（九上预习篇）第1章 1.4 图形的位似-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（青岛版）

第1章图形的相似 预习篇 1.4图形的位以 学习目标g刚职…一 L了解位似图形、位似中心的概念，会根据所给图形按要求画出位似图形或找出位似中心： 2.会利用位似图形的性质解决问题： 3.会在坐标系中按要求缩放图形. 图知识点讲解% 知识点一位似图形 对应边 (或 )且每对对应点所在的直线都经过 的两个相似多边形叫做位似图 形， 叫做位似中心， 【典型例题1】如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：如图，根据住似图形的定义可知第1,2,4个图形是位似图形，而第3个图形对应，点的速线不能交于 一点，故位似图形有3个 答案：C 【跟踪练习1】 1.下列图形中不是位似图形的为 A D 2.如图中的两个三角形是位似图形，点M的坐标为(3,2)，则它们位似中心的坐标是 () A.(0,2) B.(0,3) C.(2,-1) D.(2,3) 知识点二位似图形的性质 1,如果两个多边形是位似图形，那么图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于 之如图所示，若△ABC和△ABC'是位似图形，且管=光=瓷=，那么 43 假期舒岗器 QD·数学·九年级·上 【典型例题2】如图，三角形ABC和三角形A'B'C是以点O为位似中心的位似图形，若OA:OA=3:4,三角 形ABC的面积为9，则三角形A'BC'的面积为 思路点拨：利用位似的性质得到AC:AC'=OA:OA'=3:4,再利用相似三角形的性质得到三角形 A'B'C'的面积. 解：，三角形ABC和三角形A'B'C是以点O为位似中心的位似图形，OA:OA'=3：4. .AC:A'C'=OA:OA'=3:4. 三角形ABC的面积为9， .三角形A'B'C的面积为16. 【跟踪练习2】 1.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在 () A.原图形的外部 B.原图形的内部 C.原图形的边上 D.任意位置 2.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍，得到△A'B'C',以下说法错误的是 A.BB':BO=2:1 B.△ABC△A'B'C C.AB∥A'B1 D.点C,点O,点C三点共线 3.已知A(2,3),B(3,1),将△OAB以点O为位似中心，相似比为1：2，放大得到△OA'B'.则点B的对应点 B'的坐标为 知识点三位似图形的画法 【典型例题3】如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点O是格点，△ABC是格点三角 形（顶点在网格线交点上），且点A:是点A以点O为位似中心的对应点. (1)画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△AB,C. (2)△ABC与△ABC的位似比为 A 0■ 思路点拨：（们）直接利用点A对应点位置结合位似中心得出点B,C对应点的位置： (2)利用所画图形，结合对应点与位似中心的距离得出位似比。 解：(1)如图所示，△ABC即为所求. (2)△AB,C,与△ABC的位似比为1：3. 44 第1章图形的相似 预习篇 【跟踪练习3】 1.如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB的顶点都在格点上，请在网格中画出 △OAB的一个位似图形，使两个图形以O为位似中心，且所画图形与△OAB的位似比为2：1. A 2.如图，在10×10的正方形网格中，点A,B,C,D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB'CD',使它与 四边形ABCD位似，且相似比为2. (1)在图中画出四边形AB'CD': (2)△ACD'是什么三角形？ 3.如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三 角形，例如△ABC是一个格点三角形. (1)在图①中，请判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由： (2)在图②中，以点O为位似中心，再画一个格点三角形，使它与△ABC的位似比为2：1. 0 图① 图② 知识点四坐标系中的位似变换 1,如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在x轴上，那么将这个多边形的顶点坐标分别扩大（或 缩小)相同的倍数，所得的图形与原图形是 是它们的位似中心. 2.