（九上预习篇）第1章 1.3 相似三角形的性质-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（青岛版）

:∠COD=∠AOB, '.△AOB∽△COD. .CD:AB-OC+OA=11 2. .CD=10 mm, ∴.AB=20(mm) ,.2x+20=25. ∴.x=2.5(mm). 故选B 2.1,5【解析】知图，DE∥BC,∴△ADE△ACB,脚CB DE 福别-5A-15m 4 0.8m 4m E 3.5m B 3.8【解析】'，∠ABC=∠DBE, ∠ACB=∠DEB=90°， ∴.△ABC△DBE. ..BC:BE=AC:DE, 即115=1.6tDE. ∴.DE=8m 自主检测 1.C【解析】在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC, 如果△ADCn△BAC,需满足的条件有①∠DAC=∠ABC 或AC是∠BCD的平分线： ®铝瓷t选C 2.D【解析】，BD⊥AC,AE LBC, ∴∠BDC=∠AEC=90. ·∠DBC+∠C=∠EAC+∠C=9O° ∠DBC=∠EAC .△ACEn△BCD 又：∠ADF=∠BDC=9O°， '.△AFD∽△BCD :∠FBE=∠DBC,∠BEF=∠BDC=9O, '.△BFE∽△BCD. ',一定与△BCD相很的是△BFE,△AFD,△ACE, 故不一定与△BCD相权的是△BAE 故选D, 3.A【解析】如图①，：∠A=35°，∠B=75°， ∠C=180°-∠A-∠B=70°. :∠E=75,∠F=70°， ∠B=∠E,∠C=∠F '.△ABC∽△DEF: 35 如图②，，OA=4,OD=3,OC=8,OB=6, %-器 '∠AOC=∠DOB, .△AOC∽△DOB 故速A. 4.B【解析】①号三角形的边长分别为5，√0,5：②号三角 形的边长分别为5,2√2，√/17，③号三角形的边长分别为 √2,2，/I0:④号三角形的边长分别为√2，√5,3：对应边成 比例的是①和③.故选B 5.∠A=∠CBD或∠CDB=∠ABC(答案不难一). 6.2.5【解析】设树高为h来， :同一时刻物高与形长成正比， .1.512.4=h14, 解得h=2.5. 7.(一1,0)或(1,0)【解析】，点A的坐标为(4,0) A0=4. 点B的坐标为(0,2) .OB=2. 若△BOC∽△AOB, 则器-8器中竖-是 .OC=1. 故点C的坐标为（一1,0）或(1,0) 8.证明：，∠1=∠2， :∠I+∠BAE-∠2+∠BAE,即∠DAE-∠BAC. ∠AED=∠C, ∴.△ABC△ADE 9.解：如图，连接AB交直线OC于点E,得AB⊥OC,AE=BE .OC=√/OD+CD=/24+10=26(mm). .∠AOE=∠COD. ∠OEA=∠ODC=90°， ,'.△OAEC∽△OCD. 5-瓷甲-器 ∴AE-15mm. ..AB=2AE=30 mm. 10.解：(1)△ABC和△DEF相似 恨据勾骰定理厘，得AB=2√5，AC=√5，BC=5,DE=4√2， DF-22,EF-2√10. 提器器= 4 ',△ABC∽△DEF, (2)答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个即可 △DPPs,△PsP4F,△DPP,△PsP4D,△PPsP △FDP. P✉ 1.3 相似三角形的性质 知识点讲解 知识点一 L,相似比2.相似比 【跟踪练习1】 1.A 2.D【解析】，BC∥DF, 89 膘器品 是脉 ,AB∥DE, .△DEC∽△ABC 器光 暖脉 BE “CE=0故达D, m十 3.解：(1)证明：：四边形EFGH为矩形， .EF∥GH. .∠AHG=∠B. 又，∠HAG=∠BAC '.△AHG∽△ABC. 器肥 (2)设HE=x,则HG=2x,AM=AD-DM=AD-HE= 30-,由（0)，得00-若 解得x=12,2x=24. .矩形EFGH的周长为2×(12+24)=72(cm). 知识点二相似比的平方 【跟踪练习2】 1.C【解析】：△ABC的各边长分别为2,5,6，与其相似的 另一个△AB'C的最大边为18， ,.两三角形的相似比为618=1：3. ,△ABC与△AB'C的面积比=(113)=1t9.故选C 2.C【解析】如图，作AM」BC于点M,交DE于点N, ,点D,E分别是AB,AC的中点， ∴DE∥BC,DE=吉BC D .△ADE∽△ABC .AN-TAM. B ∴.△ADE的面积=△DEF的面积=1 .'△ADEn△ABC. 4 .△ABC的面积=4， ,',四边形DECB的面积■4一1■3. 