（九上预习篇）第21章 21.3 实际问题与一元二次方程-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（人教版）

第二十一章一元二次方程 预习篇 21.3 实际问题与一元二次方程 学习目标4e. 1.回忆根据题设列一元一次方程或二元一次方程组的过程，读懂教材上的探究分析. 2.会根据题设用一元二次方程解决问题。 相知识点讲解2e低， 知识点一传播问题 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示 问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程. 【典型例题1】为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规 则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请个互不相同的好友 转发，依此类推.已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则”的值为 () A.9 B.10 C.11 D.12 思路点拨：极据传播规则结合经过两轮转发后共有11】个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次 方程，解之取其正值即可得出结论， 解析：依题意，得1十n十m=111, 解得1=10,2=-11. 答案：B 【跟踪练习1】 某年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢 到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有 人。 知识点二平均增长（降低）率问题 此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新的数据，解决这类问题需牢记公式(1十 x)”=b或a(1一x)2=b,其中a表示 ,无表示 ,b表示后来得到的数据， “+”表示 ,“一”表示 【典型例题2】某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，因突然暴发疫情，市场对口罩需求量 大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个. (1)求口罩日产量的月平均增长率： (2)按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 思路点拨：(1)根据题意设口罩日产量的月平均增长率为x,根据题意列出方程即可求解： (2)结合(1)，按照这个增长率，根据3月份平均日产量为24200个，即可预计4月份平均日产量. 解：(1)设口罩日产量的月平均增长率为x, 根据题意，得20000(1+x)2=24200, 解得x1=一2.1（舍去），x2=0.1=10%. 答：口罩日产量的月平均增长率为10%. (2)24200(1+0.1)=26620(个). 答：预计4月份平均日产量为26620个. 【跟踪练习2】 某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x,则可列方程为() A.95=15(1十x) B.15(1+x)=95 C.15(1+x)+15(1+x)2=95 D.15+15(1+x)+15(1+x)=95 37 假期成能 则·数学·九年级·上 知识点三面积问题 用一元二次方程解应用题与我们以前学过的用一元一次方程解应用题步骤是相同的.解应用题的步骤是 【典型例题3】现要在一个长为40m,宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所 示，要使种植花草的面积为864m2,求小道的宽度. 思路点拨：利用“剪切法”，将花园中的小道“剪掉”再拼接起来，得到的新矩形的面积为864m,据此列方 程求解即可， 解：设小道的宽度为x米， 依题意，得(40一2x)(26一x)=864, 整理，得x一46.x十88=0. 解得无1=2，x2=44. ,44>40,不符合题意，舍去， x=2. 答：小道的宽度应为2米. 方法技巧：解决图形面积问题的关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题中的已知量和未知量归结 到一个几何图形中，然后利用几何知识寻求它们之间的关系，列出一元二次方程求解.求不规则的图形的 面积时，一般将不规则图形拼凑或者分割成规则图形，再利用规则图形的面积公式列方程求解。 【跟踪练习3】 在一块长16m,宽12m的矩形荒地上，要建一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，下面分别是小 颖和小明的设计方案（空白部分是花园）： 小颗的设计方案如图①，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程可得到小路的宽为2m或12m: 小明的设计方案如图②，其中花园每个角上的扇形相同。 16m 2 小 12 小明 图① 图②@ (1)你认为小颗的结果对吗？请简要说明理由： (2)请你帮助小明求出图中x的值（结果精确到0.1，π取3w2≈1.414）： (3)请你在下面的矩形中画出与小颖和小明不同的设计方案草图. 16m 12 38 第二十一章一元二次方程 预习篇 X祖学法指导Q 1.类比列一元一次方程解应用题的步骤，寻找题目中的等量关系。 2.对求得的结果检验其合理性，是否符合实际意义. 五自主检测w保 一、选择题 1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两 纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题 意，列方程为 A.35×20-35x-20.x+2.x=600 B.35×20-35.x-2×20.x=600 C.(35-2.x)(20-x)=600 D.(35-x)(20-2x)=600 2.为响应全民阅读活动，某校面向社会开放图书馆.自开放以来，进馆人次逐月增加，第一个月进馆200人次， 前三个月累计进馆872人次，若进馆人次的月增长率相同，为求进馆人次的月增长率，设进馆人次的月增长 率为x,依题意可列方程为 () A.200(1+x)2=872 B.200(1+x)+200(1+x)2=872 C.200(1+x+x2)=872 D.200+200(1+x)+200(1+x)2=872 3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样 数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 A.4 B.5 C.6 D.7 4.