小专题4 解直角三角形常见的数学模型应用-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学随堂小练习(鲁教版)

小专题 ４　解直角三角形常见的数学模型应用 一、“背靠背”型 这种类型的特点是两直角三角形是并列关系，有公共直角顶点和一条公共直角边，其 中，这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介，如图所示． １．如图，在海拔为２００ｍ的小山顶Ａ处，观察Ｍ，Ｎ两地，俯角分别为３０°，４５°，则Ｍ，Ｎ 两地的距离为 （　　） 槡Ａ．２００ｍ　　　　　Ｂ．２００３ｍ　　　　　Ｃ．４００ｍ　　　　　Ｄ．２００（槡３＋１）ｍ 第１题图 　　　　　　 第２题图 ２．如图，校园内有一株枯死的大树，距树１２米处有一栋教学楼，为了安全，学校决定砍 伐该树，站在楼顶处，测得点Ｂ的仰角为４５°，点Ａ的俯角为３０°，小青计算后得到如 下结论：①ＡＢ≈１８．８米；②ＣＤ≈８．４米；③若直接从点 Ａ处砍伐，树干倒向教学楼方 向会对教学楼有影响；④若第一次在距点Ａ的８米处的树干上砍伐，不会对教学楼造 成危害．其中正确的是　　　　　　　　（填写序号，参考数据：槡３≈１．７，槡２≈１．４）． ３．如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口Ｃ测得教学楼顶部Ｄ的 仰角为１８°，教学楼底部Ｂ的俯角为２０°，量得实验楼与教学楼之间的距离ＡＢ＝３０ｍ． （１）求∠ＢＣＤ的度数； （２）求教学楼的高ＢＤ（结果精确到０．１ｍ）．（参考数据：ｔａｎ２０°≈０．３６，ｔａｎ１８°≈０．３２） ５３ 二、“母子抱”型 这种类型的特点是一个直角三角形包含在另一个直角三角形中，两直角三角形有公共直角 和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是沟通两直角三角形关系的媒介，如图所示． ４．如图，一轮船在Ｍ处观测灯塔Ｐ位于南偏西３０°方向，该轮船沿正南方向 以１５海里／小时的速度匀速航行２小时后到达 Ｎ处，再观测灯塔 Ｐ位于 南偏西６０°方向，若该轮船继续向南航行至离灯塔 Ｐ最近的位置 Ｔ处，此 时轮船与灯塔之间的距离ＰＴ为　　　　海里（结果保留根号）． ５．某数学小组要测量学校路灯 Ｐ－Ｍ－Ｎ的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪 进行测量，测量结果如下： 测量项目 测量数据 从Ａ处测得路灯顶部Ｐ的仰角α α＝５８° 从Ｄ处测得路灯顶部Ｐ的仰角β β＝３１° 测角仪到地面的距离 ＡＢ＝ＤＣ＝１．６ｍ 两次测量时测角仪之间的水平距离 ＢＣ＝２ｍ 计算路灯顶部到地面的距离 ＰＥ约为多少米．（结果精确到０．１米．参考数据：ｃｏｓ３１° ≈０．８６，ｔａｎ３１°≈０．６０，ｃｏｓ５８°≈０．５３，ｔａｎ５８°≈１．６０） 　　　　 ６３ 三、“拥抱”型 这种类型的特点是两直角三角形以交叉的方式出现，如图所示． ６．如图，轮船甲位于码头 Ｏ的正西方向点 Ａ处，轮船乙位于码头 Ｏ的正北方向点 Ｃ 处，测得∠ＣＡＯ＝４５°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶， 它们的速度分别为４５ｋｍ／ｈ和３６ｋｍ／ｈ，经过０．