在直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标，纵坐标都乘同一个数k(k≠0,1)，所对应的图形与 原图形位似，位似中心是，它们的相似比为 【典型例题4】如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心，把这个三 角形缩小为原来的2，可以得到△AB0,已知点B的坐标是(3,0)，则点A的坐标是 下B B 246 解析：点A的坐标为(24以原点0为位似中心，起这个三角形缩小为原来的号 点A的生标是(2×4×号）即1,2) 答案：(1,2) 45 假期母器 QD·数学·九年级·上 【跟踪练习4】 1,如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位 似图形ABCD,且点B,F的坐标分别为（一4,4），(2,1)，则位似中心的坐标为 () A.(0,3) B.(0,2.5) C.(0.2) D.(0,1.5) A D 第1题图 第2题图 2.如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：√2，点A的坐标为(1,0)，则 点E的坐标为 () A.(W2,0) B(受·) C.(2) D.(2,2) 3.如图，△ABC在正方形格纸中， (1)请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使A(2,3),C(6,2),并写出点B的坐标： (2)以坐标原点O为位似中心，相似比为2：1，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A:BC:, 并写出点A的对应点A:的坐标： (3)若线段AB绕原点O旋转90°后点B的对应点为B:,写出点B,的坐标. 祖学法指导40. 1.画位似图形的一般步骤：①确定位似中心：②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点：③根据相似 比，确定能代表所作的位似图形的关键点：④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形。 2.画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具 体问题要考虑画图方便且符合要求：由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不 唯一的 a自主检测24 一、选择题 1.如图所示，△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是 A.4 B.3 46 第1章图形的相似 预习篇 2.如图，四边形ABCD与四边形A'B'CD'位似，点O为位似中心，若OB:OB=2:3,则四边形ABCD与四 边形A'B'CD‘的面积比为 A.2:3 B.2:5 C.4:9 D.4:25 第2题图 第4题图 3.已知△ABC和△A'B'C‘是位似图形.△A'B'C'的面积6cm,周长是△ABC的一半.AB=8cm,则AB边 上的高等于 () A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 4.如图，△ABC的两个顶点B,C均在第一象限，以点A(0,1)为位似中心，在y轴左侧作△ABC的位似图形 △ADE,△ABC与△ADE的相似比为1：2.若点C的纵坐标是m,则其对应点E的纵坐标是 () A-m+3 2 B.2m+3 C.-(2m+3) D.-2m+3 5.在平面直角坐标系中，已知点A(一4,2)，B(一6，一4)，以原点0为位似中心，相似比为2，把△AB0缩小， 则点A的对应点A'的坐标是 () A.(-2,1) B.(一8,4) C.(-8,4)或(8，-4)D.(-2,1)或(2，-1) 二、填空题 6.如图，△DEF与△ABC位似，点O为位似中心，已知OF:OC=1:2,则△DEF与△ABC的周长之比是 第6题图 第7題图 第8题图 7,如图：四边形ABCD与四边形EGH位似，位似中心点是点O,-号则 BC 8.如图，点E(一6,2)，F(一2，一2)，以原点O为位似中心，相似比为1：2，把△EFO在y轴右侧缩小，则点E 的对应点E,的坐标为 9.在平面直角坐标系中，已知A(一3,3)，B(一6,0)，以原点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得 到线段A'B',则A'B的中点坐标是 三、解答题 10.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（一3，一1），顶点B,C都在小正方形的格点上 (1)点B的坐标为 ,点C的坐标为 (2)以原点O为位似中心，在所给的网格中画出一个△A,B,C,使得△A,B,C与△ABC位似，且相似比 为2：1. 