（九上预习篇）第22章 22.1.4 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（人教版）

假期母成器 ·数学·九年级·上 8.如果将抛物线y=(x一1)先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，那么所得的新抛物线的解 析式为 9.一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h=一5(t一1)2+6，则小球距离 地面的最大高度是 三、解答题 10.已知抛物线y=a(x一h)2的对称轴为直线x=一2，且过点(1，一3). (1)求抛物线的解析式： (2)当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？ 11.已知二次函数y=一(x-1)2十4. (1)求出二次函数图象的顶点坐标及其与x轴的交点坐标，在网格中画出草图； (2)观察图象确定x取何值时，y>0. 22.1.4二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质 学习目标织… 1.回忆配方法解一元二次方程，会把二次函数y=ax2十bx十c转化成y=a(x一h)2十k的形式. 2.通过观察二次函数y=ax2+bx十c图象的形成过程，会导出用a,b,c表示二次函数图象的对称轴和顶点坐 标的代数式 3.会用待定系数法求二次函数的解析式. 8知识点讲解224gg 知识点一二次函数y=ax2十bx十c图象的画法 1.“化”：y=ax2十bx十c化成y=a(x一h)+k的形式； 2.“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标： 3.“画”：列表、描点、连线. 52 第二十二章二次函数 预习篇 【典型例题1】将二次函数y=一x2十4x+5化成y=a(x一h)2十k的形式，画出图 象，并根据图象回答下列问题： (1)对称轴为直线 ,顶点坐标为 ,最 值为 (2)与x轴、y轴的交点坐标分别为 (3)当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大 而减小： (4)当0≤x<3时，函数y的取值范围为 (5)当0<y<5时，自变量x的取值范围为 解析：列表： 43-2-1012345产 …01234… y-5898s 描点、连线可得如图所示抛物线 43-2可1234产x (1)由y=-x2+4x十5=一(x-2)2十9可知，对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,9)，最大值为9. (2)由图象可知，与x轴、y轴的交点坐标分别为（一1,0），(5,0)和(0,5). (3)当x2时，y随x的增大而增大：当x>2时，y随x的增大而减小 (4)当0≤x<3时，函数y的取值范国为5≤x≤9. (5)当0<y<5时，自变量x的取值范围为一1<x<0或4<x<5. 答案：(1)x=2(2,9)大9(2)(-1,0)，(5,0)和(0,5) (3)<2>2(4)5≤x≤9(5)-1<x<0或4<x<5 【跟踪练习1】 画出二次函数y=一x2十2x十3的图象，并根据图象回答下列问题： 444 y (1)对称轴为直线 ,顶点坐标为 (2)与x轴的交点坐标为 ;与y轴的交点坐标为 (3)当x 时，y随x的增大而增大：当x 时，y随x的增大而减小： (4)当 时，函数y的值小于0.（填x的取值范围） 53 假期：笼 RJ·数学·九年级·上 知识点二函数y=a.x2十bx十c的图象和性质 函数y=ax2十bx十c的图象和性质 抛物线 y=ax'+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0》 顶点坐标 对称轴 位置 由a,b和c的符号确定 由a,b和c的符号确定 开口方向 在对称轴的左侧，y随着x的增大而诚小， 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大， 增减性 在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大 在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小 最值 当=一名时，最小值为如 4a 当x=一云时，最大值为如。 4a 【典型例题2】二次函数y=ax2十bx十c(a≠0)的部分图象如图所示，图象过点（一1,0），对称轴为直线x=2, 则①4a+b=0:②9a一3b十c>0,③y的最大值是4a十2b+c:④当x>一1时，y的值随x的增大而增大， 其中正确的结论有 () T02 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 思路点拔：二次函数y=ax十bx十c的图象与系数的关系：(I)开口方向决定a的符号；(2)抛物线与y轴 的交点位置决定c的符号；(3)对称轴在y轴左侧时，a,b同号；对称轴在y轴右侧时，a,b异号. 