某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元.为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定 采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件.若商场平均每 天盈利2000元，每件衬衣应降价 A.10元 B.15元 C.20元 D.25元 二、填空题 5.1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔 不及长一十二步.问阔及长各几步？意思是矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步？若设 长为x步，则可列方程为 6.为解决群众看病贵的问题，某区有关部门决定降低药价，对某种原价为400元的药品进行连续两次降价，降 价后的价格为100元，则平均每次价格下降的百分率是 7.如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴 影部分)可制成底面积是24cm的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm. 底面 2 cm -10 cm- 三、解答题 8.某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩周脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m的矩形 试验茶园，便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m,另外三面用69m长的篱笆围成， 其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）.求这个茶园的长和宽. 39 假期窗笼·数学·九年级·上 9.深圳市某商场销售某女款上衣，刚上市时每件可盈利1O0元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价 后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件 (1)求平均每次降价的百分率； (2)为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件 女款上衣每降价1元，每天可多售出2件.若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？ 10.在疫情期间，某中学响应政府“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体 同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果 该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以 用下面的方式来解决问题。 用点A1,A:,A…A分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与 通电话次数y之间的关系用如图所示的模型表示： x=2 r=3 x三4 x=5 y=1 y=3 y=6 y= y= (1)填写上图中第四个图中y的值为 ,第五个图中y的值为 (2)通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为 ,当x=48时，对应的 (3)若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？ 409.解：x(x-7)一10(x一7)=0，.(x-7)(x-10)=0. x-7=0或x-10=0..x=7,x=10. 当x=10时，3十7■10不符合题意： 当x■7时，7一3<7<7十3符合题意 .周长为3+7+7=17， ·21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识点讲解 知识点一占 【跟踪练习】 1解：低题意，得五十=号·=一是 (1)x2+x12=(n十x)2-2x1·x -()-2x()翠 (2)-2=(x1十)-41·x =(受)-4×()碧则-子 29 (3)+2=十x 、29 11·xg 5 101 一2 2.解：解法一：将方程的根x=一2代人方程， 得2×(-2)2十m·(-2)4=0,.m=2. 将m=2代入方程，得2x十2x一4=0， 即x2+x-2=0. 解得x1=一2，x=1. 即方程的另一根为1. 解法二：设方程另一根为x,则根据一元二次方程根与系数 的关系，得-2+x=一受-2红=之 解得x=1,m=2. 自主检测 1.B 2.D【解析】关于x的方程x一4x十m=0有一个根为 一1，设另一根为a,则一1十a=4,解得a=5,即另一根为 5.故速D. 3.B 4.A【解析】由题意，得1十x1=一b,1x=一4，.1x x1一x8=x1x约-(x1十x1)=一4十b=一7.b=一3. 故选A. 5.5【解析】(1十x)十x=十十=十十： 由一元二次方程根与系数的关系可知，西1十x=4,面=1， 所以x1(1十x2)十x1=4十1=5. 6.解：曲根与系数的关系：得工十=1，出=一子 (1)原式=x12x23十2x3+2x2+4 =(x)2+2(x1+x2)+4 =(x1x:)2+2[(x1+x)2-2x1x]十4 -()+2[-2x()门+4-婴 (2)原式=4x1x+2x1+2x1+1 =4红1x+2(x1十)+1 =4×(-名)+2×1+1=1 (3)原式=x2-2x1十x =(十x)1-4x1x1 =-4×()=8 7.解：(1)由题意可知，△=（一4）一4×1×（一2k十8）≥0， 整理，得16十8k一32≥0， 解得k≥2. .的取值范围是k≥2. (2)1°x1十x1x22=1x[(x十x1)2-2x1x2]=24, 由一元二次方程根与系数的关系可知x十x=4, 98 -2k十8， .(-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24. 整理，得k一4k十3=0， 解得k1=3,k2=1. 又由(1)可知k≥2， .是的值为3. 8.解：(1)证明：△=m2一4×1×(m一2) =m2一4m十8 =(m一2)2+4>0. 无论m取何实数，原方程总有两个不相等的实数根 (2)不存在. 