47腮品 是即十 ,AB∥DE, '.△DEC△ABC. 带肥 瓷卧F CE学n故选D 3.解：(1)证明：四边形EFGH为矩形 .EF∥GH. .∠AHG-∠B. 又，∠HAG=∠BAC, '.△AHG△ABC. 0肥 (2)设HE=x,则HG=2x,AM=AD-DM=AD-HE 30-,由（1.得20-需 解得x=12,2x=24. ,.矩形EFGH的周长为2×(12+24)=72(cm). 知识点二相似比的平方 【跟踪练习2】 1.C【解析】：△ABC的各边长分别为2,5,6.与其相似的 另一个△A'B'C的最大边为18， ,∴，两三角形的相似比为6：18=1：3 ,△ABC与△A'B'C‘的面积比m(113)2=119,故选C 2.C【解析】如图，作AM1BC于点M,交DE于点N, :点D,E分别是AB,AC的中点， ∴DE∥BC,DE=BC D '.△ADE∽△ABC ÷AN=号AM ,,△ADE的而积=△DEF的面积=1 .△ADEC∽△ABC. ∴.△ABC的面积=4. '.四边形DECB的面积=4一1=3. 故选C 3解：0器-号 ·△DEF的周长=12X 3 =8(cm). 器-号 六△DEF的面积=0×（号）广-号(am). 自主检测 1.A2.D3.D 4.D【解析】'，△ABE∽△CBA, ..AB:CB=BE:BA. AB=BE·BC,故A选项的结论正确： ,△ABE△CBA, 90 ∴.∠BAE=∠C,∠AEBm∠CAB. AD=AE. ∴.∠ADE=∠AED ∠ADE=∠CAB. :∠ACD=∠BCA. .△CAD∽△CBA ∴.CD:CA=AD:BA. 即CD·AB=AD·AC,故B达项的结论正痛： △ABE∽△CBA,△CADP△CBA, ∴.△CADX∽△ABE. ..AD:BECD+AE. 中AD·AE=CD·BE ADAE. AE=CD·BE.故C选项的站论正确： '△ABE△CBA, .AB+CB-EA:AC. .AB·AC=EA·CB :AE=CD·BE,AE≠CB, .AB·AC≠BE·CD.故D选项的结论不正确.故选D. 5.C【解析】根据相似三角形的相似北求得项点到这个正方 形上面边的矩离，再根据炬形的宽求得是第几张。已知剪得 的纸条中有一张是正方彩，剿正方形中平行于底边的长是 3,所以根据相似三角形的性质可设从顷点到这个正方形的 上通边的距离为，则音-克解得一45，所以芳一段 长为22.5一4.5=18，因为18÷3=6.所以是第六张，故 选C, 6.75©m2【解析】两相做三角形的相似比为3：5， ,两相似三角形的面积比为9125。 面积和为102cm2, 102 六较大三角形的而积十25×25=75(cm): 7.60【解析】设△DEF的最长边为r,最短边为y, 依题意，则有/·y=8:5, x-y=9, 解得r=24y=15. ∴.△ABC和△DEF的相似比为1：3，周长比也是1：3. ,△ABC的周长=5+7+8=20， ∴.△DEF的周长为60 8.22.5 9.证明：：AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C‘的中线， :.BD-7 BC.B'D'-78C'. ,△ABC△A'B'C. AB BC 2BD BD ·∠B=∠B,常-B0-2BD“BD .△ABD△A'B'D' AD:A'D'=AB:A'B' 1.4图形的位似 知识点讲解 知识点一互相平行共线同一点这个点 【跟踪练习1】 1.B【解析】对应顶点的连线相交于一，点的两个相似多边形 叫位似图形，根据位似图形的概念，A,C,D三个选项中的 两个图形都是位似图形：B中的两个图形不符合位似图形 的概念，对应边不平行，放不是位似阁形。故选B 2.A ,点C的坐标为(0,4)，点G的坐 知识点二 标为(0,1). 1位似比2器瓷女 .CG=3. ,BC∥GF 【跟踪练习2】 1.D 熙能 2.A【解析】，以点O0为位似中心，把△ABC放大为原来的 .GP=1,PC=2. 2倍，得到△A'BC, 点P的坐标为(0,2).故逃C ∴.0B'=2OB. 2.C【解析】：正方形(OABC与正方形ODEF是位似围形， BBBO=3t1,所以A选项的说法错误： O为位饭中心，相奴比为112，，OAOD■112. ,△A'B'C和△ABC为位似图形，住似中心为点O. 点A的坐标为1.0).抑0A=1,∴.OD=√2. ∴.△A'BC'△ABC,AB∥A'B',点C,点O,点C三点共 四边形ODEF是正方形，DE=ODm√2， 线，所以B,C,D选项的说法正确.故选A 3.(6,2)或(-6，-2) ∴点E的坐标为(w22),故选C, 知识点三 3.解：(1)建立平面直角坐标系，如图所示， 【跟踪练习3】 由图形可得B(2,1). 1.