故选C 3屏：0D器-号 △DEF的周长=12X号 =8(cm)】 2器-号 ÷△DEF的面积=0×（号）'-智(em. 自主检测 1.A2.D3.D 4.D【解析】'：△ABE∽△CBA, ..AB:CB=BE:BA. ∴，AB=BE·BC故A选项的结论正确： △ABE∽△CBA, 90 ∴∠BAE=∠C,∠AEB=∠CAB. AD=AE. ·∠ADE=∠AED ∴.∠ADE=∠CAB :∠ACD=∠BCA, .△CAD∽△CBA. .CD:CA=AD:BA. 即CD·AB=AD·AC,故B选项的结论正确， '△ABE∽△CBA,△CAD∽△CBA, .△CADn△ABE. ..AD:BE=CD:AE. 即AD·AE=CD·BE AD■AE, .AE=CD·BE.故C选项的结论正确： △ABEn△CBA, .AB÷CB=EA:AC .AB·AC=EA·CB :AE=CD·BE,AE≠CB, .AB·AC≠BE·CD.故D选项的结论不正确.故选D, 5,C【解析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方 形上面边的距离，再根据矩形的宽求得是第几张。已知剪得 的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的长是 3,所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的 上面边的距离为工，则音元5解得工=45，所以另一段 长为22.5一4.5=18，因为18÷3=6，所以是第六张，故 选C. 6.75cm2【解析】两相似三角形的相似比为3：5， ,.两相似三角形的面积比为925。 面积和为102cm2, :较大三角卷的面软=g受×25=75(em)。 7.60【解析】设△DEF的最长边为x,最短边为y, 依题意，则有/：y=8:5, 1x-y=9, 解得x=24,y=15. ∴△ABC和△DEF的相似比为1：3，周长比也是1：3. △ABC的周长=5+7+8=20， .△DEF的周长为6O. 8.22.5 9.证阴：：AD,A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线， ∴BD=2BC,BD'=合B'C. △ABC∽△A'B'C', B=∠，0器-器器-器 .△ABD∽△A'B'D'. ∴.AD:A'D'=AB:A'B 1.4图形的位似 知识点讲解 知识点一互相平行共线同一点这个点 【跟踪练习1】 1,B【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形 叫位似图形.根摇位似图形的就念，A,C,D三个选项中的 两个图形都是位似图形：B中的两个图形不符合位似图形 的概念，对应边不平行，故不是位似图形，故选B.第1章图形的相似 预习篇 10.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上， (1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (2)P1,P2,Pa,P4,P,D,F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶 点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明 理由). 1.3相似三角形的性质 汉学习目标g刷Q 1.知道相似三角形的对应高、中线、角平分线等成比例，并会运用求值： 2.知道相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并会运用求值。 图知识点讲解23%wG 知识点一相似三角形对应线段的比等于相似比 1.相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 2.相似三角形周长的比等于 【典型例题1】Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,E分别为边AB,BC上的点，且CD=CA,DE⊥AB,求证：CA =CE·CB: DC_CE 思路点拨：通过证明△DCE∽△BCD,可得C=CD,从而得出结论， 证明：(1)，DE⊥AB, ·∠EDB=∠ACB=90°. ∴.∠A+∠B=90°=∠B+∠DEB. ∴.∠A=∠DEB. CA=CD, ∴.∠A=∠CDA. ∴∠CDA=∠DEB. ∴.∠CDB=∠CED. 又，∠DCE=∠BCD, 39 假期成器 QD·数学·九年级·上 ,△DCE△BCD. 器带 ∴.CD2=CE·CB. .CA2=CE·CB. 【跟踪练习1】 1.