（九上预习篇）第2章 直角三角形的边角关系 章末预习自测-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（鲁教版五四学制）

∴.C=AD=62m 在R△ABC中，an∠EAC-是， 别AE= EC .62 an∠EAcQ.37=200(m. 在Rt△AEB中，∠BAE=45°， ..BE=AE=200 m. ∴.BC=200+62=262(m). 则该建筑的高度BC约为262m 故选C 4.180【解析】如图，过点A作AD⊥BC,交CB的是长 点D 由题意可知∠DAB=30°，∠DAC=60°， ∴∠ACB=∠BAC=30° ..AB-BC. 设BD=xm, ∴.AB=2xm .BC=AB-2x m. ..CD=BC+BD=3x m. 由题意可知CD=270m, ∴.3x=270. .x=90. ,∴.BC=2x=180m 5.16.5【解析如图，过点F作AB,CD的垂线，垂足为G,1 a.45 239 50m 设AG=xm,则有DH=xm “品+岛=C “tan23°-50-王 解得x15.0. ,.AB=x+1.5=16.5(m) 6.解：如图，延长BE交CD于点G,交CF于点H 在Rt△DEG中，∠EDG=45°， '.EG=DE=10m,∠EGD=45° 设CHxm, 在Rt△CGH中，∠CGH=∠EGD=45, ∴GH=xm 在Rt△CBH中，∠CBH=28°， ∴tam∠CcBH-器，即an2g30+io+子 解得x≈45. 经检验，x≈45符合题意. ∴.灯塔的高CF=45十10=55(m). 82 B-28 7.解：如图，延长ED交BC的延长线于点F,则∠CFD=90°， 'an∠DCF=i= .∠DCF=30° 于 :CD=4米，DF=2CD=2(米， CF=CD·cos∠DCF=4x号=23（米）. 2 :.BF=BC+CF =23+23=45(米). 过点E作EG⊥AB于点G, 则GE=BF=43米，BGEF=DE+DF=1.5十2= 3.5(米)， 又，'∠AEG=37, .AG=GE·tan∠AEG=4W3Xtan37 则AB=AG+BG=4W3×tan3产+3.5≈(3/3+3.5)米. 故旗杆AB的高度约为(33十3.5)米. 章未预习自测 1.B【解折1A2sn45°=2x号-反<2，R4os60=4X号 2 =2C.一2<0：D.<1,通过比较发现B中的致最大.故 选B 2.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC于点D. AD 2 在R△ABD中，a∠ABC=BD=兰 3.B【解析：∠C=90°，∠A=60°， 六∠B=30,对nA十omB=号+号-E. 2 故选B 4.C【解析】如图，根据題意作出图形 四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°，AD∥BC ∠EAD=∠ACB. 在△ABC与△AED中，：∠ABC=90°，DELAC于点E, .∠BAC=∠ADE=a ∴oe=os∠BAC-A提-是 AC-- AB 210 8∠BAC3-3 5 故选C 5.A【解析】设斜城坡角为a 坡度为=1：3， ∴.tana■ ?m时-9且6为机角. a=30 故选A 6.C【解析】如图，连接BD DE⊥AB,DF⊥BC,DE=DF=√3， .BD平分∠CBA. ,.∠DBE=30°. “BE=DE÷tan30-3÷及=3， 故选C 7.B【解析】在R△ABC中，an∠ABC-AC, BC tan28.2"=元 ∴，BC= tan28.2 故选B 8.D【解析】三边的长度都扩大为原来的3倍， 则所得的三角形与原三角形相似， .锐角A的大小不变 ,锐角A的余弦值不变 故选D. 久.号【解析】如图，过点P作PBLz轴于点B, :点P的横坐标为3，sina=方， 4 ∴.OB=3.设PB=4x,则OP=5x 在Rt△OPB中，由勾股定理，得3十(4x)2=(5x), 解得x1, ∴PB=4,aa-器- 10.(3+V3)cm 【解析】如图，过点C作CD⊥AB,交AB 点D. :∠B=45, ∴CD=BD .BC=/6 cm, ∴.BD=√3cm ∠A=30,tan30°-C2 AD AD= CD tan30 _=3(cm. 3 ∴，AB=AD+BD=(3+√3)m 11.等边【解析】： A-+(aB广=o, sinA-3 =0, 解得 n4= 2 cosB-0. coaB- 在△ABC中，∠A,∠B都是锐角， .∠A=∠B=60. .∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°， ,△ABC是等边三角形. 12.20√5【解析】如图，由题意得∠C=90°，AB=100米， 设AC=x米，则BC=2x米， 由勾股定理，得AB=√AC+BC, 即√x+(2x)F=100. 解将x=205.