (k≠0)， 期有十名二8：解得合10 ,y与x之间的函数关系式为y=-50x+1100. (2)由题意，得w=(x-10)y=(x-10)(-50x+1100) =-50(x-16)2十1800， -50<0, ,心有最大值，且当x<16时，u随x的增大而增大 12≤x≤15，且x为整数， ∴当x=15时，w有最大值，此时w=一50(15-16)2+ 1800=1750. 答：销售单价定为15元时，每周所获利润最大，最大利润 是1750元. 【跟踪练习3】解：(1)如图，设抛物线与y轴交点为C, 则C(0,4),B(4,0), B 设抛物线解析式为y=ax2十k,把C(0,4),B(4,0)代人 得以e士=0解得a=-子 k=4, k=4. :该抛物线对应的函数解析式为y一一子十4 (2)2+04=2.2. 当x=2.2时y=-}×22十4=279。 当y=2.79时，2.79-0.5=2.29(m). 答，该货车能安全通过的最大高度为2.29m. 自主检测 1.C【解析】设BC=xm,则AB=(16一x)m,矩形ABCD面 积为ym2,根题意，得y=(16一x)x=一x2十16x= 一（红一8）+64，当x=8m时，y=64,即所围成矩形 ABCD的最大面积是64m.故选C. 2.D【解析】y=-2x2+60x十800=-2(x-15)2十1250， -2<0, ,x-15时，y有最大值1250.故选D, 3.B【解析】由表格可知抛物线过点(0,0)，(1,8)，(2,14)，设 被抛物线的解析式为h=a十，将，点(1,8)，(2,14)分别 代入，得t8解得。1， 4a+2b=14, b=9. -t+9-一（化一号）+织则是球延离地面的最大 9 高度为m,对称轴是直线t=号，所以①特误，@正确： :h■一十91，.当h■0时，t=0或9.所以③正确：当t■ 1.5s时，h=一2十9=11.25，所以④错误，故选B 4.B【解析】如围所示建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为y=ax, 由题意可得点(2，一2)在此抛物线上 则一2=a×22,解得a=一2， 1 y=-2.当y-45时-45=-含2， 解得1=一3，x=3. ,',此时水面的宽度为3一（一3）=6， .6一4=2，即水面的宽度增加2m故选B. 5.4【解析】设AC的长为x,三个正方形的面积和为y,则BC =6-x,AD=DC=受∴y=2X(登)+(6-=22 12十36.江=一品-4时，三个正方带的面积之和最小 6.55【解析】设一个旅行团的人数是x,营业颜为y元，根据 题意可得y=x[800一10(x一30)]=-10x2+1100x =-10(x2-110x)=-10(x-55)2+30250, 故当一个旅行团的人数是55时，这个旅行社可以获得最大 的营业额. 7,3【解析】设抛物线的解析式为y一a(工-1)2+0 由题意：得10=a十号a=-9 :提场线的解折式为y一吕(x一1+智 3 当y-0时，0=-9-10+9 解得x1=一1（舍去），x=3..OB=3 8.解：(1)证明：矩形MEFN与矩形EBCF面积相等， .ME=BE.,四边形AMGH是矩形，AM=GH. ,四块矩形花画的面积相等，.S延形AwD=2 SMEFN: ..AM=2ME..AE-=3BE. (2),篱笆总长为100m, ,.2AB+GH+3BC=100, 即2AB+号AB+3BC=10.AB=40-号BC 设BC的长度为xm,矩形区城ABCD的面积为ym, 则y=BC·AB=x(40-号x)=-号2+40z AB=40-号BCBE-10-0>0 解得x<g9y=-号+40z(0<<9 9.解：(1)根据题意，得y=60十10x, 由36-x≥24，得x≤12， .1≤x≤12，且x为整数 (2)设所获利润为e, 则世=(36-x-24)(10x+60) =-10x2十60x+720 =-10(x-3)2+810, .当x=3时，w收得最大值，最大值为810. 即超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大， 最大利润是810元. 10.解：(1)当4=3时，y=a(x-12)2+3, 抛物线y-a(x一12)2+3经过点(0,0)， .0=a(0-12)2十3， 解得a=一8 y与云的关系式为y=-最（红一12)+8 (2)当h=3时，足球能越过人墙，足球不会赐飞.理由如下： 当A=3时，由1)得y=一48红-12》+3. 当x=9时，y=一48（9-12)2+32.81>2.1 足球能过人墙， 当x-18时y-018-12)+3=2,25<2.43. .足球能直接射进球门. (3)由题设知y=a(x一12)十h,函数图象过点(0,0)， 得0=a(0-12)2十h,即144a十h=0,① 由足球能越过人墙，得9a十h>2.1,②@ 由足球能直接射进球门，得036a十h<2.43,③ 由①，得a=一备，① 把④代人②，得9×（一年）十>2.1， 解得h>2.24: 把④代人®，得0<36×（在）+h<2.43, 解得0<h<3.24, 六h的取偵范固是2.24<h<3.24. 103假期8笼 RJ·数学·九年级·上 22.3实际问题与二次函数 ☒学习目标4Q. 1.能建立二次函数的模型，解决有关图形面积的最大值和最小值问题， 2.会运用二次函数求商品生产与销售问题中的最值问题. 3.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题 图知识点讲解g4eg， 知识点一二次函数与图形问题 【典型例题1】如图，在一面靠墙的空地上用长为24m的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圆，设花圆的 宽AB为xm,面积为Sm2. B (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围： (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8m,则求围成花国的最大面积。 