（九上预习篇）第21章 21.1 一元二次方程-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（人教版）

方案二：如图② :四边形ABCD为正方形， ∴.CB=CD,CA平分∠BCD, '.∠BCP=∠DCP 在△CBP和△CDP中， CB=CD. ∠BCP=∠DCP CPCP, '.△CBP≌△CDP(SAS). ∴.PB=PD,∠CBP=∠CDP ∠BPE=90°，∠BCD=90° .∠PBC+∠CEP=180 :∠CEP+∠PED=180°， ,'.∠PBC=∠PED. .∠PED=∠PDE .PD-PE..PB-PE. (2)如图③，PB=PE还成立 D N 图③ 理由：如图，过点P作PM⊥BC,PN⊥CD,垂足分别为M,N ,四边形ABCD为正方形， ,·∠BCD=90°，AC平分∠BCD .PM1BC,PN⊥CD. ,四边PMCN为矩形，且PM=PN .∠MPN=90 .'∠BPE=90°，∠BCD=90°， ∴.∠BPM+∠MPE=90°，∠MPE+∠EPN=90° ∴.∠BPM=∠EPN, 在△PBM和△PEN中， ∠PMB=∠PNE, PM-PN. ∠BPM=∠EPN, ,.△PBM2△PEN(ASA). .PB=PE. 预习篇九年级上册 第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 知识点讲解 知识点一 一个、2 【跟踪练习1】B 【跟踪练习2】一2 知识点二ax2+bx十cax2 a bx b c 【跟踪练习3】B 知识点三未知数 【跟踪练习4】 1.D 2.A【解析】：m是方程x2一2x一1=0的根， m3-2m-1=0.∴.m2-2m=1. 1m-m=1-(m2-2m）=1-=故选A 知识点四 【跟踪练习5】16一(4x×2-x2)=9或(4一x)2=9 自主检测 1.D2.C 3.C【解析】把x=a代入x-3x-5=0,得a-3a一5=0. a2-3a=5.∴.8-d2+3a=8-(a2-3a)=8-5=3.故选C 4.C 5.2x2+12x+13=06.m≠1 7.2x2+35x-150=0【解析】设彩纸的宽度为xcm, 96 则由题意列出方程为(15+2x)(20十2x)=20×15×2. 整理，得2x2+35x一150-0. 8.解：1)：方程(m-3》x2-1+6m一2》x十5=0是一元次方程， .m2一7=2且m一3≠0.解得m=一3. 故m为一3时，方程是一元二次方程. (2):方程(m-3)x-1十(m-2)x十5-0是一元一次方程， .m一3=0或m2一7=1或m2一7=0且m一2≠0. 解得m3或m■土2√2或m=土√万. 故m为3或士2√2或士7时，方程是一元一次方程 9,解：把x=n代入方程，得m2一4n一5=0，即mr2一4m=5, 将上式代入已知等式，得5十m=6,解得m=1. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 知识点讲解 知识点一x=p(p≥0)(x十m)2=p(n≠0，p≥0) 【跟踪练习1】解：(1)，x2一9=0， .x2=9..x=士3.∴.x1=3,x3=-3 (2),4(x-2)2-36=0, .(x-2)2=9..x-2=±3. .x1=5,xg=-1, 知识点二配方法一元一次 【跟踪练习2】 1.B2.D 3.解：(1)x2-5x+1=0,.x2-5x=-1. r-+(受)’-1+草(e-吾)广-头 2 2 (2)2x2-4x-1=0, 六-2x-z=0. -2= ∴-2x+1=+1 -1少-是-1±9-1+9-1- 自主检测 1.A2.B3.C 4.5【解析】：x2-6x十1=0， .x2-6x=-1. ∴.x2-6x+9=-1+9,即(x-3)2=8. pm一3，q=8, 则p十q=一3十8=5. 5.1±√5 6.2【解析】原方程可化为(2x一1)■0， 所以2x一1=0，即2x=1, 将2x看作一个整体代入代数式求值，则原式=1十1=2 7,解：(1)方程整理，得z2一4x=1, 配方，得x2一4x+4=5,即(x-2)=5, 开方，得x一2=士√5， 解得=2+5,1=2-V5. (2)方程整理，得(x一1)2=8， 开方，得x-1=土2√2， 解得x1=1+2√2，x=1一2√2. (3)方程整理，得x2一2x十1=0， 配方，得(x一1)■0， 解得x1=x2=1. 8.解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第二 步开始出现错误。 (2)x2一2x=2,第一步； x2-2x+1=2十1，第二步 (x-1)2=3,第三步； x一1=土√3，第四步：第二十一章一元二次方程 预习篇 预习篇 九年级上册 第二十一章一元二次方程 衔接思维导图g以… 一元一次方程的概念及其 元二次方程的概念及其 般形式 股形式 旧知识 一元一次方程的解法 元一次方程 一元二次方程 一元二次方程的解法 新知识 实际问题与一元一次方程 实际问题与一元二次方程 21.1一元二次方程 学习目标g4Q… 1.