（九上预习篇）第21章 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（人教版）

9.解：x(x-7)一10(x一7)=0，.(x-7)(x-10)=0. x-7=0或x-10=0..x=7,x=10. 当x=10时，3十7■10不符合题意： 当x■7时，7一3<7<7十3符合题意 .周长为3+7+7=17， ·21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识点讲解 知识点一占 【跟踪练习】 1解：低题意，得五十=号·=一是 (1)x2+x12=(n十x)2-2x1·x -()-2x()翠 (2)-2=(x1十)-41·x =(受)-4×()碧则-子 29 (3)+2=十x 、29 11·xg 5 101 一2 2.解：解法一：将方程的根x=一2代人方程， 得2×(-2)2十m·(-2)4=0,.m=2. 将m=2代入方程，得2x十2x一4=0， 即x2+x-2=0. 解得x1=一2，x=1. 即方程的另一根为1. 解法二：设方程另一根为x,则根据一元二次方程根与系数 的关系，得-2+x=一受-2红=之 解得x=1,m=2. 自主检测 1.B 2.D【解析】关于x的方程x一4x十m=0有一个根为 一1，设另一根为a,则一1十a=4,解得a=5,即另一根为 5.故速D. 3.B 4.A【解析】由题意，得1十x1=一b,1x=一4，.1x x1一x8=x1x约-(x1十x1)=一4十b=一7.b=一3. 故选A. 5.5【解析】(1十x)十x=十十=十十： 由一元二次方程根与系数的关系可知，西1十x=4,面=1， 所以x1(1十x2)十x1=4十1=5. 6.解：曲根与系数的关系：得工十=1，出=一子 (1)原式=x12x23十2x3+2x2+4 =(x)2+2(x1+x2)+4 =(x1x:)2+2[(x1+x)2-2x1x]十4 -()+2[-2x()门+4-婴 (2)原式=4x1x+2x1+2x1+1 =4红1x+2(x1十)+1 =4×(-名)+2×1+1=1 (3)原式=x2-2x1十x =(十x)1-4x1x1 =-4×()=8 7.解：(1)由题意可知，△=（一4）一4×1×（一2k十8）≥0， 整理，得16十8k一32≥0， 解得k≥2. .的取值范围是k≥2. (2)1°x1十x1x22=1x[(x十x1)2-2x1x2]=24, 由一元二次方程根与系数的关系可知x十x=4, 98 -2k十8， .(-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24. 整理，得k一4k十3=0， 解得k1=3,k2=1. 又由(1)可知k≥2， .是的值为3. 8.解：(1)证明：△=m2一4×1×(m一2) =m2一4m十8 =(m一2)2+4>0. 无论m取何实数，原方程总有两个不相等的实数根 (2)不存在. 理由：，，是关于x的一元二次方程2十mx十m一2■0 的两个同号的实数根， .x1十x2=一m,x1·x3=m一2>0. x2十x3十m(x十x)=(x十五)-2x·x十m(x十) =m2-2(m一2)-m2=一2(m一2)<0. ,m2+1>0, 不存在m,使x,3十x:十m(x1十x)=m2十1成立 9.解：(1)，四边形ABCD是菱形， .AB=AD. 又：AB,AD的长是关于x的方程x-mx+受-子=0 的两个实数根， 4=(-m)-4X(登-青)=(m-0=0. .m=1. 当m为1时，四边形ABCD是菱形. 当m=1时，原方程为2-x+}=0,即（红-）=0， 部得五一一名 菱形ABCD的边长是 (2)设AD的长为n. 则1+a=m,1A-空一子 1 5AD=2 :平行四边形ABCD的周长是2×(1+)=3. 21.3实际问题与一元二次方程 知识点讲解 【跟踪练习1】10【解析】设被群一共有x人，则每人收到 (x一1)个红包，依题意，得x(x一1)=90，解得x1=10, 工=一9（合去）.故孩群一共有10人. 知识点二增长（降低）前的数据增长率或降低率增长 降低 【跟踪练习2】D 知识点三审设列解验客 【最踪练习3】解：(1)设小路的究为xm, 根据题意，得(12-2x)(16-2x)=之×12×16， 整理，得x2-14x十24=0， 解得x1=2,x1=12(舍去). ∴.