１ｈ，轮船甲行驶至点Ｂ处，轮船乙行 驶至点Ｄ处，测得∠ＤＢＯ＝５８°，此时点Ｂ处距离码头Ｏ多远？（参考数据：ｓｉｎ５８°≈ ０．８５，ｃｏｓ５８°≈０．５３，ｔａｎ５８°≈１．６０） 四、“斜截”型 这种类型的特点是在一个直角三角形内，用垂直于斜边的一条直线去截这个直角三角 形，如图所示．新直角三角形与原直角三角形有一个公共锐角，所剩四边形的对角互补． ７．如图，要在宽为２２ｍ的滨湖大道ＡＢ两边安装路灯，路灯的灯臂 ＣＤ长为２ｍ，且与灯柱ＢＣ成１２０°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩 的中轴线ＤＯ与灯臂 ＣＤ垂直，当灯罩的轴线 ＤＯ通过公路路面 的中心线时照明效果最佳．此时，路灯的灯柱ＢＣ高度应该设计为 　　　　ｍ． ７３ 五、“双垂线”型 这种类型的特点是三角形的形式灵活，背景丰富，图形较为复杂，通常需要添加两条垂 线，构造直角三角形才能解决． ８．八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口 Ａ 处向正北方向走了４５０米，到达菜园Ｂ处锄草，再从Ｂ处沿正西方向到达果园Ｃ处 采摘水果，再向南偏东３７°方向走了３００米，到达手工坊Ｄ处进行手工制作，最后从 Ｄ处回到门口Ａ处，手工坊在基地门口北偏西６５°方向上．求菜园与果园之间的距离． （结果保留整数，参考数据：ｓｉｎ６５°≈０．９１，ｃｏｓ６５°≈０．４２，ｔａｎ６５°≈２．１４，ｓｉｎ３７°≈０．６０， ｃｏｓ３７°≈０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５） ９．（核心素养·模型观念）随着我市农产品整体品牌形象“聊·胜一筹！”的推出，现代农 业得到了更快发展．某农场为扩大生产，建设了一批新型钢管装配式大棚，如图１．线段 ＡＢ，ＢＤ分别表示大棚的墙高和跨度，ＡＣ表示保温板的长．已知墙高ＡＢ为２ｍ，墙面与 保温板所成的角∠ＢＡＣ＝１５０°，在点 Ｄ处测得 Ａ点，Ｃ点的仰角分别为９°，１５．６°，如 图２．求保温板ＡＣ的长．（结果精确到０．１ｍ，参考数据：槡 ３ ２≈ ０．８７，ｓｉｎ９°≈０．１６，ｃｏｓ９° ≈０．９９，ｔａｎ９°≈０．１６，ｓｉｎ１５．６°≈０．２７，ｃｏｓ１５．６°≈０．９６，ｔａｎ１５．６°≈０．２８） 　　 图１　　　　　　图２ ８３ ６．解：如图，延长ＦＨ，交ＣＤ于点Ｍ，交ＡＢ于点Ｎ． ∵∠ＢＨＮ＝４５°，ＢＡ⊥ＭＨ，∴ＢＮ＝ＮＨ．设ＢＮ＝ＮＨ＝ｘ． ∵ＨＦ＝６，∠ＢＦＮ＝３０°，且ｔａｎ∠ＢＦＮ＝ ＢＮ ＮＦ ＝ ＢＮ ＮＨ＋ＨＦ ， ∴ｔａｎ３０°＝ ｘ ｘ＋６ ．解得ｘ＝槡３３＋３． 根据题意可知ＤＭ＝ＭＨ＝ＭＮ＋ＮＨ．∵ＭＮ＝ＡＣ＝１０ｍ， ∴ＤＭ＝１０＋槡３３＋３＝（１３＋槡３３）（ｍ）． ∴ＣＤ＝ＤＭ＋ＭＣ＝ＤＭ＋ＥＦ＝１３＋槡３３＋１．６≈１９．８（ｍ）． ∴建筑物ＣＤ的高度约为１９．８ｍ． 小专题４　解直角三角形常见 的数学模型应用 １．Ｄ　【解析】如图，过点 Ａ作 ＡＢ⊥ ＭＮ于点 Ｂ．在Ｒｔ△ＡＢＭ 中，∵ ∠ＡＢＭ＝９０°，ＡＢ＝２００ｍ，∠Ｍ ＝３０°， ∴ＭＢ＝ ＡＢ ｔａｎＭ ＝ 槡２００３（ｍ）． 在Ｒｔ△ＡＢＮ中，∵∠ＡＢＮ＝９０°，∠Ｎ＝∠ＢＡＮ＝４５°， ∴ＢＮ＝ＡＢ＝２００ｍ． ∴ＭＮ＝ＭＢ＋ＢＮ＝ 槡２００３＋２００＝２００（槡３＋１）ｍ．