解桥：”一品-2,4a十6=0，①正璃：由图象知=一3时的图象在x轴下方，9a一36十0<0，@错 误；图象开口向下，所以y有最大值.对称轴是直线x=2,所以顶点横坐标是2，把x=2代入解析式，得 y=4a十2b十c,∴.③正确：x>2时，y随x的增大而减小，.④错误. 答案：B 【跟踪练习2】 已知y=ax2十bx十c(a≠0)的图象如图所示，则点A(ac,bc)在 () A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 知识点三用待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成： 一设：指先设出恰当的二次函数解析式： 二代：指根据题中所给条件，代人二次函数解析式，得到关于a,b,c(或h,k)的方程组： 三解：指解方程或方程组： 四还原：指将求出的a,b,c(或h,k)代回原解析式中 【典型例题3】已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式. 54 第二十二章二次函数 预习篇 思路点拨：由图象可知抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴一个交点为(3,0).由对称性可知，另一个交，点 为（一1,0），与y轴的交点为(0,3)，由抛物线三种形式均可求解 解：方法一：设抛物线解析式为y=ax2十b.x十c(a≠0)， 由图象知，抛物线的对称轴为直线x=1,抛物线经过点(3,0)，(0,3)， b=1 2a fa=-1, 则有 9a+36+c=0,解得b=2, c=3, c=3, ∴抛物线的解析式为y=一x2+2x十3. 方法二：设抛物线解析式为y=a(x十x1)(x十x2),由抛物线对称性可知，抛物线与x轴的另一个交点坐标 为(-1,0)，则解析式可写为y=a(x-3)(x十1)，将点(0,3)代入解析式，得3=a(0一3)(0十1)，解得a= 一1..抛物线的解析式为y=一(x-3)(x十1)，整理，得y=一x2十2x十3. 方法三：设抛物线解析式为y=a(x一h)2十k, :抛物线的对称轴为直线x■1，.h■1. 将3,0，(0,3)代入解析式，得0=a3-1)+ 解得/a=一1， 13=a(0-1)2+k, 1k=4, ∴抛物线解析式为y=一(x一1)2+4.整理，得y=一x2十2x十3. 【跟踪练习3】 已知一个二次函数的图象经过点A(一1,0)，B(0,3),C(2,3) (1)求这个函数的解析式及对称轴： (2)如果点P(为)，Q(,)在这个二次函数图象上，且x<x<0,那么为为.（填“<”或“>”） 江单法指导40… L.研究二次函数y=ax2十bx十c的图象和性质，首先要画函数图象，一般先找出二次函数的对称轴，再在对称 轴两侧取对称的四个点，描出二次函数图象；研究二次函数y=αx2十bx十c的性质时，一般从对称轴、顶点 坐标、开口方向、增减性四个方面来进行. 2.用待定系数法求二次函数解析式时，要根据所给条件灵活设出二次函数解析式.常见的设法： 已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式y=ax2十bx十c(a≠0)： 已知图象上顶点坐标（或对称轴和最值），通常选择顶点式y=a(x一h)2十k(a≠0)； 已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1,xg,通常选择交点式y=a(x一工1)(x一x2)(a≠0). 3.二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系的，并可互相转化.在实际解题时，一定要根据已知 条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解， a自主检测4. 一、选择题 1.抛物线y=x2+x一6与y轴的交点坐标是 A.(0,6) B.(0,-6) C.(-6,0y D.(-3,0),(2,0) 2.要将抛物线y=x平移后得到抛物线y=x2+4x十5，下列平移方法正确的是 A.向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 55 假期母成器 RJ·数学·九年级·上 3.抛物线y=x2一2x十m2+2(m是常数)的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若二次函数的图象的顶点坐标为(2，一1)，且抛物线过(0,3)，则二次函数的解析式是 A.y=-(x-2)2-1 By- 2x-2)2-1 C.y=(x-2)2-1 Dy=2x-22-1 二、填空题 5抛物线y一十x十号化成顶点式是 6.如果抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的对称轴是直线x=1,那么2a十b= 7.