（八下复习篇）第17章 勾股定理-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（人教版）

假期：器 RJ·数学·八年级·下 第十七章 勾股定理 S知识点回顾突破2gR 知识点一勾股定理及其应用 知识点二勾股定理的逆定理及其应用 1.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现 3.如图是一块四边形木板，其中AB=16cm,BC= 有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC, 24cm,CD=9cm,AD=25cm,∠B=∠C-90°. BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB+CD= 李师傅找到BC边的中点P,连接AP,DP,发现 △APD是直角三角形，请你通过计算说明理由. 2.如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm,BC=4cm 点D在AC上，AD=1cm,点P从点A出发，沿 AB匀速运动：点Q从点C出发，沿C→B→A→C 的路径匀速运动.两点同时出发，在B点处首次相 遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm,并沿B→ C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继 续沿原路径匀速运动，两点在D处再次相遇后停 止运动，设点P原来的速度为xcm/s (1)点Q的速度为 cm/s:(用含x的代数 4.已知△ABC的三边分别为2一1,2k,k2+1(k>1), 式表示) 求证：△ABC是直角三角形. (2)求点P原来的速度. 章末自主测评 (时间：60分钟满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共24分） 3.如图，在数轴上，点A,B表示的数分别为0,2，BC 1.用下列各组数据为边长作三角形，其中不能组成 ⊥AB于点B,且BC=1.连接AC,在AC上截取 直角三角形的是 ( CD=BC,以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交 A.9,12,15 B.1,1w2 线段AB于点E,则点E表示的实数是() C.5,12,13 D.1,2,3 2.Rt△ABC中，斜边BC=2,则AB+AC+BC的 值为 ( A.8 B.4 A.2W5 B.5+1 C.6 D.无法计算 C.2 D.5-1 4 第十七章勾股定理 复习篇 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=9,BC= 原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢 12,则点C到AB的距离是 触地面处离竹根3尺，试问折斯处离地面多高？ 答：折断处离地面 尺高 A36 C.9 D.33 第4题图 第5题图 5.如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线 11.如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度 折叠，则重叠部分的面积为 () 数为 A.4 B.3.5 C.2.5 D.2 6.在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,AD平分 ∠BAC交BC于点D,那么点D到AB的距离是 () D 12.有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角 A.4.8 B.4 C.3 形成为直角三角形，则第三边长为： 7.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计 13.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5m,高为3m, 的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积 计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少 分别是1,2,3,4,5，选取其中三块（可重复选取）按 需要 m. 图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最 大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别 是 D A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 北 第13题图 第14题图 东 14.