（九上预习篇）第21章 21.2.1 配方法-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（人教版）

方案二：如图② :四边形ABCD为正方形， ∴.CB=CD,CA平分∠BCD, '.∠BCP=∠DCP 在△CBP和△CDP中， CB=CD. ∠BCP=∠DCP CPCP, '.△CBP≌△CDP(SAS). ∴.PB=PD,∠CBP=∠CDP ∠BPE=90°，∠BCD=90° .∠PBC+∠CEP=180 :∠CEP+∠PED=180°， ,'.∠PBC=∠PED. .∠PED=∠PDE .PD-PE..PB-PE. (2)如图③，PB=PE还成立 D N 图③ 理由：如图，过点P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N ,四边形ABCD为正方形， ,·∠BCD=90°，AC平分∠BCD .PM1BC,PN⊥CD. ,四边PMCN为矩形，且PM=PN .∠MPN=90 .'∠BPE=90°，∠BCD=90°， ∴.∠BPM+∠MPE=90°，∠MPE+∠EPN=90° ∴.∠BPM=∠EPN, 在△PBM和△PEN中， ∠PMB=∠PNE, PM-PN. ∠BPM=∠EPN, ,.△PBM2△PEN(ASA). .PB=PE. 预习篇九年级上册 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识点讲解 知识点一 一个、2 【跟踪练习1】B 【跟踪练习2】一2 知识点二ax2+bx十cax2 a bx b c 【跟踪练习3】B 知识点三未知数 【跟踪练习4】 1.D 2.A【解析】：m是方程x2一2x一1=0的根， m3-2m-1=0.∴.m2-2m=1. 1m-m=1-(m2-2m）=1-=故选A 知识点四 【跟踪练习5】16一(4x×2-x2)=9或(4一x)2=9 自主检测 1.D2.C 3.C【解析】把x=a代入x-3x-5=0,得a-3a一5=0. a2-3a=5.∴.8-d2+3a=8-(a2-3a)=8-5=3.故选C 4.C 5.2x2+12x+13=06.m≠1 7.2x2+35x-150=0【解析】设彩纸的宽度为xcm, 96 则由题意列出方程为(15+2x)(20十2x)=20×15×2. 整理，得2x2+35x一150-0. 8.解：1)：方程(m-3》x2-1+6m一2》x十5=0是一元次方程， .m2一7=2且m一3≠0.解得m=一3. 故m为一3时，方程是一元二次方程. (2):方程(m-3)x-1十(m-2)x十5-0是一元一次方程， .m一3=0或m2一7=1或m2一7=0且m一2≠0. 解得m3或m■土2√2或m=土√万. 故m为3或士2√2或士7时，方程是一元一次方程 9,解：把x=n代入方程，得m2一4n一5=0，即mr2一4m=5, 将上式代入已知等式，得5十m=6,解得m=1. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 知识点讲解 知识点一x=p(p≥0)(x十m)2=p(n≠0，p≥0) 【跟踪练习1】解：(1)，x2一9=0， .x2=9..x=士3.∴.x1=3,x3=-3 (2),4(x-2)2-36=0, .(x-2)2=9..x-2=±3. .x1=5,xg=-1, 知识点二配方法一元一次 【跟踪练习2】 1.B2.D 3.解：(1)x2-5x+1=0,.x2-5x=-1. r-+(受)’-1+草(e-吾)广-头 2 2 (2)2x2-4x-1=0, 六-2x-z=0. -2= ∴-2x+1=+1 -1少-是-1±9-1+9-1- 自主检测 1.A2.B3.C 4.5【解析】：x2-6x十1=0， .x2-6x=-1. ∴.x2-6x+9=-1+9,即(x-3)2=8. pm一3，q=8, 则p十q=一3十8=5. 5.1±√5 6.2【解析】原方程可化为(2x一1)■0， 所以2x一1=0，即2x=1, 将2x看作一个整体代入代数式求值，则原式=1十1=2 7,解：(1)方程整理，得z2一4x=1, 配方，得x2一4x+4=5,即(x-2)=5, 开方，得x一2=士√5， 解得=2+5,1=2-V5. (2)方程整理，得(x一1)2=8， 开方，得x-1=土2√2， 解得x1=1+2√2，x=1一2√2. (3)方程整理，得x2一2x十1=0， 配方，得(x一1)■0， 解得x1=x2=1. 