（九上预习篇）第21章 21.2.3 因式分解法-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（人教版）

假期8笼 RJ·数学·九年级·上 21.2.3因式分解法 学习目标4Q 1.回忆用提公因式法和平方差法分解因式的有关内容， 2.根据0乘任何数都得0，理解一元二次方程转化为一元一次方程的过程. 3.会运用因式分解法解一元二次方程 石知识点讲解2. 知识点一提公因式法解一元二次方程 1.当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成 等于0的形式，进而分成两个 一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法， 2.公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数：②字母一各项含有的相同 字母：③指数—相同字母的最低次数。 【典型例题1】解下列方程： (1)(x十1)2=6x+6: (2)x2+3=3(x+1). 思路点拨：(1)先把方程变形为(x十1)2一6(x十1)=0，然后利用因式分解法解方程， (2)可先对方程进行去括号、移项、化简，然后提取公因式，再根据“两式相乘积为0，这两式中至少有一式 值为0”来解题. 解：(1)因式分解，得(x十1)(x十1一6)=0， 所以x+1=0或x十1一6=0， 即x1=-1,x2=5. (2)整理，得x2+3=3x十3， 即x2-3x=0, 因式分解，得x(x一3)=0， 所以x1=0,x1=3. 【跟踪练习1】 用因式分解法解方程： (1)3x(x-1)=2(1-x): (2)2x(x-1)=3(x-2)+3. 知识点二平方差公式法解一元二次方程 a2-6= 【典型例题2】解下列方程： (1)(x+3)2-16=0: (2)(2x-1)2=(3-x)2 思路点拨：(1)把(x十3)看成一个整体，运用平方差公式计算； (2)先移项，然后利用平方差公式对等式的左边进行因式分解，最后来解方程， 解：(1)由原方程，得(x十3十4)(x十3一4)=0， 则x十3十4=0或x十3一4=0， 解得x1=一7，x2=1, 32 第二十一章一元二次方程 预习篇 (2)由原方程，得(2x一1)2一(3一x)2=0, (2x-1+3-x)(2x-1-3+x)=0, 即(x+2)(3x-4)=0, 则x十2=0或3x一4=0， 解得五=-2=学 【跟踪练习2】 用因式分解法解方程： (1)(x+2)2-4(x-3)2=0: (2)(3x-1)2=4(x十3)2. 治学法指导4Q 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)整理方程，使其右边为0： (2)将方程左边分解为两个一次因式相乘的积： (3)令每一个一次因式为0，得到两个一元一次方程： (4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 五自主检测4紧 一、选择题 1.一元二次方程x2=2x的根为 A.x=0 B.x=2 C.x=0或x=2 D.x=0或x=一2 2.一元二次方程x(x一2)=x一2的解是 A.x1=x2=0 B.x1=x3=1 C.x1=0,x=2 D.x1=1,x2=2 3.如果二次三项式x2+x+q能分解成(x+3)(x一1)的形式，则方程x2+px+q=0的两个根为 () A.x1=-3,x2=1 B.x1=-3,x2=-1 C.x1=3,x2=-1 D.1=3,x2=1 4.方程2(x一3)2=8的根是 ( A.x1=2,x2=-2 B.x1=5,x2=1 C.x1=-5,x2=-1 D.x1=-5,xg=1 二、填空题 5.方程2(x-3)2=x2-9的解是 6.当x= 时，代数式x2-3x比代数式2x2-x-1的值大2. 三、解答题 7.用因式分解法解方程： (1)x2+4x=0: (2)2x(x-3)=x-3: 33 假期母成器 ·数学·九年级·上 (3)4(x+3)2-9(x-3)2=0. 8.小亮在进行解一元二次方程的练习时，遇到这样一个方程：(x一5)严=10一2x,下面是他的解法： (x-5)2=-2(x-5),第-步； x-5=-2,第二步： x=3,第三步. ①填空：小亮是在第 步开始出现错误的，这一步错误的原因是 ②请给出该方程正确的求解过程. 9.三角形的两边长为3和7，第三边的长是方程x(x一7)一10(x一7)=0的一个根，求这个三角形的周长， "21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 X学习目标权g4Q.一 1.回忆分式的加减乘除运算，读懂一元二次方程的根与系数的关系的推导过程. 2.