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都 是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正 方形A,B,C,D的边长分别是3,5,2,3，则最大 第7题图 第8题图 正方形E的面积是 8.如图，从笔直的公路1旁一点P出发，向西走6 三、解答题（共58分） km到达l,向北走6km也到达.下列说法错误的 15.(6分)如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,AC= 是 20,BC=15,AD=16,求AB的长. A从点P向北偏西45走3km到达1 B.公路1的走向是南偏西45° C.公路l的走向是北偏东45 D.从点P向北走3km后，再向西走3km到达l 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB-AC=2,BC 8,则AB的长是 10.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠 定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中 记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵 地，去本三尺.问折者高几何？”题意是一根竹子 假期母刷器 RJ·数学·八年级·下 16.(8分)如图，某港口O位于南北延伸的海岸线18.(10分)为了绿化环境，我县某中学有一块四边形 上，东面是大海.“远洋”号、“长峰”号两艘轮船同 的空地ABCD,如图所示，学校计划在空地上种 时离开港口O,各自沿固定方向航行，“远洋”号 植草皮，经测量，∠ADC=90°，CD=3米，AD= 每小时航行12海里，“长峰”号每小时航行16海 4米，AB=13米，BC=12米. 里，它们离开港口1小时后，分别到达A,B两个 (1)求出空地ABCD的面积； 位置，且AB=20海里，已知“远洋”号沿着北偏 (2)若每种植1平方米草皮需要200元，问总共 东60°方向航行，请判断“长峰”号航行的方向，并 需投入多少元？ 说明理由， 19.(12分)勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多 样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华 突发灵感，给出了如图所示的拼图： 两个全等的直角三角板ABC和直角三角板 DEF,顶点F在BC边上，顶点C,D重合，连接 17.(10分)如图，在笔直的高速路旁边有A,B两个 AE,BE.设AB,DE交于点G.∠ACB=∠DFE 村庄，A村庄到公路的距离AC=8km,B村庄到 =90°，BC=EF=a,AC=DF=b(a>b),AB= 公路的距离BD=14km,测得C,D两点的距离 DE=c.请你回答以下问题： 为20km,现要在CD之间建一个服务区E,使得 (1)填空：∠AGE= °，Sg边形ADE= c2 A,B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长. (2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并 以此为基础证明勾股定理， C(D) 6 第十七章勾股定理 复习篇 20.(12分)如图，公路MN和公路PQ在P处交汇， 且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP-160m, 汉数学故事4 假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪声 勾股定理的故事 影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶 古代的中国人相信天是國的，地是方的，就像我 时，学校是否会受到噪声影响？并说明理由，如 们今天站在一望无际的苹原上看到的一样.那时，中 果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么 国皇帝自称天子，他们有一个很重要的角色，就是维 学校受影响的时间为多少秒？ 持天下的秩序.他们通过夜观天象、寻找宇宙的规则 来预测人间的吉凶、解释人间的疾病和突祸.中国的 N 天文学家和数学家则尽可能地从天文现象中寻找规 则. 一天，周公请教精通数学的大臣商高：“听说你 很擅长数学，我想问个问题，古时候，伏羲是怎样测 量天文和历法的？天没有台阶，地又不能用尺去测 量，这些数是从哪里来的？”商高回答：“数是根据圆 形和方形的规则计算出来的：圆来自于方，方来自于 矩，也就是这样一个直角三角形，而矩则来自于一根 绳，将这段绳折成3段：一边为勾3，一边为股4，一 边为弦5.” 