思路点拨：(1)根据AB为xm,BC就为(24一4x)m,利用长方形的面积公式，可求出关系式： (2)由(1)可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求国成的长方形花圆的最大面积及对应 的AB的长： (3)根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可. 解：(1)AB=x, ∴.BC=24-4x. '.S=AB·BC=x(24一4x)=-4x2十24x(0x<6). (2)S=-4.x2+24x=-4(x-3)2+36. '0<x<6, ∴.当x=3时，S有最大值为36m. (3)由题意，得 24-4x8, 124-4x>0, .4≤x<6. :在4≤x<6时，y随x的增大而诚小， ∴.当x=4时，花周的最大面积为32m2, 【跟踪练习1】 如图所示，有长为24m的篱笆，一面利用增（墙的最大可用长度为10），围成中间隔有一道篱笆的长方形花 圃.设花留的宽AB为xm,面积为Sm2 (1)求S与x的函数关系式： (2)如果要围成面积为45m的花圃，AB的长是多少米？ (3)能围成面积比45m更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法，如果不能，请说明理由. 60 第二十二章二次函数 预习篇 知识点二二次函数与商品的生产、销售问题 【典型例题2】某商店销售一种成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每 涨1元，月销量就减少10件.设销售价为每件x元(x≥50)，月销量为y件，月销售利润为w元. (1)写出y与x的函数关系式和w与x的函数关系式： (2)商店要在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？ (3)当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润. 思路点拨：(1)根据题意，若按每件50元销售，一个月能售出500件，若销售单价每涨1元，每周销量就减 少10件，可得y=500一10(x一50)，再利用一个月的销售利润=一个月的销售量×每件销售利润，列出U 与x的函数关系式： (2)令w=8000,求出x的值即可； (3)根据二次函数最值的求法求解即可. 解：(1)由题意，得y=500-10(x-50)=1000-10x, w=(x-40)(1000-10x)=一10x2+1400x-40000. (2)由题意，得一10x2十1400x一40000=8000， 解得x1=60,x2=80. 当x=60时，成本=40×[500-10(60-50)]一16000>10000不符合要求，舍去； 当x-80时，成本=40×[500-10(80-50)]=-8000<10000符合要求. .销售价应定为每件80元 (3)w=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000, -10<0, .当x=70时，w取最大值9000. 故销售价定为每件70元时，会获得最大利润9000元. 【跟踪练习2】 小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数 量y(本)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，三对对应值如下表： 销售单价x(元) 12 14 6 每周的销售量y(本) 500 400 300 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元(12≤x≤15，且x为整数)，设每周销售该款笔 记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时，每周所获利润最大，最大利润是多少元？ 知识点三二次函数与拱桥、抛物线问题 【典型例题3】如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m,则水面CD 的宽是10m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式： (2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6m的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6m的长方体货物（货 物与货船同宽).问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 61 假期母路 RJ·数学·九年级·上 思路点拨：(1)以拱桥最顶端为原点，建立平面直角坐标系，根据题目中所给的致据写出函数解析式。 (2)先求x=3m时y的值，用拱桥最大高度减去|y|,然后与3.6相比较即可得出答案， 解：(1)设抛物线解析式为y=ax2. ,抛物线关于y轴对称，AB=20,∴，点B的横坐标为10. 设点B(10,n),点D(5,n十3)， .n=102·a=100a,n+3=52·a=25a, 即n=100a, n=-4, 解得 n+3=25a. 一251 1 y-实 (2),货船经过拱桥时的横坐标为x=3, 当x=3时y=六×9=一君 -元-（-0-器-8.64>3.6 ,在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥。 