若△ABC∽△DEF,相似比为3：2，则对应高的比为 A.3:2 B.3:5 C.9:4 D.4:9 2.如图，AB∥DE,BC∥DF,已知AF:BF=m:n,BC=a,那么CE等于 A.am B.an n C.am D.an m十见 m十 3.如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上 剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上，顶点G,H分别在AC,AB上， AD与HG的交点为点M. 4求证0肥。 (2)求这个矩形EFGH的周长. 知识点二相似三角形面积的比等于相似比的平方 【典型例题2】某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上，下两底分别为10m,20m的梯形空地上种 植花木，如图所示，AD∥BC,AC与BD相交于点M.他们在△AMD和△BMC上种植太阳花，单价为 8元/m,当△AMD上种满花后，花了160元，请计算种满△BMC所需的费用. 10mD 20m 思路点拨：由四边形ABCD是梯形，AD∥BC,可得△AMD与△CMB相似，进而根据面积比等于相似比 的平方，求出两个三角形的面积比，结合已知中△AMD上种满花后，花了160元，即可得到种满△BMC 时所需的费用。 解：四边形ABCD是梯形，AD∥BC,△AMD∽△CMB. AD2_1 ,种满△AMD花费160元， ∴.种满△BMC所需的费用为160×4一640（元）. 40 第1章图形的相似 预习篇 【跟踪练习2】 1.已知△ABC的各边长分别为2,5,6，与其相似的另一个△AB'C的最大边为18，则△ABC与△A'B'C的 面积比等于 () A.1:3 B.1:6 C.1:9 D.4:9 2.如图，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC的中点，连接DE.过点D作DF⊥BC于 点F,连接EF.若△DEF的面积为1，则四边形DECB的面积为 ( A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知△MBC△DEF,碧器-号△MBC的周长是12cm,面积是30em, (1)求△DEF的周长： (2)求△DEF的面积. 为学法指导私240 熟记相似三角形的性质，在应用相似三角形的性质时，首先根据判定定理证明三角形相似，再利用相似三 角形的性质求解问题. a自主检测24g 一、选择题 L.已知△ABC∽△DEF,AB=3,DE=5,则△ABC与△DEF的面积之比为 A易 B号 c号 2.如图，已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列等式一定成立的是 As-司 B.∠A的度数-1 ∠D的度数2 c公品鹤爵餐-号 n会0翻周- 3.已知△ABC与△DEF相似，又有∠A=40°，∠B=60°，那么∠D不可能是 A.40 B.60 C.80° D.100 4.如图，已知在△ABC中，点D,E是边BC上的两点，连接AD,AE,且AD=AE,如果 △ABE∽△CBA,那么下列等式错误的是 () A.AB=BE·BC B.CD·AB=AD·AC C.AE=CD·BE D.AB·AC=BE·CD 假期侣成器 QD·数学·九年级·上 5.一张等腰三角形纸片，底边长15cm,底边上的高长22.5cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的 矩形纸条，如图所示，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是 () 第2张 ←第1张 A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张 二、填空题 6.两相似三角形的相似比为3：5，它们的面积和为102cm2,则较大三角形的面积为 7.已知△ABC与△DEF相似，如果△ABC三边长分别为5,7,8，△DEF的最长边与最短边的差为9，那么 △DEF的周长是 8.如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆 小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在 这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米 北岸 南岸 三、解答题 9.如图，△ABC∽△A'B'C',AD,A'D'分别是它们的中线，求证：AD:A'D'=AB:A'B' 42