周公问：“那我们如何使用矩呢？” 商高说：“我们把矩放平了可以测量水平和垂直 方向：把矩立起来可以测量高度：把矩倒放可以测量 深度：把矩平放可以测量水平距离；把矩旋转一周可 以得圆形：把两个矩合在一起可以得到方形.” “地为方形，天为圆形，圆形出自方形.就好像斗 笠一样，天是蓝色和黑色的，地是黄色和红色的，蓝 色和黑色的天，就好像斗生的外罩一样，而黄色和红 色的大地就像斗笠的内衬一样，这就是天和地的关 系，都从这些数字而来，所以这些数字规则主宰着万 事万物的和谐运转，” “好！”周公说. 后来，另外一位数学家陈子用矩来测量太阳的距 离，因为我们知道地球不是方的，所以他计算的结果 是错的.但是他的测量方法我们时至今日，仍在使用. height of sun 1000001i 800001i ghomon 8 chi shadow 6 chi 600001i 个参考答案及解析 (部分答案不唯一) 复习篇 八年级下册 (2)(2-√5)(2+√5)一(2-√2) =(4一5)-(4-42十2) 第十六章 二次根式 =-1-6十47 知识点回顾突破 =-7+42 1.A2,A 1 1 3.A【解析】由图知a<0.a-b<0,划|a十v(a-)= 16.解：r2店2+3y2+后2- -一(a-b)=一2a十h.故选A. (1)原式=(x+y)-5xy 4.解：)25-8+号V2+号V50=25-2见++2 =(2+/5+2-3)-5(2+、3)(2-5) =16-5=11. =35-2. (2)(2/4⑧-3v27)÷3=(83-93)÷√3=-√3÷5 (2原式=二=2二8-2尽=-2原 xy(2+3)(2-5) -1. 17.解：1)，两个正方形的面积分别为18dm2和32dm, 3(w6-v18)×5+9√3 2 =6×5-32X+3w6 '.这两个正方形的边长分别为3√2dm和4√2dm. .利余木料的面积为(4√2-32)×3√②=6(dm). -32-36+36-3v2. (2)4<32<4.5,1<2<2, (4)x=√5+2，y-5-2 ,∴.从剩余的木料中截出长为1.5dm,宽为1dm的长方形 .r+y=5+2+5-2=25,y=(W5+2)(w5-2)-1. 木条，最多能截出2块这样的木条. r2+xy+y2=(x+y)-xy=20-1=19. 18.解：(1)a=1007,∴.1-a<0. 1 则/(1一4)=1一a=a-1, 所以小亮的解法是错误的， 根式，确定变化规律：左边被开方数由两境组成，第一项为 (2)错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质： 序号，第二项为序号加2的倒数：右边也为两部分，根号外 Va=lal=[u(a20). 1 为序号加1，根号内为序号加2的倒数，即入n十十2 -a(a0). (3)当a=-2022时，a一3<0， （m十1)Nn+2 1 则原式=a+2/(a-3)产=a+2|a-3=a-2(a-3) =u-2a十6=-a十6=2022+6=2028. 章未自主测评 1.B2.C3.C4.C 19.解：0v2=21(日）=之-2=2 5.C【解析】A.(+1)-(W3+1)=0,故本这项不持合题意： ②a-lal, B.(十1)(w3一1)=2，故本述项不持合题意： ③由数轴可得c<b<0<a， C.(√3十1)与2√3无论是相加、相减、相来、相除，结果都是 ∴+F-F-√(a-)+-r 无理数，故本选项特合题意； =d-b十c-(a-b)十a-e -a-b+e-a+b+a-c D.(W3十1)(1一√3)=一2.故本速项不符合题意.故速C. 三山， 6.A7.A8.B 20.解：(1)，5+2√6=3+2+2√6 9.5 =(3)2+(2)°+2Xw5X√2 10.1【解析】：1x-31+√r+y-6=0, .r-3=0,x+y-6=0. =(W3+√2)2， 解得x=3,y=3. ∴./5+2√6=/(w5+2)'=+√② 222 ()=1 (2)7-4√3=4+3-43=22+(W3)2-2×2×/3 =(2-/5)2. 11.-2 12.0【解析】最简二次根式√2a十3和√a十3是同类二次 √7-43=V(2-3)-2-3. 根式， 第十七章勾股定理 ∴.b+1=2且2a十3=a+3b 知识点回顾突破 解得a=0,b=1..ab=0. 1.20 13.0【解析】图为：<0，由枝开方数的非簧性可知<0，所 2.解：10 以原式-面-a×。西=-西十瓜=0， (2)由已知易得AC=5, 14.2034【解析】当x<4时，原式=4一x-x十5=-2x+9, 当x=1时，原式=7：当x=2时，原式=5：当x=3时，原 因为AD=1,所以CD=4.所以2 式=3.当x≥4时，原式=x-4一x十5=1. 根据愿意，得r+2=2×专 .岁x分料取1,2.3.…，2022时，所对应的y的值的总和是 解得x=1.2. 7+5+3+1+1+…+1=15+1×2019=2034. 