能运用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题， s知识点讲解224g 知识点一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程ax2十br十c=0(a,b,c为已知数，a≠0,6-Aac≥0)的 两个实数根为1，x2,则十x= x1·x2= 【典型例题】设x1,x2是方程2x2一8x+5=0的两个根，不解方程，求下列各式的值： +,2十 思路点拔：由根与系数的关系，得十=4，函·=号 解：由题意，得十=4函·-受 ①3+-国+)-号×410 34x1=1十√3，=1一√3，第五步。 9.解：(1)换元 (2)设x2■y,那么原方程可化为5y2一y一6=0， 解得1=3，为=一2. 当y=3时，x2=3,x=士3： 当y=一2时，x2=一2，不符合题意含去. ,'原方程的解为1=√3，x1=一√3， 21.2.2公式法 知识点讲解 知识点一 2.(1)>0(2)两个相等的实数根(3)<0 【跟踪练习1】 1.B 2.D【解析】：方程有两个实数根， ,'.根的别别式△一b一4ac■16一4k≥0且k≠0， 即k≤4且≠0.故选D. 3.证明：△=[-(m一1)]2-4×1×(m一2) =m2一2m十1一4m十8=m2一6m十9=(m一3)2≥0， 无论m取何值，方程总有实数根 知识点二 c=-b吐F-4a 2a 【跟踪练习2】 1.D 2.解：(1)a=1,b=-1,c=-2, ∴2-4ae=(-1)2-4×1×(-2)=9>0. x=-b吐-4a=1±_1士3 2a 2×12 ∴=2=-1 (2)方程整理，得x2一x一6=0， .a=1,b=-1,c=-6. .b2-4ac=(-1)2-4×1×(-6)=25>0. “x=-b生-4@4=-(-1D±5 2 x1=3,x2=-2. (3)方程整理，得4x2-1=0, a■4，b=0,c■-1. .-4ac=16>0. “x=二吐B4c=吉去4 2a -- 自主检测 1.A2.B3.C 4.B【解析】将x■0代入方程，得m2一3m+2■0，由求根公 式解得m=1或2.又因为方程是关于x的一元二次方程， 所以m≠1.所以m=2.故选B 5.4x2-3x+5=0 6.a:=2+√1T,a:=2-√T 7.0【解析】根据题意，得△=1°-4（一1）=-4k+5≥0， 解得长号，且1， k的最大些数值为0. 8.直角【解析】：关于x的一元二次方程(a十c)x2十2bx十 (a一c)=0有两个相等的实数根， .△=0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0..a2=+c2. ,△ABC是直角三角形， 9.解：x(x一3)=4(x一1)， .x2-7x十4=0. a=1,b=-7,c=4, .b-4ac=(-7)2-4X1×4=33>0. x=-吐4a_7±33 2a 2 即7什压=7二 2 2 10.解：(1)方程有两个不相等的实数根， ,.b一4ae>0,即9-4m>0. 解得m<是。 (2)方程有两个相等的实数根， .-4ac=0,即9一4m=0. 9 解得m= 六方程为2-3x+号=0， 3 x1=x4=2 21.2.3因式分解法 知识点讲解 知识点一 1.两个一次式的乘积 【跟踪练习1】解：(1)3x(x一1)=2(1一x), ,3x(x-1)+2(x一1)=0. .(x-1)(3x+2)=0. .x-1■0或3x十2=0 六西=1，=-2 (2)2x(x-1)=3(x-2)+3, .2x(x-1)=3(x-1). .(x-1)(2x-3)=0. .x-1=0或2x-3=0 解得=1：函=是 知识点二(a+b)(a一b) 【跟踪练习2】解：(1)，(x十2)2一4(x一3)2=0， .[(x+2)+2(x-3)][(x+2)-2(x-3)]-0, 即(3x-4)(-x十8)=0. 则3x一4=0或一x十8=0 解得一号4-8。 (2)方程变形为(3x-1)2-4(x十3)2=0. .(3x-1+2x+6)(3x-1-2x-6)=0. 即5(x+1)(x-7)=0. 则x+1=0或x一7=0. 解得x1=一1，x2=7, 自主检测 1.C2.D3.A 4.B【解析】由原方程，得(x一3)3一4=0，则(x一3一2)(x一3 十2)=0，脚x一5=0或x一1=0.解得x=5,x1=1.故选B 5.x=3,x2=9 6.一1【解析】由题意，得x2一3x一(2x2一x一1)=2，可得 -x2-2x-1=0,.-(x+1)=0.∴x=-1. 7.解：(1)由原方程，得x(x十4)=0， 则x=0或x十4=0， 解得x1=0,x1=一4. (2)由原方程，得2x(x一3)一(x一3)=0， .(x-3)(2x-1)=0. 