理由：，，是关于x的一元二次方程2十mx十m一2■0 的两个同号的实数根， .x1十x2=一m,x1·x3=m一2>0. x2十x3十m(x十x)=(x十五)-2x·x十m(x十) =m2-2(m一2)-m2=一2(m一2)<0. ,m2+1>0, 不存在m,使x,3十x:十m(x1十x)=m2十1成立 9.解：(1)，四边形ABCD是菱形， .AB=AD. 又：AB,AD的长是关于x的方程x-mx+受-子=0 的两个实数根， 4=(-m)-4X(登-青)=(m-0=0. .m=1. 当m为1时，四边形ABCD是菱形. 当m=1时，原方程为2-x+}=0,即（红-）=0， 部得五一一名 菱形ABCD的边长是 (2)设AD的长为n. 则1+a=m,1A-空一子 1 5AD=2 :平行四边形ABCD的周长是2×(1+)=3. 21.3实际问题与一元二次方程 知识点讲解 【跟踪练习1】10【解析】设被群一共有x人，则每人收到 (x一1)个红包，依题意，得x(x一1)=90，解得x1=10, 工=一9（合去）.故孩群一共有10人. 知识点二增长（降低）前的数据增长率或降低率增长 降低 【跟踪练习2】D 知识点三审设列解验客 【最踪练习3】解：(1)设小路的究为xm, 根据题意，得(12-2x)(16-2x)=之×12×16， 整理，得x2-14x十24=0， 解得x1=2,x1=12(舍去). ∴.小路的宽为2m,小颖的结果不对 (2)阴影部分的面积实际上是一个整圆的面积. "xx2=2×12X16x=4V25.7 (3)方案不唯一，如图所示，花园是菱形 16m 12 自主检测 1.C2.D3.C 4.D【解析】设每件村衫应降价x元 根据题意，得(50-x)(30+20×后)=200， 整理，得x2一35x+250■0， 解得x1=10,x2=25. ,需要扩大销售，减少库存， x1=10应舍去，x=25.故选D. 5.x(x-12)=864 6.50%【解析】设平均每次降价的百分率为x, 由题意，得400(1-x=10,解得=之五=号（舍）. ,.平均每次价格下降的百分率是50%. 7.2【解析】设正方形的边长为xcm, 根据题意，得(10一2x)(6一x)=24, 整理，得x2一11x十18=0， 解得1=2，x3=9(舍去). 所以剪去的正方形的边长为2cm 8.解：设茶园垂直于墙的一边长为xm,则另一边的长度为 (69+1-2x)m, 根据题意，得x(69十1一2x)=600, 整理，得x2-35x+300=0, 解得x1=15,x2=20. 当x=15时，70一2x■40>35，不符合题意舍去1 当x=20时，70一2x=30,符合题意 答：这个茶园的长和宽分别为30m,20m, 9.解：(1)设平均每次降价的百分率为a, 根据题意，得100(1一a)2=81, 解得a1=1.9(舍去)，a:=0,1■10%. 答：平均每次降价的百分率为10%： (2)设每件应降价x元， 根据题意，得(81一x)(20+2x)■2940， 解得1=60，x2=11. ,需要尽快减少库存 ∴，x=60. 答：若商场每天要盈利2940元，每件应降价60元. 10.解：(1)观察图形，可知第四个图中y的值为10，第五个图 中y的值为15. 21-2=32,6=2,10=54,15=6 2 2 ∴y=zx-1) 2 当x=48时，y-48X48-)-1128. (3)依题意，得x,D=190, 2 化简，得x2-x一380=0， 解得x1■20，x■一19（不符合题意，舍去）. 答：该班共有20名女生 章末预习自测 1.B2.A3.B4.B 5.D【解析】根据题意，得≠0且△=22一4k×(一1)>0，所 以>一1且k≠0.故选D. 6.D 7.D【解析】把x■3代入方程，得9一3(m十1)十2m=0, 解得m=6, 则原方程为x2一7x十12=0， 解得x=3,x=4. 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边的边长， ①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+ 4+3=11: ②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3十 3+4=10. 综上所迷，△ABC的周长为10或11故选D. 8.A【解析】：k,b是一元二次方程x十px一g=0的两个 实根(b≠0)， .k·b=-|q: ∴.k·b<0. ,在一次苗数y=kx十b中，y随工的增大而减小， ∴k<0,图象过第二、四象限， ∴.>0，即图象与y轴的交点在x触上方 ∴.一次函数y=kx十b经过第一、二，四象限，故逸A 9.202310.6>7 11,0【解析】：关于x的一元二次方程x十(m2十4m)x十 2一m一1■0的两根互为相反数， .-(m2十4m)=0. 解得加=0或m=一4. :当m=一4时，原方程为x2十19=0，方程无实数根， .m=0. 12.20【解析】方程x2一8x+15=0, 分解国式，得(x一3)(x一5)=0， 所以x一3■0或x一5■0. 解得x■3戎x=5. 当AB=3时，3十3=6，不能构成三角形，舍去： .当AB=5时，菱形周长为20. 13.±1 14,6【解析】，m,n是一元二次方程x十5x一8=0的两个根， .m十n=一5，mn=一8，m十5m=8. 则原式=m2十5m十2m十2n一m粒 =m2+5m+2(m+n)一mn=8+2X(-5)+8=6. 15.解：(1)4=(-2√②)2-4×(-5)×2=48>0， “x-二（-2@±4⑧22±4且 2×2 4 ∴=②+25，西=E-,25 2 2 (2)移项，得(y+2)2-(3y一1)2=0. 分解因式，得(4y+1)(3-2y)=0, 解得=一为=是. 16.解：m是方程x2十x-1=0的一个根， .m2十m一1=0. .m2=一m+1. .m3=m(一m十1)=一m2十m=m一1十m=2m一1. .m3+2m2+2023=2m一1十2（一m十1）+2023 =2m一1一2m+2+2023=2024. 17.解：设经过x秒，△PBQ的面积为8cm2, 由题意，得BP=6一x,BQ=2x, ∠B=90°， ÷5am=2·BP,B0-8 “2(6-)·2红=8解得面=2，函=4 ∴.经过2s或4后，△PBQ的面积为8cm. 18.解：(x2+x)2-22-2x=8, .(x2+x)-2(x2+x)=8, 设x2十x=y, 于是原方程可变为y2一2y=8, 解得yh=一2,5=4. 当y=-2时，x2+x=-2,即x2+x+2=0, ,△=12一4×2=一7<0，.此时方程没有实数解， 当y=4时，x2十x=4,即x2十x-4=0, 2,=-17+1 此时=√7-1 2 ∴原方程有两个根5=了-1，=一7+1 2 2 19解：)油△=+2-，亭>0，得>-1 99