（九上预习篇）第2章 2.5 解直角三角形的应用-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（青岛版）

第2章解直角三角形 预习篇 2.5解直角三角形的应用 汉学习目标WQ. 1.知道仰角、俯角的概念，并会用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的问题： 2.知道坡度的概念，并会用解直角三角形的知识解决与坡度有关的问题： 3.知道方位角的概念，并会用解直角三角形的知识解决与方位角有关的问题。 知识点讲解%4 知识点一仰角、俯角问题 进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线 时，叫做仰角：视线在水平线 时，叫做俯角.如图所示，∠1是 ,∠2是」 视线 水平线 槐线 【典型例题1】宜宾大观楼是我国目前现存最高大、最古老的楼阁之一，小伟决定用自己所学习的知识测量大 观楼的高度，如图②，他利用测角仪站在B处测得大观楼最高点P的仰角为45，又前进了12米到达A 处，在A处测得P的仰角为60°，请你帮助小伟算算大观楼的高度.（测角仪高度忽略不计，√3≈1.7，结果 保留整数) ，” 60入45 图① 图② 思路点拨：设大观接的高OP=x,在Rt△POB中表示出OB,在Rt△POA中表示出OA,再由AB=12 来，可得出方程，解出即可得出答案。 解：设大观楼的高OP=x, 在Rt△POB中，∠OBP=45°，则OB=OP=. 在R△P0A中，∠OAP=60,则OA=nD学， 由题意，得AB=OB-0A=12m,即r一 3x-12, 解得x=18+6√/3， 故大观楼的高度OP=18+6√3≈28（米）. 【跟踪练习1】 L.如图，小明想在自己家的窗口A处测量对面建筑物CD的高度，他首先量出窗口A到地 面的距离AB为1,5m,又测得从A处看建筑物底部C的俯角为30°，看建筑物顶部D 的仰角为45°，且AB,CD都与地面垂直，点A,B,C,D在同一平面内.则建筑物CD的 B 高度为 63 假期母威笼 QD·数学·九年级·上 2.某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测昌平中心公园 的仿古建筑“弘文阁”AB的高度，他们先在点C处用高1.5米的测角仪CE测得“弘文阁”顶A的仰角为 30°，然后向“弘文阁”的方向前进18m到达点D处，在点D处测得“弘文阁”顶A的仰角为50°.求“弘文阁” AB的高（结果精确到0.1m,参考数据：tan50'≈1.19，tan40≈0.84，W3≈1.73）. 知识点二坡度、坡角问题 L,在筑坝、开渠，挖河和修路时，设计图纸上要注明斜坡的倾斜程度，我们把坡面的 与 的比叫做坡度，用字母表示为= 、坡度 坡角x公 2.坡度和坡角都是表示斜面的倾斜程度的量，一般地，坡度写成 的形式，显然，坡度越大，坡角α 越大，坡面就 【典型例题2】如图，有一段斜坡BC长为10米，坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角 降为5°.（参考数据：sin12≈0.21，cos12°≈0.98，tan5≈0.09） (1)求坡高CD: (2)求斜坡新起点A与原起点B的距离（精确到0.1米）. twwsomt A D 思路点拨：(1)根据正孩的定义列式求出CD: (2)根据余弦的定义求出BD,根据正切的定义求出AD,结合图形计算，得到答案。 解：a在R△CBD中，n∠CBD-品. 则CD=BC·sin∠CBD≈10×0.21=2.1（米）， 答：坡高CD约为2.1米 (②在R△CBD中，o∠CBD-B肥 则BD=BC·cos∠CBD≈10×0.98=9.8（米）. 在R△CAD中，am∠CAD-B, 则AD=, CD2.1 tan∠CAD≈0.09≈23.33（米）， 则AB=AD-BD=23.33-9.8≈13.5（米）. 答：斜坡新起点A与原起点B的距离约为13.5米， 64 第2章解直角三角形 预习篇 【跟踪练习2】 1,如图，传送带和地面所成斜坡的坡度=1：2.4，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该 物体所经过的路程是 () A.10米 B.24米 C.25米 D.26米 传送埽 D 第1题图 第2题图 2.如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m坝高8m,斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡比是i=1:3, 则坝底宽BC为 () A.36m B.72m C.78m D.38m 3.我市里运河有一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化培PM在天桥底部正前 方8米处(PB的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：3.有关部 门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆除？请说明理由， (参考数据：w2=1.414,3=1.732) 知识点三方向、角度问题 1.从 方向或 方向到目标方向所形成的锐角叫做方向角 2.