已知，二次函数图象的顶点坐标是(2，一1)，形状与抛物线y=2x2相同但开口方向向下，则这个二次函数的 解析式是 8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=4,点D的坐标是(0,8)，以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A, B,则此抛物线的解析式为 三、解答题 9.已知抛物线y=x2-2kx十3k+4, (I)若抛物线的顶点在x轴上，求k的值；： (2)若x>1时，y随x的增大而增大，求k的取值范围. 10.根据已知条件，求二次函数解析式： (1)抛物线的顶点是(3，一1)，且过点(2,3)： (2)抛物线过(0,1)，(-1,0)，(1,0)三点： (3)抛物线的对称轴是直线x=2,且过点(1,4)和(5,0). 569.6米【解析】：h=一5(-1)1十6， ,∴.a=-50, ∴，抛物线的开口向下，函数有最大值 t=1时，hax=6, 10.解：(1)抛物线的对称轴为直线x=一2， ,,h=一2. y=a(x+2)2过点(1，-3)， .-3=a(1+2)7. 1 a= y=-+2 (2)当x<一2时，y随x的增大而增大，当x■一2时，函 数有最大值0. 11.解：(1)二次函数的解析式为y=一(x一1)2十4 .图象的对称轴为直线工=1，顶点坐标为(1,4). 令y=0,得x1=3,=-1, 与x轴的交点坐标为(3,0)，（一1,0）. 图象草图如图所示. 0 (2)由图象得出，当一1<x<3时，y>0. 22.1.4二次函数y=ax2+bz+c的图象和性质 知识点讲解 【跟踪练习1】解：填表如下： …-10123… y…03430 作图如下： 4-3-2101245x (1)对称轴为直线x=1,顶点坐标为1,4) (2)与x轴的交点坐标为（一1,0）和(3,0)：与y轴的交点 坐标为(0,3). (3)当x<1时，y随x的增大而增大：当x>1时，y随x 的增大面减小. (4)当x<一1或x>3时，函数y的值小于0. 知识点=（品如。)（←品如。) b 4ac-6 直线x= 一名直线x=一向上向下 【跟踪练习2】C【解析】，抛物线开口方向向下，.a<0, 抛物战与y轴交于正半轴，.c>0.ac<0. :对称轴为直线工=一名<0b0c<0 ∴.A(ac,bc)在第三象限.故选C 【跟踪练习3】解：(1)设二次函数的解析式为y=ax2十bx十e (a≠0). 1a-b+c=0, /a=-1, 根据题意，得c=3, 解得)b=2, 4a+2b+c=3, c=3. “.二次函数的解析式为y=一x+2x十3. 2 六抛物线的对称轴为直线x=一2X-D=1. (2)由(1)可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x=1, 点P(x,y),Q(,为)在这个二次函数图象上， 且x1<x<0,.y<y 自主检测 1.B 2.A【解析】：y=x十4x十5=(x+2)2+1, .该抛物线的顶点坐标是（一2,1）. 抛物线y=x的顶点坐标是(0,0)， ,,平移的方法可以是将抛物线y■x2向左平移2个单位长 度，再向上平移1个单位长度，故选A. 3.A【解析】二次函数y=ax2+b缸十c(a≠0)的顶点坐标为 （。”-品=- -2 =1>0,4ac=t- 4《m十2)二4=m+1>0,故此鹅物线的顶点在第一象展. 故选A 4.C【解析】设这个二次函数的解析式为y=a(x一h)十k ”二次函数的图象的顶燕坐标为(2，一1)，.二次函数的解 折式为y=a(x-2)2一1.把(0,3)代入，得a■1，所以y (x一2)2-1.故选C. 5.y=之(x+12+3【解析】由原邦物线解析式， 得y=+20+ 7 y-+2x+D+号-含 71 y=7(x+1)2+3 6.0【解析】"：抛物线对称轴为直线x=1, =1.∴2a+b=0. .2a 7,y=一2(x一2)°一1【解析】设抛物线的解析式为y=a(x 一2)2一1，，诚抛物线的形状与抛物线y=2x2相同但开口 方向向下， .a=-2. ∴.y=-2(x-2)2-1. 8.y=-2x2+16x-24【解析】在平行四边形ABCD中， CD∥AB且CD=AB=4,点D的坐标是(0,8)， .点C的坐标为(4,8) 如图，设抛物战的对称轴与工袖相交于点H, 可AHB 则AH=BH=2, 点A,B,C的坐标分刚为A(2,0),B(6,0),C(4,8) 设抛物线的解析式为y=a(x一4)2十8， 把A(2,0)代入，得0=4a十8， 解得a=-2. .y=-2(x-4)1+8. .抛物线的解析式为y=一2x2+16x一24. 9.解：(1)，抛物线解析式为y=x2一2kx十3k十4， ∴.y=x2-2kx十k2十3k十4-k2=(x一k》+3k十4一2. ∴.抛物线顶点坐标为(k,3k十4一2). 抛物线的顶点在x轴上， .3k十4一2=0.解得k=一1或4. 101 （②)由>1时y随x的增大而增大，得一2及≤1， 解得k≤1. ,',若x>1时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k≤1. 10.