24.1.4 圆周角 同步练习 2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.1.4 圆周角 同步练习 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　） A．70° B．72° C．80° D．84° 2．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7．则∠B的大小是（　　） A．30° B．60° C．45° D．90° 3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠AOD等于（　　） A．155° B．140° C．130° D．110° 第1题 第3题 第4题 第5题 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB＝35°，则∠CBA的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 5．如图，AB是⊙O的直径，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 6．如图，CD是⊙O的直径，点A、B在圆上，∠B＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 第6题 第7题 第8题 第9题 7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，∠A为（　　） A．45° B．60° C．72° D．36° 8．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（　　） A．99° B．108° C．110° D．117° 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，M为边CB延长线上一点．若∠AOC＝100°，则∠ABM的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 10．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C＝（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．90 第10题 第11题 第12题 第13题 二．填空题（共8小题） 11．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的直径为　 　 cm． 12．如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 　 　 ． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝40°，则∠BCD的度数为 　 　 ． 14．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C、D均在⊙O上．若∠ADC＝75°，则∠BOC＝ 　 　 ． 第14题 第15题 第16题 第17题 15．如图，已知⊙O的直径AD＝10cm，∠B＝∠DAC，则AC的长为 　 　 cm． 16．如图，AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线AB的两侧，∠AED＝40°，则∠BCD＝ 　 　 ． 17．如图，⊙O的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD＝　 　 cm． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（其中t＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的取值范围是 　 　 ． 第18题 三．解答题（共6小题） 19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB． （1）若BE＝8，求⊙O的半径； （2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长． 21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E． （1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数； （2）若AB＝5，AC＝4，求DE的长． 22．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF． （1）证明：∠E＝∠C； （2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数． 23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE． （1）求证：∠B＝∠D； （2）若AB＝5，BC﹣AC＝1，求CE的长． 24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE． （1）求证：∠A＝∠AEB； （2）连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数． 答案与解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C D C C B C A D 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知点A、B、C依次在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（　　） A．70° B．72° C．80° D．84° 【解答】解：∵∠AOB和∠C所对的弧都是， ∴∠AOB＝2∠C＝2×40°＝80°． 故选：C． 2．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：7．则∠B的大小是（　　） A．30° B．60° C．45° D．90° 【解答】解：设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝7x， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C＝180°，即2x+7x＝180°， 解得：x＝20°， ∴∠B＝3x＝60°， 故选：B． 3．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB＝25°，则∠AOD等于（　　） A．155° B．140° C．130° D．110° 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴， ∴∠BOD＝2∠CAB＝2×25°＝50°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣50°＝130°． 故选：C． 4．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB＝35°，则∠CBA的度数为（　　） A．25° B．35° C．45° D．55° 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即∠A+∠ABC＝90°； 又∵∠A＝∠CDB＝35°， ∴∠ABC＝90°﹣∠A＝55°． 故选：D． 5．如图，AB是⊙O的直径，则∠1+∠2+∠3＝（　　） A．70° B．80° C．90° D．100° 【解答】解：连接OC，OE， ∵∠1∠AOC，∠2∠COE，∠3∠BOE， ∴∠1+∠2+∠3∠AOC∠COE∠BOE∠AOB＝90°， 故选：C． 6．如图，CD是⊙O的直径，点A、B在圆上，∠B＝40°，则∠ACD的度数为（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【解答】解：∵∠B＝40°， ∴∠B＝∠D＝40°， ∵CD是⊙O的直径， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠D＝50°， 故选：C． 7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若四边形OBCD为菱形，∠A为（　　） A．45° B．60° C．72° D．36° 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°， ∵四边形OBCD是菱形， ∴∠BOD＝∠C， 由圆周角定理得，∠A∠BOD， ∴∠BOD∠BOD＝180°， 解得，∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°， 故选：B． 8．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，，AC交BD于点G．若∠COD＝130°，则∠AGB的度数为（　　） A．99° B．108° C．110° D．117° 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BAD＝90°， ∵， ∴∠B＝∠D＝45°， ∵∠DAC∠COD130°＝65°， ∴∠AGB＝∠DAC+∠D＝65°+45°＝110°． 故选：C． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，M为边CB延长线上一点．若∠AOC＝100°，则∠ABM的度数是（　　） A．50° B．45° C．40° D．