则x-3=0或2x一1=0 解得五=3，=分 (3)由原方程， 得[2(x十3)-3(x-3)][2(x+3)+3(x-3)]=0, .2(x十3)-3(x-3)=0或2(x十3)+3(x-3)=0. ∴.x1=15,x4=0.6. 8,解：①二方程两边除以x一5时，x一5的值可能为0 ②正确的求解过程如下： (x-5)3=10-2x, .(x-5)2=一2(x-5). .(x-5)2+2(x-5)=0. 则(x-5)(x-3)=0. .x-5=0或x一3=0.解得x=5,x2=3. 97 9.解：x(x-7)一10(x一7)=0，.(x-7)(x-10)=0. x-7=0或x-10=0..x=7,x=10. 当x=10时，3十7■10不符合题意： 当x■7时，7一3<7<7十3符合题意 .周长为3+7+7=17， ·21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识点讲解 知识点一占 【跟踪练习】 1解：低题意，得五十=号·=一是 (1)x2+x12=(n十x)2-2x1·x -()-2x()翠 (2)-2=(x1十)-41·x =(受)-4×()碧则-子 29 (3)+2=十x 、29 11·xg 5 101 一2 2.解：解法一：将方程的根x=一2代人方程， 得2×(-2)2十m·(-2)4=0,.m=2. 将m=2代入方程，得2x十2x一4=0， 即x2+x-2=0. 解得x1=一2，x=1. 即方程的另一根为1. 解法二：设方程另一根为x,则根据一元二次方程根与系数 的关系，得-2+x=一受-2红=之 解得x=1,m=2. 自主检测 1.B 2.D【解析】关于x的方程x一4x十m=0有一个根为 一1，设另一根为a,则一1十a=4,解得a=5,即另一根为 5.故速D. 3.B 4.A【解析】由题意，得1十x1=一b,1x=一4，.1x x1一x8=x1x约-(x1十x1)=一4十b=一7.b=一3. 故选A. 5.5【解析】(1十x)十x=十十=十十： 由一元二次方程根与系数的关系可知，西1十x=4,面=1， 所以x1(1十x2)十x1=4十1=5. 6.解：曲根与系数的关系：得工十=1，出=一子 (1)原式=x12x23十2x3+2x2+4 =(x)2+2(x1+x2)+4 =(x1x:)2+2[(x1+x)2-2x1x]十4 -()+2[-2x()门+4-婴 (2)原式=4x1x+2x1+2x1+1 =4红1x+2(x1十)+1 =4×(-名)+2×1+1=1 (3)原式=x2-2x1十x =(十x)1-4x1x1 =-4×()=8 7.解：(1)由题意可知，△=（一4）一4×1×（一2k十8）≥0， 整理，得16十8k一32≥0， 解得k≥2. .的取值范围是k≥2. (2)1°x1十x1x22=1x[(x十x1)2-2x1x2]=24, 由一元二次方程根与系数的关系可知x十x=4, 98 -2k十8， .(-2k+8)[42-2(-2k+8)]=24. 整理，得k一4k十3=0， 解得k1=3,k2=1. 又由(1)可知k≥2， .是的值为3. 8.解：(1)证明：△=m2一4×1×(m一2) =m2一4m十8 =(m一2)2+4>0. 无论m取何实数，原方程总有两个不相等的实数根 (2)不存在. 理由：，，是关于x的一元二次方程2十mx十m一2■0 的两个同号的实数根， .x1十x2=一m,x1·x3=m一2>0. x2十x3十m(x十x)=(x十五)-2x·x十m(x十) =m2-2(m一2)-m2=一2(m一2)<0. ,m2+1>0, 不存在m,使x,3十x:十m(x1十x)=m2十1成立 9.解：(1)，四边形ABCD是菱形， .AB=AD. 又：AB,AD的长是关于x的方程x-mx+受-子=0 的两个实数根， 4=(-m)-4X(登-青)=(m-0=0. .m=1. 当m为1时，四边形ABCD是菱形. 当m=1时，原方程为2-x+}=0,即（红-）=0， 部得五一一名 菱形ABCD的边长是 (2)设AD的长为n. 则1+a=m,1A-空一子 1 5AD=2 :平行四边形ABCD的周长是2×(1+)=3. 21.3实际问题与一元二次方程 知识点讲解 【跟踪练习1】10【解析】设被群一共有x人，则每人收到 (x一1)个红包，依题意，得x(x一1)=90，解得x1=10, 工=一9（合去）.故孩群一共有10人. 知识点二增长（降低）前的数据增长率或降低率增长 降低 【跟踪练习2】D 知识点三审设列解验客 【最踪练习3】解：(1)设小路的究为xm, 根据题意，得(12-2x)(16-2x)=之×12×16， 整理，得x2-14x十24=0， 解得x1=2,x1=12(舍去). ∴.小路的宽为2m,小颖的结果不对 (2)阴影部分的面积实际上是一个整圆的面积. "xx2=2×12X16x=4V25.7 (3)方案不唯一，如图所示，花园是菱形 16m 12