8.解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第二 步开始出现错误。 (2)x2一2x=2,第一步； x2-2x+1=2十1，第二步 (x-1)2=3,第三步； x一1=土√3，第四步： x1=1十√3，=1一√3，第五步。 9.解：(1)换元 (2)设x2■y,那么原方程可化为5y2一y一6=0， 解得1=3，为=一2. 当y=3时，x2=3,x=士3： 当y=一2时，x2=一2，不符合题意含去. ,'原方程的解为1=√3，x1=一√3， 21.2.2公式法 知识点讲解 知识点一 2.(1)>0(2)两个相等的实数根(3)<0 【跟踪练习1】 1.B 2.D【解析】：方程有两个实数根， ,'.根的别别式△一b一4ac■16一4k≥0且k≠0， 即k≤4且≠0.故选D. 3.证明：△=[-(m一1)]2-4×1×(m一2) =m2一2m十1一4m十8=m2一6m十9=(m一3)2≥0， 无论m取何值，方程总有实数根 知识点二 c=-b吐F-4a 2a 【跟踪练习2】 1.D 2.解：(1)a=1,b=-1,c=-2, ∴2-4ae=(-1)2-4×1×(-2)=9>0. x=-b吐-4a=1±_1士3 2a 2×12 ∴=2=-1 (2)方程整理，得x2一x一6=0， .a=1,b=-1,c=-6. .b2-4ac=(-1)2-4×1×(-6)=25>0. “x=-b生-4@4=-(-1D±5 2 x1=3,x2=-2. (3)方程整理，得4x2-1=0, a■4，b=0,c■-1. .-4ac=16>0. “x=二吐B4c=吉去4 2a -- 自主检测 1.A2.B3.C 4.B【解析】将x■0代入方程，得m2一3m+2■0，由求根公 式解得m=1或2.又因为方程是关于x的一元二次方程， 所以m≠1.所以m=2.故选B 5.4x2-3x+5=0 6.a:=2+√1T,a:=2-√T 7.0【解析】根据题意，得△=1°-4（一1）=-4k+5≥0， 解得长号，且1， k的最大些数值为0. 8.直角【解析】：关于x的一元二次方程(a十c)x2十2bx十 (a一c)=0有两个相等的实数根， .△=0，即(2b)2-4(a+c)(a-c)=0..a2=+c2. ,△ABC是直角三角形， 9.解：x(x一3)=4(x一1)， .x2-7x十4=0. a=1,b=-7,c=4, .b-4ac=(-7)2-4X1×4=33>0. x=-吐4a_7±33 2a 2 即7什压=7二 2 2 10.解：(1)方程有两个不相等的实数根， ,.b一4ae>0,即9-4m>0. 解得m<是。 (2)方程有两个相等的实数根， .-4ac=0,即9一4m=0. 9 解得m= 六方程为2-3x+号=0， 3 x1=x4=2 21.2.3因式分解法 知识点讲解 知识点一 1.两个一次式的乘积 【跟踪练习1】解：(1)3x(x一1)=2(1一x), ,3x(x-1)+2(x一1)=0. .(x-1)(3x+2)=0. .x-1■0或3x十2=0 六西=1，=-2 (2)2x(x-1)=3(x-2)+3, .2x(x-1)=3(x-1). .(x-1)(2x-3)=0. .x-1=0或2x-3=0 解得=1：函=是 知识点二(a+b)(a一b) 【跟踪练习2】解：(1)，(x十2)2一4(x一3)2=0， .[(x+2)+2(x-3)][(x+2)-2(x-3)]-0, 即(3x-4)(-x十8)=0. 则3x一4=0或一x十8=0 解得一号4-8。 (2)方程变形为(3x-1)2-4(x十3)2=0. .(3x-1+2x+6)(3x-1-2x-6)=0. 即5(x+1)(x-7)=0. 则x+1=0或x一7=0. 解得x1=一1，x2=7, 自主检测 1.C2.D3.A 4.B【解析】由原方程，得(x一3)3一4=0，则(x一3一2)(x一3 十2)=0，脚x一5=0或x一1=0.解得x=5,x1=1.故选B 5.x=3,x2=9 6.一1【解析】由题意，得x2一3x一(2x2一x一1)=2，可得 -x2-2x-1=0,.-(x+1)=0.∴x=-1. 7.解：(1)由原方程，得x(x十4)=0， 则x=0或x十4=0， 解得x1=0,x1=一4. (2)由原方程，得2x(x一3)一(x一3)=0， .