30° 【解答】解：由圆周角定理得：∠ADC∠AOC100°＝50°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ABM+∠ABC＝180°， ∴∠ABM＝∠ADC＝50°， 故选：A． 10．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A+∠B+∠C＝（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．90 【解答】解：连接AB，BC， ∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠CBD＝∠CAD，∠ABE＝∠ACE， ∴∠CAD+∠EBD+∠ACE＝∠CBD+∠EBD+∠ABE＝∠ABC＝90°． 故选：D． 二．填空题（共8小题） 11．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的直径为　13　 cm． 【解答】解：连接AC， 由题意可得：AC是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 故答案为：13． 12．如图，AB为⊙O的直径，，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为 　66°　 ． 【解答】解：连接BC，如图， ∵， ∴∠BCD＝∠CDB＝24°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣24°＝66°． 故答案为：66°． 13．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝40°，则∠BCD的度数为 　130°　 ． 【解答】解：连接AC，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ACD＝∠AED＝40°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+40°＝130°． 故答案为：130°． 14．如图，AB是⊙O的直径，位于AB两侧的点C、D均在⊙O上．若∠ADC＝75°，则∠BOC＝ 　30°　 ． 【解答】解：∵∠ADC＝75°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝150°， ∴∠BOC＝180°﹣150°＝30°． 故答案为：30°． 15．如图，已知⊙O的直径AD＝10cm，∠B＝∠DAC，则AC的长为 　5　 cm． 【解答】解：连接CD， ∵AD是圆的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵∠B＝∠DAC，∠B＝∠ADC， ∴∠DAC＝∠ADC， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴ACAD10＝5（cm）， 故答案为：． 16．如图，AB是⊙O的直径，圆上的点D与点C，E分布在直线AB的两侧，∠AED＝40°，则∠BCD＝ 　50°　 ． 【解答】解：连接AC， 由条件可知∠ACD＝40°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝50°， 故答案为：50°． 17．如图，⊙O的直径是AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，则BC+AD＝　（8+5）　 cm． 【解答】解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AB＝10cm，AC＝6cm， ∴BC8（cm）， ∵CD平分∠ACD， ∴， ∴AD＝BDAB＝5（cm）， ∴BC+AD＝（8+5）（cm）． 故答案为：（8+5）． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（其中t＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则t的取值范围是 　4≤t≤6　 ． 【解答】解：连接AP，作射线AD． 由题意得，AB＝（1+t）﹣1＝t，AC＝1﹣（1﹣t）＝t， ∴AB＝AC， ∵∠BPC＝90°， ∴， t要最大，就是点A到⊙D上的一点的距离最大， ∴P在AD延长线上， ∵A（0，1），D（4，4）， ∴， ∴t的最大值是AP＝AD+PD＝5+1＝6， ∴t的最小值是AP＝AD﹣PD＝5﹣1＝4， 故t的取值范围为：4≤t≤6． 故答案为：4≤t≤6． 三．解答题（共6小题） 19．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E． （1）求证：∠BCO＝∠D； （2）若BE＝8cm，CD＝6cm，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：∵OB＝OC， ∴∠BCO＝∠B， ∵∠B＝∠D， ∴∠BCO＝∠D； （2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE＝DECD6＝3cm， ∴∠COE＝90°， 设⊙O的半径为rcm，则OE＝（8﹣r）cm， 在Rt△OCE中，根据勾股定理得： r2﹣（8﹣r）2＝32， 解得r， ∴⊙O的半径为cm． 20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB． （1）若BE＝8，求⊙O的半径； （2）若∠DMB＝∠D，求线段OE的长． 【解答】解：（1）设⊙O的半径长为r， 则OD＝r，OE＝r﹣8， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24， ∴DE＝12， ∴OD2＝OE2+DE2， 即r2＝（r﹣8）2+122， 解得，r＝13， 即⊙O的半径是13； （2）连接BC， ∵∠DMB＝∠D，∠DMB＝∠DCB， ∴∠D＝∠DCB， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD＝24， ∴CE＝DE＝12，∠CEB＝∠DEO， ∴△CEB≌△DEO（ASA）， ∴OE＝BE＝0.5OB， 设⊙O的半径长为r， 则r2＝122+（0.5r）2， 解得，r或r＝﹣8（舍去）， ∴OE＝4． 21．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E． （1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数； （2）若AB＝5，AC＝4，求DE的长． 【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OD∥BC， ∴∠AOD＝∠B＝70°，∠AEO＝∠ACB＝90°， ∴OD⊥AC， ∴， ∴∠CAD∠AOD＝35°； （2）∵OD⊥AC， ∴AE＝CEAC＝2， 在Rt△AOE中，OE， ∴DE＝OD﹣OE1． 22．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF． （1）证明：∠E＝∠C； （2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数． 【解答】（1）证明：连接AD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵CD＝BD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＝∠E， ∴∠E＝∠C； （2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形， ∴∠AFD＝180°﹣∠E， ∵∠CFD＝180°﹣∠AFD， ∴∠CFD＝∠E＝55°， 由（1）得：∠E＝∠C＝55°， ∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝55°+55°＝110°． 23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC、CE． （1）求证：∠B＝∠D； （2）若AB＝5，BC﹣AC＝1，求CE的长． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD， ∵BC＝CD， ∴AD＝AB， ∴∠B＝∠D； （2）解：在Rt△ACB中，AB＝5，BC﹣AC＝1，由勾股定理得：AC2+（AC+1）2＝52， 解得：AC＝3，BC＝4， ∵BC＝CD， 即CD＝4， ∵由圆周角定理得：∠B＝∠E， 又∵∠B＝∠D， ∴∠D＝∠E， ∴CE＝DC， ∵CD＝4， ∴CE＝4． 24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE． （1）求证：∠A＝∠AEB； （2）连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠DCE+∠BCD＝180°， ∴∠A＝∠DCE， ∵DC＝DE， ∴∠DCE＝∠AEB， ∴∠A＝∠AEB； （2）∵∠A＝∠AEB， ∴△ABE是等腰三角形， ∵EO⊥CD， ∴CF＝DF， ∴EO是CD的垂直平分线， ∴ED＝EC， ∵DC＝DE， ∴DC＝DE＝EC， ∴△DCE是等边三角形， ∴∠AEB＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠A＝60°． 声明：试题解析著作权属菁 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$