【跟踪练习3】 如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m,拱高为4m,该隧道为双向车道，且两车道之 间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的 空隙，如图②所示建立平面直角坐标系， (1)求该抛物线对应的函数解析式： (2)通过计算说明该货车能安全通过的最大高度. 8 m B 图① 图② X学法指导24Q 1.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、 内含的规律等相等关系，建立函数解析式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意 自变量的取值范围应具有实际意义。 2,利用二次函数求实际问题的最值的一般步骤： (1)求出函数解析式和自变量的取值范围： (2)配方变形，或利用公式求它的最值： (3)检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。 五自主检测4. 一、选择题 1.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是16m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 D C A.60m2 B.63m2 C.64m2 D.66m 62 第二十二章二次函数 预习篇 2.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y(元)与降价金额x(元)之间满足函数关系式y=一2x2+ 60x十800，则获利最多为 (） A.15元 B.400元 C.800元 D.1250元 3.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球 距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表： 0 1 3 7 886 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m:②足球飞行路线的对称轴是直线t= :③足球被踢出9s 9 时落地：④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m,其中正确结论的个数是 () A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图是抛物线形状的拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,则水面下降2.5m时，水面宽度增加(） 一4m A.1m B.2 m C.3 m D.6 m 二、填空题 5.如图，线段AB=6,点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD,DC,CB为边作正方形，则AC= 时，三个正方形的面积之和最小. A D 6.某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团给予优惠，旅游团的人 数每增加一人，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，则这个旅游团有人. 7.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）， 如图，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面号米，则水流落地点B离墙的距离OB是 米 M 寸B 三、解答题 8.如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD,为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四 块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计） (1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE=3BE; (2)在(1)的条件下，设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym,求y与x之间的函数关系式，并 写出自变量x的取值范围. LZZEC000067 F 63 假期侣假路 RJ·数学·九年级·上 9.某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价.现在的售价为每箱36元，每月可销售60 箱.市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元(x为 正整数)，每月的销量为y箱. (1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围： (2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？ 10.任意球是足球比赛的主要得分手段之一，在某次足球比赛中，小明站在点O处罚出任意球，如图，把球看 作点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x一12)+h,小明罚任意球时防守队 员站在小明正前方9m处组成人墙，防守队员的身高为2.1m,对手球门与小明的水平距离为18m,已知 足球球门的宽是7.32m,高是2.43m.(假定小明罚出的任意球恰好正射对手球门) 9 18 0 人墙12 球门x (1)当h=3时，求y与x的关系式： (2)当h=3时，足球能否越过人墙？足球会不会踢飞？请说明理由： (3)若小明罚出的任意球一定能直接射进对手球门得分，求h的取值范围. 64