即点P原来的速度为1.2cms. 15.解：、27-号瓜-亚 3.解：点P为BC中点： =35-}×3厄-25 ÷BPCP=号BC-12(cm. .∠B=90°， =33-2-23 .在Rt△ABP中，根据勾股定理可得AB十BP=AP, =√3-2. 即162+12：=AP, 87 解得AP=20(cm). 8.A【解析】如图，由题意可得△PAB是腰长为6km的等 同理可得DP=15(em) 腰克角三角形，则AB=6√2km, .15+20=252. 如图所示，过点P作AB的垂线CP,垂足 .AP+DP=AD 为点C, .△APD是直角三角形，∠APD=90°. -iD 则CP=3V2km. 4.证明：，“k2+1>3一1，k2+1一2k=(k-1)2>0 即k2十1>20，∴.k2十1是最长边. 附从点.P向北偏西45°走3√2km到达， ,(2-1)2十(2头)2=一2+1+2=+2十1=(+1)2， 选项A错误： ,△ABC是直角三角形. 公路1的走向是南偏西45或北偏东45°，选项B.C正确： 章末自主测评 从点P向靴走3km后到达BP的中点D,此时CD为 1.D2.A △PAB的中位线，故CD-?AP-3,故再向西走3km到 3.D【解析】，BC⊥AB 达，选项D正确，故选A. .∠ABC=90. 9.17【解析】，在Rt△ABC中，∠C=0,AB-AC=2,B'=8, AB=2,BC=1. .AW+B=AB,即(AB-2)十8=AB,解得AB=17. ∴.AC=AB+B=√5. 10.4.55【解析】设折断处离地面x尺高， .CD=BC. 根揭题意可得x2十32=(10一x)2, .AD=AC-CD=V5-1. 解得r=4.55. AEAD. ∴.斯断处离地面4.55尺高 ∴AE=5-1. 1L,45【解析】如图，连接AC 由勾股定现，得AC=2十1卫=5， .点E表示的实数是V5一1： BC=2+1=5, 故选D AB=1+3=10, 4.A【解析】由勾段定理，得AB=19+12=15,根据面机 ,.AC+BC=5+5=10=AB 等秋式号AC·BC=AB·CD,于是有CD=故选A .△ABC是等腰直角三角形， ∠ACB=90°. 5.C【解析】如图，交BF长为x,则DF=4一t, .∠ABC=45 ,∠ACB=∠BCE=∠CBD, 12./41或313.7 '△BCF为等腰三角形，BF=CF=x D 1+.47【解析】设中间两个正方形的边长分剂为，y,藏大正 在Rt△CDF中，(4一x)+2=x, 方形E的边长为，别由约股定理，得x■3十5一34， 解得x=2.5, y2=2十3=13，=+y=47,.最大正方形E的面 ,BF=2.5. 积为47. Sam-BFXCD-X2.5X2-2.5. 15.解：，CD⊥AB于点D, .∠ADC=∠BDC=90° 即重叠部分面积为2.5.故达C 在直角△ACD中，AC=20,AD=16. 6.C【解析】如图，过点D作DF⊥AB于点E ∴.CD=/AC-AD=12. 在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10, ,在直角△BCD中，BC=15,CD=12, *62+82=102. .BD=BC-CD=9. ,·△ABC是直角三角形，∠C■90° ..AB-AD+BD-25. ,AD平分∠BAC, 16.解：如图.由题意，得(0A=12,(OB=16,AB=20, ..CD=DE. ,122+16=20. 在R△ACD和R1△AED中， ∴.OA十OB=AB (AD=AD. .△OAB是直角三角形 CD-DE, ∴.∠A0B=90 ,Rt△ACD≌Rt△AED(HI.). .∠C0A=60 ,∴.AC=AE=6. .∠D0B=180°-90°-60'=30° ∴.BE=AB一AE=10一6=4. .“长峰”号航行的方向是南偏东30， D 设CD=DE=x,别BD=8一x, 17.解：设CE=T,则DE=20-, 在R△BDE中，DE+BE=BD, 在R△ACE中，AE=AC+CE=8+x, 脚x2十4=(8一x)2, 在Rt△BDE中，BE=BD+DE=14+(20-x)2. 解得x=3. 由题意可知AE=BE, .DE的长为3.故速C, 所以82+x2=14°十(20-r),解得r=13.3 7.B【解析】者选取的三块纸片的面积分别是1,4,5时，围成 即CE=13.3km. 18.解：(1)如图，连接AC 的直角三商形的而积是直X年 在R1△ACD.中，AC=CD+AD=3+42=5 2 在△ABC中，AB=132,BC=122, 当选取的三块纸并的面积分别是2,3,5时，国成的直角三 而52+12■132， 商形的面积是②X区-G 即AC+B=AB 2 21 ∴·∠ACB=90 当选取的三块纸片的面积分别是3,4,5时，国成的三角形 不是直角三角形： Saa=S-S=AC.BC-AD.CD 当选取的三块纸片的面积分别是2,2,4时，国成的直角三 角形的西秋是②X2-互 =专×5×12-专×4X8=24(m) 2 2 (2)24×200=4800(元). 