小路的宽为2m,小颖的结果不对 (2)阴影部分的面积实际上是一个整圆的面积. "xx2=2×12X16x=4V25.7 (3)方案不唯一，如图所示，花园是菱形 16m 12假期母成器 ·数学·九年级·上 (3)4(x+3)2-9(x-3)2=0. 8.小亮在进行解一元二次方程的练习时，遇到这样一个方程：(x一5)严=10一2x,下面是他的解法： (x-5)2=-2(x-5),第-步； x-5=-2,第二步： x=3,第三步. ①填空：小亮是在第 步开始出现错误的，这一步错误的原因是 ②请给出该方程正确的求解过程. 9.三角形的两边长为3和7，第三边的长是方程x(x一7)一10(x一7)=0的一个根，求这个三角形的周长， "21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 X学习目标权g4Q.一 1.回忆分式的加减乘除运算，读懂一元二次方程的根与系数的关系的推导过程. 2.能运用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题， s知识点讲解224g 知识点一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2十br十c=0(a,b,c为已知数，a≠0,6-Aac≥0)的 两个实数根为1，x2,则十x= x1·x2= 【典型例题】设x1,x2是方程2x2一8x+5=0的两个根，不解方程，求下列各式的值： +,2十 思路点拔：由根与系数的关系，得十=4，函·=号 解：由题意，得十=4函·-受 ①3+-国+)-号×410 34 第二十一章一元二次方程■ 预习篇 2)+=气出=者=鱼十十色+2。 (x+1)(x2+1) x1x十x1十x2十I x1x+(x1十x2)十1 -2x是-2 8+4+1 【跟踪练习】 1.x1,x2是方程2x2一3x一5=0的两个根，不解方程，求下列代数式的值： (1)x2+x2: (2)1x1一x2: (3)+2 Ty t1 2.(用两种方法求解)已知方程2x2十mx一4=0的一根为一2，求它的另一根和m的值. 学法指导49 不解方程，利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值，关键是把所给的代数式经过恒等变形，化为 含x1十x2,x1·x?的形式，然后把x1十x,1·x的值代人，即可求出所求代数式的值.常见的代数式变 形有： ①x12+x22=(x1十x2)2-2五1x2: ②1+1=+4 ③1十1《工1十x2)—2x12 (1x27 ④2+4=十产-2x 五自主枪测紧 一、选择题 1.一元二次方程x2+2√2x一6=0的两实数根为x,工2，则1十x的值为 A.2 B.-22 C.22 D.6 2.关于x的方程x2一4x十m=0有一个根为一1，则另一个根为 A.-2 B.2 C.-5 D.5 3.若关于y的一元二次方程的两个根为y1=一1,2=3，则这个方程可能是 A.y2+2y-3=0B.y2-2y-3=0C.y2-3y+2=0D.y2-3y-2=0 4.若x1,x2是关于x的一元二次方程x2十bx一4=0的两个根，且x1x一x1一x2=一7，则b的值为() A.-3 B.3 C.-5 D.5 35 假期8笼 ·数学·九年级·上 二、填空题 5.若方程x2-4x+1-0的两个根是x1,x,则x1(1十x2)+x2的值为 三、解答题 6.设x1,x2是方程2x2一2x一1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x13+2)(x+2): (2)(2x1+1)(2x2+1): (3)(x1-x2)2. 7.已知关于x的一元二次方程x8一4x一2k+8=0有两个实数根x无，2， (1)求是的取值范围： (2)若x”x2十x1x3=24,求k的值. 8.关于x的一元二次方程x2十mx十m一2=0， (1)求证：无论m取何实数，此方程总有两个不相等的实数根： (2)设该方程两个同号的实数根为，x2,试问是否存在m,使x2十x2十m(x1十x2)=m十1成立，若存 在，求出m的值，若不存在，请说明理由. 9.已知：平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程r-mx十受一青-0的两个实数根， (1)当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； (2)若AB的长为1，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 36