（九上预习篇）第2章 2.4 解直角三角形-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（青岛版）

5.5.296.>7.65.6°8.8.16 9解：1)2sin30·cos30°-5， ,sin60°- 29 2sin22.5°·cos22.52X0.38X0.92≈0.7，sin45≈0.7， ,.2sin30°·cos30°=sin60°， 2sin22.5°·cos22.5=sin45° (2)由(1)可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍 的正弦值。 (3)2sin15°·c0815≈2×0.26×0.97≈2，sin30°=7，故 结论成立： (4)2sina·cosa=sin2a 2.4解直角三角形 知识点讲解 知识点一 1.已知元素未知元素 2.4)∠A+∠B=90(2a+5=e(3)g名8 【跟踪练习1】 LA【舞折]在R△MBC中mB-器∠B=50,AB=10, ,,BC=AB·cosB=10·c0s50°，故选A. 2.A 3.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4, anB-瓷-AC-是 .AC=3. AB:=AC+BC AB=5. mA=器- 知识点二一边上的高直角三角形 【跟踪练习2】 1.2【解析】如图，连接格点B,D :BC=AB=√+3=V10, CD=AD=√2， .BD⊥AC. 在R△BCD中， BD=√/BC-CD=√10-2=2W2, tan∠ACB= BD_22=2. CD 2 2.解：过点A作AD⊥BC于点D,如图所示 在R△ABD中，AB=5,mB=铝号 …0-是 .AD=15. 在Rt△ACD中，CD=√AC-AD=√39-15=36. 96 mc-品-品-是 在R1△ABD中，BD=√AB-AD=√25-15=20， .BC=BD+CD=20+36=56. 3.解：过点A作AD⊥BC于点D,如图所示. D 设AD为x, 在R△ABD中，nB-号-铝， .AB=3AD=3x .BD=√AB-AD=√(3x)-x=22x. 在Rt△ACD中，tanC=号=C品， .CD=√2AD=√2x BD+CD-BC, ∴.2√2x十√2x=3V2. 解得x=1. AD=1,CD=√2 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC=/AD+CD= +W2)=√3. 自主检测 1.A2.B 3.D【解析】如图，连接BD. 由围可得，BD=√/+2=5，AD=√+2=5，AB= √+3=/10， .BD+AD-AB, ·△ADB是直角三角形，∠ADB=90 ,AC-V3+6=3V5,AD=√5，BC=√3+4=5， .CD=2√5. oC-8铝-25故选D 4.10√2【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D, 3 在Rt△ACD中，anC=,AC=5W2, .AD=3√2，CD=4√2. 在Rt△ABD中，sinB= 5 ÷AB=AD-3E-=3Vm. sinB√5 根据勾股定理， #BD=√AB-AD=√(3√10)-(3√2)2=6V2, ∴，BC=BD+CD=10√2. 5.14a 6.解：在R△ABC中，∠C=90,tanA=号 ∠A=30° ,.∠ABC=60° :BD是∠ABC的平分线， ∴∠CBD=∠ABD=30. 又CD=3, Bc-0-8 在R:△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， .AB=-BC sin30=6. AB的长为6. 7.解：(1)Rt△ADE中，∠AED=90°，AE=6,cosA= 3 ·AD=AE co4=10, .DE=√/AD-A=/10-6=8. BD平分∠ABC,DE⊥AB,DC⊥BC, ∴CD=DE=8, (2)由(1)AD=10,DC=8 ..AC=AD+DC-18. 在△ADE与△ABC中， :∠A=∠A,∠AED=∠ACB, ∴△ADE△ABC. 暖-能即品品 .BC=24 ∠DBc-0-景-子 8.解：∠C=90°，BD=5,CD=3,.BC=4. ,AC=AD+CD=5+3=8, ∴.AB=8+4=45. im∠cBD-误-是A-S-9 9.解：(1)第一步：∠A=90°-∠B∠A 第二步：tanB=么b=atanB 第三步：cosB4 (2)设a=2,∠B=60°， 则∠A=90°-60°=30°， b=-atanB-=25,c=0B=4.(答案不唯一，合理即 2.5解直角三角形的应用 知识点讲解 知识点一上方下方仰角俯角 【跟踪练习1】 1,3+35m【解析】知图，作AE⊥CD于点E,则四边形 2 ABCE为矩形， ∴.CE=AB=1.5m,AE=BC. 在Rt△ACE中，tan∠CAE=CE, AE 16 ·AE- anCAB品-g5am CE 1.5 在R1△ADE中，∠DAE=45, △ADE为等腰直角三角形， ∴DE=AE=B(m. 又CE=AB=1.5(m) aCD=CE+DE=1.5+5-3+95(m. 2 六建筑物CD的高度为3+5。 2 2.解：由题可知GB=FD=EC=1.5,∠AEG=30°， FE=18m,∠AFG=50°. ∴.∠GAE=60°，∠GAF=40 在Rt△AGE中，∠GAE-60°， tm∠GAE-e ,∴.GE=an60°·AG 在R△AFG中，∠GAF=40 n∠GAF-8 ,.GF=tan40°·AG .EF-EG-GF,EF-18 m, ∴.tan60·AG-tan40°·AG=18. .AG20.2(m) .AB=AG+GB≈21.7(m). 答：“弘文阁”AB高约21.7m 知识点二 1垂直高度太水平宽度1冬 2.1：m越随 【跟踪练习2】 1.D【解析】如图，作AB⊥CB于点B, 传送带 由题意，得AB=10米， 斜坡的城度=12.4， 说中品-立 ,101 解得BC=24,由句股定理，得 AC=√AB+BC=√/10+24=26，故选D. 2.D【解析】如图，作AE⊥ BC. DF⊥BC .国边形ADFE是矩形. .AD-EF-6,DF-AE-8. 钟拔AB的拔角为45 ..AE=BE=8. “,斜城CD的城比i=DFFC=1￥3， 97第2章解直角三角形 预习篇 2.4解直角三角形 汉学习目标靴服一 1.了解直角三角形边角关系，理解解直角三角形的含义： 2.熟练掌握解直角三角形的类型与解法； 3.会根据解直角三角形解决非直角三角形的边角问题. s知识点讲解 W. 知识点一解直角三角形 1.