（九上预习篇）第2章 2.1 锐角三角比-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（青岛版）

第2章解直角三角形 预习篇 第2章 解直角三角形 X衔接思维导国2g2以 正弦，余弦及正切的概念 锐角三角比H 锐角三角比的概念及求解锐角三角比 解直角三角形 30,45, 如角的三角电宽器樱霜酬的价 国计净浴索说角三角卫阳地便林桥开素录相货 直角三角形的角边关系 解直角三角形H解直角三角形的概念 解直角三角形的类型与解法 解直角三角形的应用仰角和箭角、方向角、坡度和坡角的概念 利用解直角三角形的知识解决实际问题的步骤 2.1锐角三角比 学习目标gQ 1.理解正弦，余弦、正切的概念： 2.能准确地用直角三角形两边的比表示锐角三角比. 日知识点讲解4… 知识点一正弦、余弦、正切的定义及表示 1.如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的 与 的比叫做 B 斜边c ∠A的正弦，记作sinA,即sinA= ∠A的对边a 2.如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的 与 的比叫做 ∠A的邻边b ∠A的余弦，记作cosA,即c0sA= 3.如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的 与 的比叫做∠A的正切，记作tanA,即tanA 【典型例题1】如图，已知Rt△ABC,∠C=90°，AB=5,BC=3,则下列结论正确的是 A.sinA B.cosB=4 C.tanA D.sinB=号 思路点拨：根据勾胶定理求出AC,再根据锐角三角函效的定义逐个判断即可 解析：在Rt△ABC,∠C=90°，AB=5,BC=3, AC=√AB-BC=√-3=4， nA-6-号osB=%-号A--子nB-S- 答案：D. 【跟踪练习1】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，那么cosA等于 A船 BAG c D.C 2.在Rt△ABC中.∠C=90°，AB=13,AC=5,则sinA的值为 A高 B号 c是 5 51 假期母器 QD·数学·九年级·上 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大5倍，则tanA的值 () A.不变 B.扩大5倍 C.缩小5倍 D.不能确定 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,AC=7,则sinB= 知识点二锐角三角比 锐角A的 统称为锐角A的三角比， 【典型例题2】如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,(O都在格点上，则∠AOB的正弦值是 () A.310 10 &号 c号 n震 解析：作AC1OB于点C.则AC=巨，A0V2+=V20=25,则sim∠AOB=AC=巨=四 A02510 答案：D 【跟踪练习2】 1,在R1△ABC中，∠C=90°，那么锐角A的正弦等于 ( A餐霜合的赞 B.锐角A的对边 C.锐角A的邻边 斜边 斜边 n瓷鼎个的器 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则 A.sinA=号 B.a=sinBXc C.cosA=b D.tanA=6 3.如图，已知正方形ABCD的边长为2.如果将线段BD绕者点B旋转后，点D落在CB 的延长线上的点D处，那么tan∠BAD'等于 X学法指导240 1.(1)正弦，余弦，正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此设有单位，只与角的大小有 关，而与直角三角形的边长无关， (2)sia,cosa,tana中，∠a的角的符号“∠”可以省略不写，但对于用三个大写字母和阿拉伯数字表示的角， 角的符号不能省略. (3)sina,cosa,tana都是完整的符号，如：不能把sina理解为sin·a,没有∠a,sin没有任何意义. (4)sina的意义是(sina)2,同样地，cosa=(cosa)产，tan2a=(tana)2. 2.锐角三角比一般都是在直角三角形中定义的，所以解答求三角比的问题时，需要借助于直角三角形进行.若 52 第2章解直角三角形 预习篇 锐角不在直角三角形中，可以通过作辅助线（一般是作垂线）构造直角三角形，使锐角成为某个直角三角形 的内角。 a自主检测4保 一、选择题 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4,AC=3,则sinB的值为 A号 c D.i 5 2.已知Rt△ABC中，∠C=90,sinA=3BC=10,则AB等于 A.26 B.32 C.24 D.12 3.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为 A P(3.m 第3题图 第5题图 第6题图 4.在△ABC中，∠C=90°，tanA=3,则sinA的值是 A是 B号 c.310 10 n 5.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3，m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切 值是专，则ine的值是 () A吉 B c n号 6.如图，点A为∠a边上任意一点，作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cosa的值，错误 的是 肥 B船 c把 D是 二、填空题 7.在R△ABC中，∠C=90,AB=15,inA=号那么BC 8.