方向角通常以 方向线为主，分和 【典型例题3】如图，海中有一小岛A,它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向 东航行，在点B测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达点D,这时测 得小岛A在北偏东30°方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁 的危险？ D 思路点拨：过点A作AC⊥BD于点C,求出∠CAD,∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD,根据等角对等 边得出AD=BD=12,根据含30度角的直角三角形性质求出AC即可.只要求出，点A到BD的最短距离 是否在以A为同心，以8海里为半径的圆内或圆上即可， 解：如图，过点A作AC⊥BD于点C,则AC的长是点A到BD的最短距离. ,∠CAD=30°，∠CAB=60°， ∴.∠BAD=60°-30°=30°，∠ABD=90°-60°=30°. ∴.∠ABD=∠BAD. .BD=AD=12海里 :∠CAD=30,∠ACD=90°， CD=AD=6海里. 由勾股定理，得AC=√12-6=6√3≈10.392>8， 即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险。 65 假期母留器 QD·数学·九年级·上 【跟踪练习3】 1,如图，一艘船从A处向北偏东30的方向行驶10千米到B处，再从B处向正西方向行驶20千米到C处，这 时这艘船与A的距离 () A.15千米 B.10千米 C.10√3千米 D.53千米 东 第1题图 第2题图 2.某客轮在点C处失事后，在其附近有点A,B两处专业救助点，点B在点A的正东方向，且相距100海里，海上 搜救中心在获知客轮C失事后，测得出事地点C在点A的南偏东60方向，在点B的南偏东30方向，若救助 轮航行速度是25海里/时，试问点A处数助轮赶到出事地点C需要 时.（结果保留根号） 3.如图，甲，乙两船同时从港口A出发，甲船以60海里时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏西30°方 向航行，半小时后甲船到达点C,乙船正好到达甲船正西方向的点B,求乙船的速度.（√3≈1.7） 北 502 温单法指导40 L,解决仰角、俯角问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中设有直角三角 形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际 问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决. 2.在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡比实际就是该锐角的正切 值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.应用领域：①测量领域：②航空领域： ③航海领域：①工程领域等， 3.在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角 三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或同一个角的余角等知识转化为所需要的角. 五自主检测4 一、选择题 1.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a,AC=2,则树高BC为 .(用含a 的代数式表示) r A.2sina B.2tana C.2cosa D品 66 第2章解直角三角形■ 预习篇 2.如图，某商场为了便于残疾人的轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，斜坡的坡角不得超过10°， 此商场门前的台阶高出地面1.53米，则斜坡的水平宽度AB至少需多少米？（精确到0.1米.参考数据： sin10≈0.17，c0s10°≈0.98，tan10≈0.18) () A.8.5米 B.8.8米 C.8.3米 D.9米 北 75 30 153米 102 第2题图 第3题图 3,如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75 方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A之间的距 离是 () A.25√3海里 B.25√2海里 C.50海里 D.25海里 二、填空题 4.如图，一山坡的坡度i=1·√3，小明从A处爬到B处所走的直线距离AB=10米，则他在垂直方向上升的 高度CB为 米。 D 第4题图 第5题图 5.观光塔是某市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端点A处观测观光塔顶端 C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端点B处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是 45m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 m. 三、解答题 6.