则AC=205米， 即他上升的高度是20/5来. B 13.(30-103)米【解析】如图，延长CB,AD交于点F,作 DE⊥BF于点E. 小明在点A观察，点D的俯角为30°，在点A观察，点B 的俯角为45°， .∠AFC=30°，∠ABC=45..AC=BC=30米， ∴.在R△ACF中，CF=303米，BF=(303-30)米. 又坡面BD的坡度为11√3， 剥m<DF-清-9 .∠DBF=30 ∴.∠DBF=∠DFC,∠BD=DF DE⊥BF,∴BE=EF 设DE=x米，则BE=EF=√3x米，BD=2x米， ∴.BF=2x米， .2√3x=30/3-30. 解得x=15-53. .BD=2x=(30-10/3)米 水塘 14.1003 【解析】如图，过点P作PC⊥AB于点C 西东 730° 60 由题意可知∠PAC=60°，∠PBC=30. 在R△PAC中·AC C =tan∠PAC=tan60°， 83 PC 在Rt△PBC中，C=tan∠PBC=tan30, ∴BC-S-BPG :AB=AC+BC=5PC+5PC-10X40=400. 3 ∴PC=100√3（米）. 15解：①原式=合×号-5+3×号 --3+ 1-2×1 (2)原式= =3-2 3 =6+33. 16解：7nM-号∠A-60 .∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-75=45. .coC-4s 17.解：如图，在河北岸取点D,过点A作AE⊥CD于点E,过 点B作BF⊥CD于点F D E 609 设河宽为x米，则AE=BF=x米. 依题意得EF=AB=10米，∠CAE=60°，∠CBF=30° 在R△ACE中，m∠CAE-是， 即tan60=CE x 解得CE=xtan60°=√3x(米. 则CF=CE-EF=(W3x-10)米. 在R△BCF中，∠CBF-票， 即tan30°-5x-10 x 解得x=53. 所以根据学习小组的测量数据计算出河宽为5√3米 18.解：如图，过点A作AE⊥BC于点E. '∠ADE=45, ∴△ADE为等腰直角三角形. 设AE=DE=xm CD=8 m ,∴.CE=CD+DE=(8+x)m. 又：在R△ACE中，∠C=30, .tanC-AF_13 CE 3' 即希-9 解得x=4V√3十4. ,.AE=4v3+4≈10.92(m). 84 又，'在Rt△ABE中，∠B=75°， 5”-福07 AB=5≈il.3m ∴.该树倾斜前高度约为11.3m 19.解：(1)，扶梯AB的坡度为1：√3， .AD1BD=1t√3，即BD=3AD. 在Rt△ADB中，：AD+BD=AB, .AD+3AD=10 解得AD=士5. -5不合题意 ∴.AD=5m. (2)在R△ACD中，in∠ACD=A. AC Ac品*g6≈1a.2m 改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m 20,解：(1)如图，在点A的正西方向上取点E,在点A的正北 方向上取点H,过点A作AD⊥BC于点D,作CG∥AE 交AD于点G,在点C的正北方向取点F B 东 :乙船沿东北方向前进， ∠HAB=45 ∠EAC=30°. ,.∠CAH=90°-30°=60° .∠CAB=60°+45=105 .'CG∥EA, ∴.∠GCA=∠EAC=30° ,∠FCD=75, ∴.∠BCG=15,∠BCA=15+30°=45. ∴∠B=180°-∠BCA-∠CAB=30 在Rt△ACD中，∠ACD=45°， AC=2×152=30w2(千米). AD=AC·inM5=302×2 2 =30(千米). CD=AC·cos5=30E×号-30（千米）. 在R△ABD中，∠B=30°，则AB=2AD=60(千米). 则甲船从C处追赶上乙船的时间是60÷15一2=2（时）. (2BD=品 =30W3(千米)，BC=CD+BD=(30+ 305)千米. 则甲船追赶乙船的速度是 (30+30W3)÷2=(15+15/3)千米/时.假期母留宠 ·数学·九年级·上 章末预习自测 (时间：60分钟满分：100分) 一、选择题（每小题3分，共24分） L1.实数2sin45,4cos60°，一2，开四个数中，最大的数是 A.2sin45 B.4cos60° C.-2 D. 2.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC等于 A号 B9 c n号 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则sinA+cosB的值为 A B.3 C1+3 2 n 在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E,设∠ADE=Q,且cOa=号AB=2,则AC的长为 A号 A c. n号 5.