如图，在正方形网格中，∠ABO的正切值是 四、解答题 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b,c分别是∠A、∠B、∠C的对边 (1)已知c=23,b=6,求sinB: (2)已知c=12,simA=号，求. 53..CM=CF. .AB=CM. .CF=AB. (2):∠ADB=90-2∠ABD, 设∠ABD=a,则∠ADB=90°-7a ∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-a-(90°-7a) =90-70 ∠ADB=∠BAD. BDBA. 如图2，在FD的延长线上取点M,使FM=FC,连接CM. '∠DFC=∠ABD,BD=BA,FM=FC, ∴∠M=∠BAD=∠ADB=∠CDM .MC=CD-AD. 设MC=CD=AD=a. 由(1)知CF=AB, 图2 ∴.FM=BD. .DM=BF. AB=kAC ,∴.FM=CF=BD=AB=2ka. :∠ADB=∠M,∠BAD=∠CDM, ,'.△ABD∽△DCM. 品-提=法 ∴品-2k 六BF-DM-员 FD=BD-BF=2a-员= 4ak-a DE :BF =2k 4ak5-a=4e-1. 第2章解直角三角形 2.1 锐角三角比 知识点讲解 知识点一 1.对边斜边 ∠A的对边 BC 斜边 AB 2.邻边斜边 ∠A的邻边 斜边 AB 3.对边邻边 ∠A的对边 BC ∠A的邻边AC 【跟踪练习1】 1.B 2.B【解析】在Rt△ABC中，由匀股定理， 得BC=VaB-AC=12,sinA-6-景故选B 3A4话 知识点二正弦余弦正切 【跟踪练习2】 1.B 2.C【解析】在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C所对 的边分别为a,b,c, 94 国北有snA-吕，sinB-名osA-名nM-号， 故A不符合题意，C特合题意，D不特合题意： 由sinB=台，可得b=-sinBXc,故B不特合题意.故选C. 3.2 自主检测 1.B【解析】：∠C=90°，BC=4,AC=3, ∴AB=V3+4=5. snB-6-号故选B 2.A 3.D【解析】过点B作BD⊥AC,如图，由均股定理，得AB= √+3=√/10，AD=√2+2=22， aA铝得-华n 4.C【解析J:∠C=90°，tanA-B A元3， 设AC=x,则BC=3x, ∴.AB=√BC+AC-√I0五， BC.3x-310 ∴sinAAB/oz10 故选C, 5,A【解析】如图，过点P作PH⊥x轴于，点H, 点P是第一象限内的点，其坐标是(3，m), .OH=3.PH=m. ◆yP3.m 又，"OP与工轴正半轴的夹角a的正 初位是号中w開-手 -分m-4 01 根据勾股定理，得OP=5 Sng一-音故选A 6.C【解折1A在R△BCD中，o肥正境： BC B在Rt△ABC中，Oa=A是，正确： CD在R△McD中，：ZACD=,icow-是故C错 误，D正确，故选C 7.12【解析】∠C=90°， A-胎-青 BC-号AB-号×15-12 8.1 9.解：(1)：c=2√3，b=√6， sinB=66 c232 （2:x=12,snA=号-号 .a=4. ∴b=√e-a=8v2. 2.230°，45°，60°角的三角比 知识点讲解 知识点一 角度 数 30° 45* 60° 值 函数 1 sina 号 cosa tana 3 3 1 3 【跟踪练习1】 1.B2.C 3.等腰直角三角形 【解析1 (sinA--号)+anB-1=0, 2 (sinA- 2)=0,anB-1=0. sinA= 乞，tanB=1. 则∠A=45,∠B=45 ,∠C=90°，即△ABC是等腰直角三角形. 知识点二余（正）弦值cosB$inB 【跟踪练习2】 1A【御折通A-脂-音 .设BC=5x,AB=13x. 则AC=√/AB-BC=12x, 血B=福-路是-最北选A 2.70 3.解：1)0e0a(-60)=c060-号，角题错误， ②sin2x=sinx·cosx十cosx·sinr=2sinx·cosx,命题正确； ③sin(x-y)=sinx·cos(-y)+cosx·sin(-y》=sinx cosy一cosx·siny,命题正确. 故选②③. (2)①sin75°=sin(30°+45)=sin30°·cos45°+cos30°· in45=号×+5×-2+6-6+区 2人2T2人244 4 ②sin15°=sin(45-30)=sin45°·cos30°-cos45°·sin30° 4 自主检测 1.D2.C3.A4.A 5C【解折Aa=60,g-5>B,则y=a-号，B。 30,g45a<A则y=o9-号，C。-30g30a-A 则y=ina=zD.a=45,g=30,a>g则y=sia-号 2 故选C 6.5-E1.号82-1 9.解：(1)2sin30°-3tan45°·sin45°+4cos60 =2x号-3x1x号+4x号 -1-32+2 2 8-9 sin45° (2)cos30-an60+cos45°，sin60 2 9-5 =-2+6 34 9+9 10,解：由ma+15=号得。=45， 六原式=2-4×号-1+1+3= 2.3用计算器求锐角三角比 知识点讲解 知识点一度= 【跟踪练习1】 1.B2.B3.12.77 知识点二度副功能键2ndF= 【跟踪练习2】 1.D2.C3.B4.B 5.1.446.16°7.3849 8.解：(1)sinA=0.753,*∠A≈48.851 ,cosB=0.0832,.∠B≈85.227 ,tanC=45.8,.∠C≈88.749°. (2)sin1526'≈0.2661： c0s70≈0.3420： tan3125"≈0.0559. 自主检测 1.D2.C3.C 4.A【解析】求sin30的按使顺序是sin、30、=,A正痛：求 2的按健顺序是2、y☐、3、=，B错溪：求√⑧的按峡顺序 是□、8、=，C错误：已知sinA=0.5018,用计算器求锐 角A的大小，按使顺序是2nd国、sin、0.5018、■，D错 溪.故选A. 95