小明周末沿着东西走向的公路徒步游玩，在A处观察到电视塔C在北偏东37度的方向上，5分钟后在B 处观察到电视塔C在北偏西53度的方向上，已知电视塔C距离公路AB的距离为300米，求小明的徒步速 度.（精确到个位，sin37≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan37≈0.75，tan53°≈1.3） 北 声乐 67 假期威笼 QD·数学·九年级·上 7.疫情期间，某中学为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图为该测温门截面示意图.已知测温门 顶部A距地面高AD=2.2m,为了解自己的有效测温区间，身高1.6m的小明做了如下实验：当他在地面 N处时，测温门开始显示额头温度，此时测得A的仰角∠ABE=18°，当到达地面M处时，测温门停止显示 额头温度，此时测得的仰角∠ACE=53°.求小明在地面的有效测温区间MN的长度.（额头到地而的距离 以身高计算，结果精确到0.1米，参考数据：sinl8°≈0.31，cos18°≈0.95，tanl8≈0.32，sin53°≈0.80， c0s53°≈0.60，tan53°≈1.33) 8.如图，直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC,CD.测得BC=6米， CD=4米，∠BCD=150°，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，试求电线杆的高度.（结果保留根号） 30 77777777 68根据勾股定理， 得BD=AB-AD=√(310)-(32)产=62， .BC=BD+CD=102. 5.14a 6.解：在R△ABC中，∠C=90,tanA-号 ∴.∠A=30 ∴.∠ABC=60 :BD是∠ABC的平分线， .∠CBD-∠ABD=30. 又，CD=3. c-0=8 在R1△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， AB=BC 8n30=线. .AB的长为6. 7.解：(1)Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6,osA=- 5 AD10. .DE=√AD-AE=√10-6=8. BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥BC, .CD=DE=8. (2)由(1)AD=10,DC=8. ..AC=AD+DC=18. 在△ADE与△ABC中， :∠A=∠A,∠AED=∠ACB. .△ADE∽△ABC 腮能即是意 ,BC=24. n∠DC-误-是-号 8.解：∠C=90°，BD=5.CD=3..BC=4. .AC=AD+CD=5+3=8, .AB=√/8+4=45 dn∠cBD-畏-是nA-%-g 9.解：1)第-步：∠A=90-∠B∠A 第二步：tanB=么方=atanB 第三步：COsB-4 (2)设d=2,∠B=60°， 则∠A=90°-60=30， 六b-aimB=25.e一B4.(答案不唯一，合理即可） 2.5解直角三角形的应用 知识点讲解 知识点一上方下方仰角的角 【跟踪练习1】 L,3士35m【解析】如图，作AE上CD于点E,则四边形 2 ABCE为矩形， .CE=AB=1.5 m.AE=BC. 在△AGE中，m∠CME-是. 5 ·AE m黑正点= CE 在Rt△ADE中，∠DAE=45, △ADE为等腰直角三前形 ∴DE=AE=是原(m. 义CE=AB=1.5(m), CD-CE+DE-1.5+g-3+(m. 2 六建筑物CD的高度为3+3 2 -m. 2.解：由题可知GB=FD=EC=L,5,∠AEG=30°， FE=18m,∠AFG=50°. ∴∠GAE=60,∠GAF=40. 在Rt△AGE中，∠GAE=60, m☑AE- .GE=tmn60°·AG 在R1△AFG中，∠GAF=40, m∠GAF- .GF=tan40°·AG. EF=EG-GF.EF=18 m, .tan60°·AG-tan40°·AG=18. .AG≈20.2(m). .AB=AG+GB≈21.7(m). 答：“弘文阁”AB高约21.7m 知识点二 1.垂直高度众水平宽度1÷ 2.1:m越陡 【跟踪练习2】 1.D【解析】如图，作ABL(CB于点B, 传送带 由题意，得AB=10米， 斜坡的城度i=1:2.4, 说立品 解得BC=24,由勾股定理，得 AC=√AB+BC=/10+24=26.故选D. 2.D【解析】如图，作AE⊥ BC. DF⊥BC ∴.四边形ADFE是矩形，日 .AD=EF=6.DF=AE=8. 斜拔AB的发扇为45， ∴.AE=BE=8. ,针坡CD的城比=DE FC=113, 97 ,.FC=3X8=24(米).∴.BC=BE十EF+F(C=38(米). A处教财轮到达C点的时间是105=43（小时. 故选D, 25 3.解：该文化墙PM不需要拆除，理由如下 3.解：由已知可得AC=60×0.5=30(海里). 如图，作CD⊥AB于点D, 又已知甲船沿北偏东60方向航行，乙船沿北偏西30方向 航行， .∠BAC=90. 又乙船正好到达甲船正西方向的点B, 则CD=6米， .∠C=30. :新坡面的坡度为1：√5， 六AB=AC·an30°=30X≈17（海里. m∠cAD-需后 3 .