某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度=1：3，则这个斜坡坡角为 () A.30° B.45 C.60 D.90° 6.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，D为AC的中点，DE LAB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且DE=DF= √3，则线段BE的长为 () A.3 B.2 C.3 D.23 第6题图 第7题图 7.如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱AC高为a.已知冬至时北京的正午日光的人射角 ∠ABC=28.2°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为 () A.a·sin28.2 a B.an28.2 C.a·cos28.2 D.cos28.2 8.把Rt△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值 A.扩大为原来的3倍 A箱小为原来的 C.扩大为原来的9倍 D.不变 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.如图，P是∠。的边OA上一点，且点P的横坐标为3，sia=专，则taa= 56 第二章直角三角形的边角关系 预习篇 10,如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，BC=√6cm,则AB的长为 L.在△ABC中，若nA-号+(osB-号）广=0，则△ABC是 三角形. 12.某人沿坡度是1：2的斜坡走了100米，则他上升的高度是 米. 13.如图，AC是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以BD为坡面的斜坡，小明在点A观察点D的附 角为30°，在点A观察点B的俯角为45，若坡面BD的坡度为1：√3，则BD的长为 水塘 14.水务人员为考察水情，乘快艇以每秒10米的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶.如图所示，在A 处测得岸边一建筑物P在A的北偏东30方向上，继续行驶40秒到达点B处，测得建筑物P在B的北偏 西60方向上，则建筑物P到航线AB的距离为 米 西LL东 北 60 三、解答题（共52分） 15.(8分)计算： (1)sin30°×cos45”-tan60°+3tan30°： (2)sin30°-2an45 c0s30°-1· 16(6分)在锐角三角形ABC中，若nA=号.∠B=75,求coC的值 17.(8分)如图，为测量一条河的宽度，某学习小组在河南岸的点A处测得河北岸的树C在点A的北偏东60 方向，然后向东走10米到达B点，测得树C在点B的北偏东30°方向，试根据学习小组的测量数据计算 河宽. 50 假期母阅宠 ·数学·九年级·上 18.(8分)如图，某校一棵大树发生一定的倾斜，该树与地面的夹角∠ABC=75°.小明测得某时大树的影子顶 端在地面C处，此时光线与地面的夹角∠ACB=30°：又过了一段时间，测得大树的影子顶端在地面D处， 此时光线与地面的夹角∠ADB=45°，若CD=8米，求该树倾斜前的高度（即AB的长度）.（结果保留一位 小数，参考数据：sin75≈0.97，cos75≈0.26，tan75≈3.73w3≈1.73) 19.(10分)某商场为方便消费者购物，准备将原米的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图所示，已知 原阶梯式自动扶梯AB长为10m,扶梯AB的坡度i为1：√3.改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为 15. (1)请你求出AD的长度； (2)请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度.（结果精确到0.1m.参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈ 0.97.tan15≈0.27) 20.(12分)如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼.甲船以每时15√2千米的速度沿西偏北30°方向前 进，乙船以每时15千米的速度沿东北方向前进.甲船航行2时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上， 于是甲船快速（匀速）沿北偏东75的方向追赶，结果两船在B处相遇. (1)甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ (2)甲船追赶乙船的速度是每时多少千米？ 58