由直角三角形中 求出 的过程，叫做解直角三角形. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c (1)角之间的关系： (2)边之间的关系： (3)角与边之间的关系：sinA= ,c08.A= _tanA= 【典型例题1】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=4√3，解这个直角三角形. 思路点拨：根据勾胶定理，可以求得AB的长，然后根据锐角三角函数可以得到∠A的度数，然后即可得到 ∠B的度数， 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12,AC=4√3， ∴.AB=122+(4√3)2=83. ∴sinA=BC=12=VE AB8√52 .∠A=60 ∠B=30°，即AB=8√3，∠A=60°，∠B=30 【跟踪练习1】 1.已知在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10,那么BC的长为 A.10cos50° B.10sin50 C.10tan50 D10 sin50 2.已知在Rt△ABC中，斜边AB的长为m,∠B=40°，则直角边AC的长是 A.msin40 B.mcos40 C.mtan40° 3.如图，在R△ABC中，∠C=90,BC=4,tanB=.求sinA的值 知识点二解非直角三角形 在解非直角三角形时，通常作出非直角三角形 ,把非直角三角形转变成 来解决。 59 假期岛阅用QD·数学·九年级·上 【典型例题2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AB=8,∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长. 思路点拨：首先解Rt△ABD,求出AD,BD的长度，再解Rt△ADC,求出DC的长度，然后由BC=BD+ DC,即可求解. 解：AD⊥BC于点D, .∠ADB=∠ADC=90. 在Rt△ABD中，AB=8,∠ABD=30°， AD-AB-4.BD-/3AD-4/. 在Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°， ∴.DC=AD=4 ∴.BC=BD+DC=4W3+4. 【跟踪练习2】 1.如图，点A,B,C为正方形网格中的3个格点，则tan∠ACB= 2.如图，在△ABC中，∠A为纯角，AB=25,AC=39,inB=号，求BC的长和anC的值。 3如图：在△ABC中，sinB=号，anC=号，BC=3V反.求AC的长 X学法指导40 1.(1)在遇到解直角三角形的问题时，最好先画一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些 元素是未知的，然后确定锐角及它的对边和邻边， ①若求边：一般用未知边比已知边，去寻找已知角的某一个三角比. ②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角比. ③求某些未知元素的途径往往不唯一，选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的 60 第2章解直角三角形 预习篇 关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算， (2)对含有非基本元素的直角三角形，如已知两边之和，中线，高，角平分线的长，角之间的关系，锐角三角比 的值，周长，面积等条件，我们常用的解题方法是将非基本元素转化为基本元素，最终达到解直角三角形的 目的. (3)在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构建直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角 的顶点作高，保留特殊角，可使计算方便、准确，对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法构造出 直角三角形，利用解直角三角形的方法实现问题的转化. 2.在非直角三角形中，要通过添加适当的辅助线，把问题转化为解直角三角形的问题，作辅助线时，为了保留 特殊角(30°或45°或60)，通常从非特殊角的顶点作高. 3.求非直角三角形面积的一殷步骤：第一步：作高构造直角三角形：第二步：根据直角三角形中边角的关系进 行计算：第三步：利用三角形的面积公式求解. 五自主检测24 一、选择题 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，若BC=m,则AB的长为 Ao%36 B.m·cos36 C.m·sin36 D.m·tan36 2.在△ABC中，AB=AC=3,BC=2,则6cosB等于 A.3 B.2 C.33 D.2√5 3.如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cosC= A A号 B 2 C③ 2 D26 5 二、填空题 4.如图，在△ABC中，sinB= 5,tanC=3 ,AC=5V2,则BC 5 第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC中，∠B=45,0C=号AC=5a,则△ABC的面积用含a的式子表示是 三、解答题 6.如图，在△ABC中，∠C=90,anA-号，∠ABC的平分线BD交AC于点D,CD=5,求AB的长？ 61 假期岛阅用QD·数学·九年级·上 7.如图，在△ABC中，∠C=90,点D,E分别在AC,AB上，BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,AE=6,cosA=3 1 (1)求CD的长； (2)求tan,∠DBC的值 8.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，且AD=BD=5,CD=3,求tan∠CBD和sinA. 9.如图，在Rt△ABC中，a,b分别是∠A,∠B的对边，c为斜边，如果已知两个元素a,∠B,就可以求出其余 三个未知元素b,c,∠A. (1)求解的方法有多种，请你按照下列步骤，完成一种求解过程： 第一步：由条件：8，∠B用关系式 求出 第二步：由条件：Q,∠B用关系式 求出 第三步：由条件：a,∠B 用关系式 求出 (2)请你分别给出a,∠B的一个具体数值，然后按照(1)中的思路，求出b,c,∠A的值. 62