(x-3)(2x-1)=0. 则x-3=0或2x一1=0 解得五=3，=分 (3)由原方程， 得[2(x十3)-3(x-3)][2(x+3)+3(x-3)]=0, .2(x十3)-3(x-3)=0或2(x十3)+3(x-3)=0. ∴.x1=15,x4=0.6. 8,解：①二方程两边除以x一5时，x一5的值可能为0 ②正确的求解过程如下： (x-5)3=10-2x, .(x-5)2=一2(x-5). .(x-5)2+2(x-5)=0. 则(x-5)(x-3)=0. .x-5=0或x一3=0.解得x=5,x2=3. 97假期母成器 RJ·数学·九年级·上 9.已知x=n是关于x的一元二次方程mx2一4x一5=0的一个根，若mn2一4m十m=6,求m的值. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 学习目标g4Q 1.知道直接开平方法解一元二次方程是根据平方根的意义： 2.根据因式分解的完全平方公式法理解配方法解一元二次方程的过程. 因知识点讲解24ywag, 知识点一用直接开平方法解一元二次方程 形如 或 的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程. 【典型例题1】用直接开平方法解方程： (13x2-}-0,(2x+5)=5:(3)(x-3-9=0,43(2-12=27. 思路点拨：先将方程化为x2■p或(mx十m)2一p的形式，然后利用平方根的意义直接开平方即可. 解：)移项，得3x=子系数化为1，得x=号∴=号=一子 (2)直接开平方，得x+5=士5.∴x+5=√5或x+5=-√5. ∴x1=-5+5,x2=-5-V5. (3),(x-3)2-9=0,∴.(x-3)2=9. x-3=±3..x1=6,x2=0. (4):3(21-1)2=27,∴.(2t-1)2=9.∴.2t-1=±3， 即2t-1=3或2t-1=-3.41=2,=-1. 3- 易混易错点：解得一)后，月直接开平方法应得出西- 3,初次学习一元二次方程的解法，要 注意防止遗漏负根。 【跟踪练习1】 用直接开平方法解方程： (1)x2-9=0: (2)4(x-2)2-36=0. 26 第二十一章一元二次方程 预习篇 知识点二用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做 ,配方是为了降次，把一个一元二次方 程转化成两个」 方程来解。 【典型例题2】用配方法解方程： (1)x2+6x-1=0:(2)x2-x=3x-1:(3)3x2-12x=-12. 思路点拨：按照“一移，二除，三配，四开”的步骤进行解题， 解：(1)，x2+6x-1=0, .x2+6x=1. ∴.x2+6x+9=10. .(x+3)2=10. .x=-3士10 x1=-3+√10，x=-3-√10 (2),x2-x=3x-1, .x2-4x=-1. .x2-4x+4=3. .(x-2)2=3. ∴x-2=士3. ∴x1=2十√5，x2=2-√3. (3),3.x2-12x=-12, .x2-4x=-4. .x2-4x+4=-4+4. .(x-2)2=0. .x一2=0，即x1=x2=2. 方法技巧：(1)配方法的一般步骤可简记为一移，二除，三配，四开：(2)用配方法解一元二次方程，实质就是 对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需形式.配方是为了降次，利用平方根的意义把一个一元二次 方程转化为两个一元一次方程来解。 【跟踪练习2】 1.用配方法解方程x2一5x=6,应把方程两边同时 A加上号 B加上空 C减去号 D.减去约 2.用配方法解方程x2一6x一5=0时，配方结果正确的是 A.(x-3)2=4 B.(x-6)2=41 C.(x+3)2=14 D.(x-3)2=14 3,用配方法解方程： (1)x2-5x+1=0: (2)2x2-4x-1=0. X学法指导0. 1.如果方程能化成x2=p(p≥0)的形式，那么可得x=士√历：如果方程能化成(nx十m)2=(n≠0，≥0)的形 式，那么x十m=士√币.注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数：②降次的实质 是由一个二次方程转化为两个一元一次方程：③方法是根据平方根的意义开平方. 2.