答：总共需投入4800元. 19.解：(1)，△ABC2△DEF ∴.∠BAC=∠EDF. ,所围成的三角形是面积最大的直角三角形，划速取的三 ,∠EDF+∠ACE=90. 块纸片的面积分别是2,3,5.故选B. 88 .∠ACE+∠BAC=90 5,2【解析】，M.N分别是AB和AC的中点， ∠AGC=90°. ,MN是△ABC的中位线. ·∠AGE=180°-∠AGC=90 .DE⊥AB. ÷MN=号BC=2.MN7IBC &Seom=Sam+Sae-号AB:DG+号AB,EG '.∠NME=∠D,∠MNE=∠DCE. ,点E是CN的中，点， -AB (DG+EG)-TAB.DE-Te. .NE-CE. .△MNE≌△DCE(AAS). (2):网边形ACBE的面积=Sar十Se=AB·DG ..CD=MN=2. 6.D【解析】当E,F,G,H分别是各边中点时，连接AC,根播 +ZAB.BG-AB:(DG+EG=号AB·DE-号， 三商形的中位线定理可知EF=GH=号AC,EF∥GH∥AC 四边形ACBE的面积=SE十S=之 ×(AC 所以四边形EFGH是平行四边形，当AC=BD时，根据 “有一组你边相等的平行四边形是菱形”可知四边形EF- GH是菱形，选项A是正确的；当AC上BD时，根据“有 个角是直角的平行四边彩是矩形”可知四边形EFGH是蝇 形，选项B是正确的；当E,F,G,H不是各边中点时，存在 EH∥BD,FG∥BD,所以EH∥FG.同理，GH∥EF,所以 22=2+2公，即。+= 四边形EFGH是平行四边形，选项C是正确的：当E,F 20.解：如图，过点A作AB⊥MN,垂足为点B G,H不是各边中点且一虹郁边相等时，国边形EFGH是 菱形.故选D DN 7.√I0【解析】如图，连接PC.根据正方移对称性知PA= PC,所以当C,P,E在同一条直线上时，PA+PE=PC+ PE=CE最小，根据勾段定理，蔡辩CE=√BC十BE M /3+1F=√10. 在Rt△ABP中，∠ABP=90,∠APB=30°，AP 160m..AB=7AP=80m :点A到直线MN的距离小于100m时受影响， ,学校会受到影响 8.解：(1)四边形ABCD是菱形， 设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到C处学校开始 ..OB-OD. 受到影响，则AC=100m,由勾股定理可得BC=60m. ,E是AD的中点。 同理，拖拉机行驶到D处学校开始脱离影响，则BD=0m, .OE是△ABD的中位线 故CD-120m.18kmh-18X1000 3600 m s5 m/s. .OE∥FG ,学校受影响的时间为120÷5=24(s). ,OG∥EF 第十八章平行四边形 .四边形OEFG是平行四边形 YEF LAB. 知识点回顾突破 ∴.∠EFG=90 1.C ,平行四边形OEFG是矩形 2.C【解析】，四边形OABC是平行四边形， (2),四边形ABCD是菱形， D为对前线OB中点. .BD⊥AC,AB=AD=10. 由作图可知，DE垂直平分线段OB, .∠AOD=90. 连接OE,荆OE-BE ,E是AD的中点， 廷长BA交y轴于点M.则AM⊥y轴 设AE=x,则OE=BE=6-T, ∴OE=AE=AD=5. 在Rt△OME中， 有(2+x)2+4=(6-x)2,解得x=1. 由(1)知，四边形OEFG是矩形， .FG=OE=5. ,点E的横坐标为3.故选C AE=5.EF=4, 3.证明："，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ,'.AO=CO,AD∥BC ,∴.AF=√AE-EF=3 ..∠EAO=∠F). ∴.BG=AB-AF-FG=10-3-5=2. 在△AOE和△COF中， 9,解：(1)证明：如图，作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N, ∠EAO=∠FCO, ∴.∠DNE=9o°，∠FME=90.∠MEN=90. A0=0C, ,点E是正方形ABCD对角线上的点， ∠AOE=∠COF. EM=EN. A ,∴.△AOE2△COF(ASA). ,∠DEF=90°， .AE=CE ∴.∠DEN=∠MEF=9O'-∠FEN 4.B【解析】两示意图如图， 在△DEN和△FEM中， :点D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点， r∠DNE=∠FME. .DE∥BC.∴∠AED=∠C. EN-EM. ∠C=68°，.∠AED=∠C=68°，故选B ∠DEN=∠FEM, ∴.△DEN≌△FEM(ASA). .ED-EE. ,四边形DEFG是矩形 ,.矩形DEFG是正方形. (2)①CE⊥CG.理由如下 ,四边形DEFG和四边形ABCD是正方形， 89