乙船的速度为17÷0.5=34（海里：时）. 解得AD=6/5. 答：乙船的速度约为34海里时， ,坡面BC的坡度为11，CD=6米， 自主检测 ,.BD=6米. 1.B2.A .AB=AD-BD=(6一6)米 3.D【解析】被据题忘，可如BC=25海里，因为轮船从B处 以每小时50海里的地度潘南编东30方向匀造航行，在C 又，PB=8米， 处观测灯塔A位于北编东60”方向上，所法∠ACB=90°，因 ∴，PA=PBAB=8-(6√月-6)=14-63≈14-6× 为在B处规测灯塔A位于南偏东7方向上，所以∠ABC 1.732≈3.6米>3米. =45,所以AC=C=25海里，所以C处与灯塔A的距离 ·该文化墙PM不需要拆除. 是25海里.故选D 知识点三 4.5 1.正北正南 5.135【解析】，爬到该楼房顶端点B处观测现无塔底師D 2.南北南偏东（西）北偏东（西） 处的缔角是30， 【跟踪练习3】 1.C【解析】如图， 六∠ADB=30.在R△ABD中，tmm30°=A5 AD' :BC⊥AE, ·∠AEB=90 ∴格-停解释AD=5瓦 :∠EAB=30°，AB=10米， ,在楼房的底搞点A处观测观光塔顶端C处的仰角是60， ∴.BE=5米，AE=5√5来 '.在Rt△ACD中，CD=AD·tnn60°=453X5=135(米). ,.CEBC-BE=20-5=15(米). 6,解：如图，过点C作CD⊥AB,垂足为D, ∴.AC=√/CE+AE=√15+(53) =10√3（来）.故选C 2.43【解析】根据题意可知，∠BAC=30°∠ABC=120, AB=100海里， 由题意可得，∠CAD=90°一37=53 ∴∠ACB=180°-30°-120°=30.BC=AB=100海里. ∠CBD=90-53=37,CD=300米. 如图，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D, 在R△ACD中， tan∠CAD=1an53≈L.3=300 AD' .AD≈231（米）. 在Rt△BCD中， 7a∠CBD=am37≈0,75-器， :∠CBD=60,BC=100海里， .BD400(米). 六BD=BCcos60'=100×号-50（海里. ,AB=AD+BD631(米). ∴.AD=AB十BD=150(海里). .速度为631÷5126（米/分钟）. 7.解：根据题意，知AE=AD-DE=2.2-1.6=0.6(m), :∠BAC=30 Ae AE ÷2-w30 ,tan∠ABE am∠ACE-C 0.6 .AC=AD c030=100V8(海里，. BE=AE tan18≈o.32 =1.875(m) 0.6 ,A,B处救助轮的行驶速度为25海里时， CE-AE an53,380,451(m. 98 ,.BC=BE-CE1.424(m) BC=2, ∴.MN=BC≈1,4(m). ∴.O=0B-BC=4-2=2. 答：小明在地面的有效测温区间MN的长度约为1.4m, 在Rt△AB0中，∠B=90°，AB=3,OB=4.由勾股定里，得 8.解：如图，延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DF⊥ A0=5, CE于点F. :∠ADC=90, 在R:△CDF中，CD=4, .∠ODC=90°=∠B. ∠DCF=180°-150°-30. ,∠0=∠0. 则DF=CD·sin∠DCF '.△ODC△OBA =4sin30°=2， 器器 ,CF=CD·os∠DCF=4cos30=2V3. 在Rt△DEF中，∠E=30°， iam-邵-品-g 解得DC=号，故选C 解得EF=2V3. 8.A【解析】如图，由点C向AB作垂线，交AB的廷长线于 在Rt△ABE中， 点E,并交海面于点F, BE=BC+CF+EF=6+2V3+2V3=6十43， 海血 aa能停 230 R76 --E 解得AB=4+23. 答：电线杆的高度是(4+2√3)米。 章未预习自测 1.B2.A3.A4.A 已知AB=960米，∠BAC=30°，∠EBC=60°， 5.A【解析】延长AB到点D,连接CD,如图所示. '∠BCA=∠EBC-∠BAC=30°， .∠BAC=∠BCA .BC=AB=960米. 在R△BEC中，im∠EBC-壳， CE D ÷CE=BC·sim60=960x5=480V5(米. 由题意可得，AC=√+3=√/10，CD=1, 2 六a是而怎长越N .CF=CE+EF=(4805+300)米.故速A. 910,511.9 6.B【解析】，MN是线段AB的垂直平分线， ∴，AD BD 【解析】AC=+1平=√2，AB=,1+3=√1D, 、在R△BCD中.sim∠CBD=乙. BC=、2+2=2√2， 品思 ..AC+BC=AB. △ACB是直角三角形 AC=AD+CD32. ,∴，CD=14,AD=BD=18. Ac指亮-号 在R:△BCD中，根据勾胶定理，得 BC=/BD-CD=√18-14=128=8√2.故速B. 【解折J:∠C=90,AC=4,osA=名 7.C【解析】如图，延长AD,BC交于点O, AB=AC cosA=5. ∴.BC=√AB-AC=3. '∠DBC=∠A. ios∠DBC-s∠A-%告 BD=3×5=15 44 :在Rt△ABO中，∠B=90',tanA 4 OB 3 ABAB-3. 14.(15-5√)【解析】知国，过，点B作BH⊥AE于点H, ..OB4. BF⊥CE于点F, 99