了解一元二次方程的概念并掌握一元二次方程的一般形式ax2十bx十c=0(a≠0)，会判断二次项的系数、 一次项的系数、常数项 2.会判断一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题. 3.能够从实际问题中抽象出方程知识 s知识点讲解g4eg, 知识点一一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有 未知数（一元），并且未知数的最高次数是 (二次) 的方程，叫做一元二次方程。 【典型例题1】下列关于x的方程中是一元二次方程的是 .（只填序号) (1)x2+1=0:(2)x2+1 z+=2:(3)x2+y+1=0(4)x3-xx+1=0:(5)2x(3x+5)=6x2+4: (6)(x-2)(x-3)=5:(7)ax2+bx+c=0. 思路点拔：判断一个方程是否为一元二次方程，关键是要同时满足四个条件：①整式方程：②只含有一个未 知数：③含未知数的项的最高次数是2：④二次项系数不为0，以上四个条件缺一不可，解答时根据以上条 件对方程逐一判断即可 答案：(1)(6) 易混易错点：(1)未经化简后判断，误以为(5)是一元二次方程：(2)忽视二次项系数不为0的规定，误以为 (7)是一元二次方程. 【跟踪练习1】 下列方程中，是一元二次方程的有 () ①5x=x②(x2-3)2-6=0:③x=1:④7x(x-2)=7x:⑤x2+1-2=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【典型例题2】关于x的方程(m一1)x+1+3x一2=0是一元二次方程，则m的值为 思路点拨：根据一个方程是一元二次方程，则不但其二次项次数为2，同时二次项系数不为0，得出m十 1=2,且m一1≠0，然后求出m的值即可. 解析：：关于x的方程(m-1)xm+1十3x一2=0是一元二次方程，∴.m+1=2,且m-1≠0.解得m=一1. 23 假期8用 RJ·数学·九年级·上 答案：一1 易混易错点：容易忽视二次项系数不为0的限制条件，错误求得m的值为士1. 【跟踪练习2】 若方程(m一2)xm2-2+2x一1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 知识点二一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： =0(a≠0)，这 种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中 是二次项， 是二次项系数： 是一次项， 是一次项系数： 是常数项 【典型例题3】把一元二次方程2x(x十1)=3x2一3化成一般式，并写出方程中的各项及各项的系数. 思路点拨：先通过去括号、移项把方程化成一般形式，再确定二次项系数、一次项系数和常数项， 解：2x(x十1)=3x2一3，方程整理，得x2一2x一3=0，则二次项为x2,二次项系数为1；一次项为一2x,一次 项系数为一2：常数项为一3. 易混易错点：(1)各项系数均包括前面的符号，例如本例中一次项系数为一2：(2)确定一元二次方程各项系 数的前提条件是该方程是一殷形式，因此确定各项系数前需要先化为一般形式. 【跟踪练习3】 将方程3x一2x=6化为一般形式，若二次项系数为3，则一次项系数和常数项分别为 A.-2,6 B.-2,-6 C.2,6 D.2,-6 知识点三一元二次方程的根 使方程左右两边相等的 的值，叫做这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次 方程的根。 【典型例题4】m是方程x2十x一1=0的根，则式子3m2+3m一2025的值为 ( A.-2022 B.2022 C.-2023 D.2023 思路点拨：将x=m代入一元二次方程x2十x一1=0中，再对3m2十3m变形后，整体代入求解. 解析：，m是方程x2十x一1=0的根， .m2+m-1=0..m2+m=1. 原式=3m2+3m-2025=3(m2+m)-2025=3×1-2025=-2022. 答案：A 方法技巧：求关于方程的根的代数式的值时，如果可以求得字母的值，可以把代数式化简后，代入数值计 算；如果不能求得字母的值，多用整体代入法求值。 【跟踪练习4】 1.下列各数中，是方程x2+4x-5=0的解的是 A.-1 B.5 C.4 D.-5 2.若m是方程x-2x-1=0的根，则1十m-立r的值为 A号 B.1 c D.2 知识点四根据实际问题列一元二次方程 根据实际问题列一元二次方程的一般步骤： 1.