对于二次项系数不是1的一元二次方程，用配方法来解时，可以在方程的两边同时除以二次项系数，把它变 为二次项系数是1的一元二次方程，然后再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将方程的一边化 为完全平方的形式，再用直接开平方法求解. 27 假期8用 RJ·数学·九年级·上 Z自主检测4g 一、选择题 1.方程(x+3)2=4的根是 A.x1=-1,x8=-5 B.x1=1,x2=-5 C.x1=x2=-1 D.x1=-1,xg=5 2.若方程(x一1)2=m十1有解，则m的取值范围是 Am≤-1 B.m≥-1 C.m为任意实数 D.m>0 3.用配方法解一元二次方程x2十2x一2=0时，原方程可变形为 A.(x+1)2=2 B.(x-1)2=2 C.(x+1)2=3 D.(x-1)2=3 二、填空题 4.若一元二次方程x2一6x十1=0可以配方成(x十p)2=q的形式，则代数式p十g的值为 5.当x= 时，代数式3x2-6x的值等于12. 6.已知实数x满足4r-4红十1=0，则代数式2x+的值为 三、解答题 7.解方程： (1)x2-4x-1=0: (2)2(x-1)2-16=0: (3)3x2-2x-3=-2(x-2)2. 8.小明同学解一元二次方程x2一2x一2=0的过程如下： 解：x2-2x=2,第一步； x2-2x+1=2,第二步： (x-1)2=2,第三步； x一1=士√2，第四步： x1=1十√2，x2=1一√瓦，第五步. (1)小明解方程的方法是 ,他的求解过程从第 步开始出现错误： (2)请用小明的方法完成这个方程的正确解题过程. 28 第二十一章一元二次方程 预习篇 9.阅读材料： 为解方程(x2-1)2一5(x2一1)+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2一1=y…①，那么原 方程可化为y2-5y十4=0，解得为=1，y=4. 当y=1时，x2-1=1,x2=2..x=土√2； 当y=4时，x2-1=4,.x2=5..x=士5. ∴.原方程的解为x1=√2，x=一√2，x3=√5,4=一√5. 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程(x2一1)2-5(x2-1)十4=0得到方程①的过程中，利用 法达到了 解方程的目的，体现了转化的数学思想； (2)请利用以上知识解方程x一x2一6=0. 21.2.2公式法 学习目标4g 1.读懂求根公式的推导过程。 2.根据一个实数的平方为非负数理解根的判别式 3.会运用根的判别式判断一个一元二次方程是否有根，会根据一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的 值或取值范围， 4.会利用求根公式解一元二次方程。 知识点讲解g 知识点一一元二次方程根的判别式 1.一般地，式子一4ac叫做一元二次方程a.x2+bx十c=0(a,b,c是已知数，a≠0)根的判别式，通常用希 腊字母“△”表示它，即△=6一4ac. 2.一元二次方程根的情况： (1)当6一4ac时，方程有两个不相等的实数根； (2)当b一4ac=0时，方程有 (3)当b2-4ac 时，方程没有实数根. 方法技巧：(1)使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定a,b,c的值： (2)用判别式可以判断方程根的情况，当△>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根：当△=0时，一 元二次方程有两个相等的实数根：当△<0，一元二次方程没有实数根.反之也成立. (3)当△=b2一4ac=0时，方程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个根. 【典型例题1】当m为什么值时，关于x的方程(m一4)x2+2(m十1)x十1=0有实数根？ 思路点拨：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分m一4=0和m2一4≠0两 种情况讨论. 解：当m一4=0，即m=士2时，2(m十1)≠0，方程为一元一次方程，总有实数根： 当m2一4≠0，即m≠士2时，方程有根的条件： 8-4ac=[2(m+1D]P-4(m-40=8m+20≥0，解得m>-是， 29