解：如图所示，△A'OB即为所求 (2)如图所示，△ABC即为所求，由图形可得A(4.6). (3)线段AB绕原点O顺时针（或逆时针）旋转90后点B 的对应点B:的坐标为(1，一2)或（一1,2）. 2.解：(1)如图所示，四边形AB'CD'即为所求。 自主检测 1.A (2):A(C4=+8=16+64=80,AD=62+2=36+4 2,C【解析】.四边形ABCD与四边形AB'C‘D'位似， =40,C'D=6+2=36+4=40, ,四边形ABCD四边形A'B'CD',AB∥A'B' ∴.AD=CD',AD+CD'#=AC ∴.△O0AB∽△OA'B'. ,'△ACD'是等腰直角三角形. 同理△OBC△OB'C',△OCDn△OC'D'. 3.解：(1)相似，理由如下： ,AB=1,BC=/1+2=/5,AC=2+2=2√2. ∴--号 四边形ABCD与四边形A'B'CD'的西积比=（官） AB DE=/+I下=z,EF=/T+3=0,DF=4, 提清器亮方部-方 一专，故选C 提器架 3.B【解析】由题意知△ABCc△A'B'C,△A'B'C的周长 是△ABC的一半，.△ABC与△AB'C的相椒比为2t1. ∴.△ABC∽△DEF Sar=4S△mr=24cm..AB边上的高等于6cm.故 (2)如图②，△ABC即为所作， 达B. 4.D【解析】设，点C的拟坐标为m,削A,C间的拟坐标的长 度为(m一1)， △ABC放大到原来的2倍得到△ADE。 .E,A间的拟坐标的长度为2(m一1) A B .点E的纵坐标是-[2(m一1)-1门=-(2m一3)=-2m+3. 图2 故这D, 知识点四 5.D【解析】：点A(一4,2)，以原点O为位似中心，相似比 1.位似图形坐标原点2.坐标原点k 为 【跟踪练习4】 1.C【解析】如图，连接BF交y抽于点P, ·点A的对应点A'的坐标是（一4×豆2×7）或 ,四边形ABCD和四边形EFGO是矩形，点B,F的坐标 分别为（一4,4），(2,1). (-4×(支)2×(-支) 91 即(-2.1)成(2，-1). 故选D, 州怨别州-品 6.112 兴故选Dn 7.号【解析：四边形ABCD与回边形EFGH位似， 7.C【解析】作AH⊥ED交FC于点G, '.△OEF∽△(OAB.△OFG△OBC 如图所示。 膘器-是股器 :FC1BD,ED⊥BD,AH⊥ED. .FG∥EH. 8.(3,一1)【解析】：以原点O为位似中心，相似比为1±2， :AH⊥ED,BD⊥ED,AB⊥BC,ED⊥BC 把△EFO在y轴右侧缩小，E(一6,2)， ..AH=BD.AG=BC. “点E的对盘点五的全标为(6X号一2X)中3，-》 ABm1.6.FC=3.2,BC=1,CD=5, .FG=3.2-1.6=1.6,BD=6. 9.(-9,3)或(9，-3)【解析】：点A的坐标为(-3,3)，点B ,FG∥EH. 的坐标为（一6,0）， A出的中点坐标为（昌，受） 爵治品言 解得EH=9,6. 以原，点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得 .ED=9.6+1.6=11.2(m》 到线段AB', ,就杆的高度为11.2米，故选C, ∴4的中点坐标为(-号×22×2)我（号×2.-号×2 8.D【解析】短形OAB,C与矩形OABC似，矩形 即（一9,3）或(9，一3). OA,B,C的面积等于矩彩OABC面积的2， 10.(1)(1,2)(-2,3) ,矩形OA1BC与矩彩OABC的相奴比为1√2. (2)如图，△AB,C即为所求作. 矩形OA,B1C与矩形OABC位似，位似中心是原点O, 点B的坐标为(8,6)， “点B的坐标为8×号6×号)或(-8×号，-6×号. 即(4√2,32)成（一4√2，一32）.故选D 9.3:510.2.511.8或2 12.音【解析r∠CBD=∠A,∠C=∠C ∴.△ABC∽△BDC 照畏导 章未预习自测 .铰CD=2r,BC=3.x 1.B2.B 3.C【解析】，△ABC与△DEF是位似图形， 景 .AB∥DE ∴AC-号 ∴.△OAB∽△ODE ∴提8器牌=言 AD=AC-CD=号 解得DE=9.故选C, 4.C【解析】'∠DBC=∠A.∠C=∠C, ,'.△CBD∽△CAB. 13.6【解析】根摇题意知，∠AFE=∠BGD=∠C=90, 需漂中 .∠A=BDG(同角的余角相等). √3 .△AEF△DBG. .CD=2.故速C 能需 5.C【解析】设较大多边形与较小多边形的周长分别是mem, 又EF=IDG,AF=4,BG=9, 因而n-号m .EF=6,即正方形铁皮的边长为6. 62 根%面款之和是80cm,得到m十号m=80, 14.1-(是) 【解析】，DE∥BC, 解得m=48 ∴.△ADE,△ABC 故达C, .DE AD1 BC AB 4 6.D【解析】：DE∥BC ÷品-瓷.△AD△ABN,△AMEO△ANC D,E=BC.D,B=子AB 92