审题.理解题意，弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的等量关系是什么。 2.设元（未知数. (1)直接设未知数： (2)间接设未知数 3.用含未知数的代数式表示相关的量. 4.寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。 【典型例题5】如图，在宽为20m,长为30的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部 分作为耕地，耕地的面积为500m2.设路宽为xm,列出方程，并将其化成一元二次方程的 一般形式. 思路点拨：设路宽为xm,耕地的长应该为(30一x)m,宽应该为(20一x)m,那么根据耕地的面积为500m,即 可得出方程 24 第二十一章一元二次方程 预习篇 解：设路宽为xm,则耕地的长为(30-x)m,宽为(20一x)m, 根据面积公式可得(30-x)(20-x)=500, 整理，得x2-50.x十100=0. 【跟踪练习5】 如图，将边长为4的正方形，沿两边各剪去一个边长为x的矩形，剩余部分的面积为9，可列出方程为 学法指导240 1判断一个方程是否是一元二次方程，首先将方程化为一般形式，然后再看这个方程是否同时满足以下三点： (1)方程是整式方程：(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2，可以化简为ax2十bx十c=0(a≠0) 的形式.其备以上三个条件的方程是一元二次方程. 2.二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须 先将方程化为一般形式，另外，在确定各项系数时，千万不要漏掉了各项系数的符号.一般情况下将方程的 二次项系数化为正数 a自主检测4 一、选择题 1.下列选项中是一元二次方程的是 A.x-2y=3 B.2(x+1)=3 C.2x2+x-4 D.x2+3x-4=0 2.已知x=一1是方程mx2十x=0的根，则必有 A.m十n=0 B.m2十n=0 C.m-n=0 D.m2-n=0 3.如果a是一元二次方程x2-3x一5=0的一个根，那么代数式8一a2+3a的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 4.若关于x的一元二次方程(a十2)x2-3ax十a一2=0的常数项为0，则a的值为 A.0 B.-2 C.2 D.3 二、填空题 5.将一元二次方程3(x+2)2=(x+1)(x-1)化为ax2+bx十c=0(a≠0)的形式为 6.若mx2十6x=x2一5是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 7.如图，在长为20cm,宽为15cm的矩形画面的四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面 积相等，设彩纸的宽度为xcm,则列方程整理成一般形式为 三、解答题 8.方程(m-3)x-1+(m2)x+5=0, (1)m为何值时，方程是一元二次方程； (2)m为何值时，方程是一元一次方程， 25 假期母成器 RJ·数学·九年级·上 9.已知x=n是关于x的一元二次方程mx2一4x一5=0的一个根，若mn2一4m十m=6,求m的值. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 学习目标g4Q 1.知道直接开平方法解一元二次方程是根据平方根的意义： 2.根据因式分解的完全平方公式法理解配方法解一元二次方程的过程. 因知识点讲解24ywag, 知识点一用直接开平方法解一元二次方程 形如 或 的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程. 【典型例题1】用直接开平方法解方程： (13x2-}-0,(2x+5)=5:(3)(x-3-9=0,43(2-12=27. 思路点拨：先将方程化为x2■p或(mx十m)2一p的形式，然后利用平方根的意义直接开平方即可. 解：)移项，得3x=子系数化为1，得x=号∴=号=一子 (2)直接开平方，得x+5=士5.∴x+5=√5或x+5=-√5. ∴x1=-5+5,x2=-5-V5. (3),(x-3)2-9=0,∴.(x-3)2=9. x-3=±3..x1=6,x2=0. (4):3(21-1)2=27,∴.(2t-1)2=9.∴.2t-1=±3， 即2t-1=3或2t-1=-3.41=2,=-1. 3- 易混易错点：解得一)后，月直接开平方法应得出西- 3,初次学习一元二次方程的解法，要 注意防止遗漏负根。 【跟踪练习1】 用直接开平方法解方程： (1)x2-9=0: (2)4(x-2)2-36=0. 26