解：(1)设抛物线解析式为y=a(x一3)2一1， 把(2,3)代人，得a(2-3)3-1=3, 解得a=4. 所以抛物线解析式为y=4(x一3)2一1， 即5y=4x2一24x十35. (2)设抛物线解析式为y=a(x十1)（红一1）， 把(0,1)代人，得a×(0+1)×(0-1)=1, 解得a=一1， 所以抛物线解析式为y=一(x十1)(x一1)，即y=一x2十1. (3),抛物线对称轴是直线x=2且经过点(5,0)， .抛物线还经过点（一1,0）. 设抛物线的解析式为y=a(x十1)(x一5)， 把(1,4)代人，得a×(1十1)×(15)=4， 解得a=一2 所以范物线的解析式为y-(红+1D一5)， 即y-7+2+号 22.2二次函数与一元二次方程 知识点讲解 【跟踪练习1】 1.C【解析】△=-4ac=(一2)2-4×3×(-1)=16>0， 六抛物线y=3r2-2x-1与x袖有2个交点.故选C. 2.B【解析】令y=0,则kx2一6x一9=0. :二次函数y=kx2一6x一9的图象与x轴有两个不同的 交点， .一元二次方程kx2一6x一9=0有两个不相等的解。 /≠0， {△=(-6)2-4k×(-9)>0, 解得>一1且k≠0.故选B. 【跟踪练习2】B 自主检测 1.A 2.C【解析】山表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个 数时，y=0,即这个数是ax2十br十c=0的一个根.所以 ax2十bx十c=0的一个解x的取值范围为6.18<x<6.19. 故选C, 3.A【解析】，抛物线与x轴的交点为（一1,0），(3,0)， 两交，点关于抛物线的对称轴对称， “此抛物线的对称轴是直线工=二，十31.故选A 2 4B【解析】，图象与x轴有两个交点， ,,方程ax2十bx十c=0有两个不相等的实数根， ,∴.-4ac>0.①错溪t :当x=1时，y<0,.a十b十c<0.②正确 -名--1,6-2a.③错误：】 ,抛物线开口向下，a<0. .b=2a,.b<0. ,抛物线交y轴于正半轴.∴.c>0.∴ac>0.④正确 故选B. 5.3【解析】根据题意，得△=（一4）2一4(a一1)×2=0， 解得a■3.由于a一1■3一1■2≠0， 所以a=3持合题意. 6.x1=-2,x1=1 7.一1<x<3【解析】从抛物线图象看，对称轴为直线x=1, 与x轴的一个交点是(3,0)，则另外一个交点为（一1,0），则 当一1<x<3时，y>0. 8.解：(1)该二次函数的图象经过点(2，一3)， ,.-3=22一(m-2)×2-3. 解得m=4. 102 二次函数的解析式为y=x2一2x一3. "y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .二次函数图象的顶点坐标为(1，一4) (2)令x=0,得y=-3. 该二次函数图象与y轴的交点坐标为(0，一3). 令y=0,得x=一1，x2=3. .该二次函数图象与x轴的交点坐标为（一1,0），(3,0). 9.解：(1)，二次函数的图象与x轴有两个交点， .△=22+4m>0. ∴.m>-1. (2)二次函数的图象过点A(3,0), .0■一9十6十m, .m=3. .二次函数的解析式为y=一x2十2x十3. 令x=0,则y=3, .B(0,3). 设直线AB的解析式为y=x十b, ÷/0=3k+6. 13=b, :得合 .直线AB的解析式为y=一x十3. "抛物线y=一x2十2x十3的对称轴为x=1, ∴.把x=1代人y=-x十3，得y=2. .P(1,2). 10.解：(1)，抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于A(一3,0)， D(1,0)两点， 9二6c=0解得-。2， -1+b+e=0. c=3. 故该抛物线的解析式为y=一x2一2x十3. (2)由抛物线解析式y■-x2-2x+3,可得B(一1,4)， C(0,3). 如图，过点B作BE⊥x轴于点E,交直线AC于点F,则点 F的横坐标是一1， D ,直线AC经过点A(-3,0),C(0,3), .直线AC的解析式是y=x十3. 把x=一1代入y=x十3，得y=2. 则F(-1,2)..BF=2. 六Sa=BF·A0=号X2X3=3. 22.3实际问题与二次函数 知识点讲解 【跟踪练习1】解：(1)根据题意，得S=x(24一3x)=一3十24x. (2)当S=45时，-3x2+24x=45, 解得x=3或x=5. 当x=3时，24一3x=15>10,∴.x=3不符合题意舍去. .x=5,即AB的长是5米. (3)可以.现由如下： S=-3x2+24x=-3(x-4)2+48, -3<0 ∴.S有最大值.当x=4时，S的最大值为48，即围成花画 的最大面积为48m, 【跟踪练习2】解：(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx十b (k≠0)， 期有十名二8：解得合10 ,y与x之间的函数关系式为y=-50x+1100. (2)由题意，得w=(x-10)y=(x-10)(-50x+1100)