故选Ｄ． ２．①③④　【解析】如图，设过点 Ｄ的 水平线交ＡＢ于点Ｅ． ∵ＤＥ∥ＡＣ，ＥＡ∥ＣＤ，∠ＤＣＡ＝９０°， ∴四边形ＥＡＣＤ为矩形．∴ＥＤ＝ＡＣ＝ １２米，ＡＢ＝ＢＥ＋ＡＥ＝ＤＥ·ｔａｎ４５°＋ ＤＥ·ｔａｎ３０°＝１２＋ 槡４３≈１８．８米．故 ①正确； ∵ＣＤ＝ＡＥ＝ＤＥ·ｔａｎ３０°＝槡４３≈６．８米，故②不正确； ∵ＡＢ＝１８．８米＞１２米， ∴直接从点Ａ处砍伐，树干倒向教学楼方向会对教学 楼有影响．故③正确； ∵第一次在距点Ａ的８米处的树干上砍伐， ∴点Ｂ到砍伐点的距离为１８．８－８＝１０．８米＜１２米， ∴第一次在距点Ａ的８米处的树干上砍伐，不会对教 学楼造成危害．故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． ３．解：（１）如图，过点Ｃ作ＣＥ⊥ＢＤ于点Ｅ，则有∠ＤＣＥ＝ １８°，∠ＢＣＥ＝２０°． ∴∠ＢＣＤ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＥ＝１８°＋２０°＝３８°． （２）由题意，得ＣＥ＝ＡＢ＝３０ｍ． 在Ｒｔ△ＣＢＥ中，ＢＥ＝ＣＥ·ｔａｎ２０°≈１０．８（ｍ）． 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，ＤＥ＝ＣＥ·ｔａｎ１８°≈９．６（ｍ）． ∴ＢＤ＝ＢＥ＋ＤＥ＝１０．８＋９．６＝２０．４（ｍ）． ∴教学楼的高ＢＤ约为２０．４ｍ． ４．槡１５３　【解析】由题意，得ＭＮ＝１５×２＝３０（海里）． ∵∠ＰＭＮ＝３０°，∠ＰＮＴ＝６０°， ∴∠ＭＰＮ＝∠ＰＭＮ＝３０°．∴ＰＮ＝ＭＮ＝３０海里． ∴ＰＴ＝ＰＮ·ｓｉｎ∠ＰＮＴ＝ 槡１５３（海里）． ５．解：如图，延长ＤＡ交ＰＥ于点Ｆ， ∴ＤＦ⊥ＰＥ，ＡＤ＝ＢＣ＝２ｍ，ＡＢ＝ＣＤ＝ＥＦ＝１．６ｍ． 设ＡＦ＝ｘｍ，则ＤＦ＝ＡＦ＋ＡＤ＝（ｘ＋２）ｍ． 在Ｒｔ△ＰＦＡ中，∠ＰＡＦ＝５８°， ∴ＰＦ＝ＡＦ·ｔａｎ５８°≈１．６ｘｍ． 在Ｒｔ△ＰＤＦ中，∠ＰＤＦ＝３１°， ∴ｔａｎ３１°＝ ＰＦ ＤＦ ＝１．６ｘ ｘ＋２≈ ０．６． ∴ｘ＝１．２． 经检验，ｘ＝１．２是原方程的根． ∴ＰＦ＝１．６ｘ＝１．９２（ｍ）． ∴ＰＥ＝ＰＦ＋ＥＦ＝１．９２＋１．６≈３．５（ｍ）． ∴路灯顶部到地面的距离ＰＥ约为３．５米． ６．解：设点Ｂ处距离码头Ｏ处ｘｋｍ． 在Ｒｔ△ＣＡＯ中，∠ＣＡＯ＝４５°， ∴ＣＯ＝ＡＯ＝４５×０．１＋ｘ＝４．５＋ｘ． 在Ｒｔ△ＤＢＯ中，∠ＤＢＯ＝５８°，ｔａｎ∠ＤＢＯ＝ ＤＯ ＢＯ ， ∴ＤＯ＝ＢＯ·ｔａｎ∠ＤＢＯ＝ｘｔａｎ５８°．                                                               ７５１ ∵ＤＣ＝ＤＯ－ＣＯ， ∴３６×０．１＝ｘｔａｎ５８°－（４．５＋ｘ）． 解得ｘ≈１３．５． ∴点Ｂ处距离码头Ｏ大约１３．５ｋｍ． ７．（ 槡１１３－４）　【解析】如图，延长ＯＤ，ＢＣ交于点Ｐ． ∵∠ＯＤＣ＝∠Ｂ＝９０°，∠ＤＣＢ＝１２０°， ∴∠ＰＣＤ＝６０°，∠Ｐ＝３０°，∠ＰＯＢ＝６０°． ∵ＯＢ＝１１ｍ，ＣＤ＝２ｍ， ∴在Ｒｔ△ＣＰＤ中，ＣＰ＝２ＣＤ＝４ｍ， 在Ｒｔ△ＰＯＢ中，ＢＰ＝槡３ＯＢ＝ 槡１１３（ｍ）． ∴ＢＣ＝ＢＰ－ＣＰ＝（ 槡１１３－４）ｍ． ８．解：如图，过点Ｄ作 ＤＨ⊥ＡＢ于点 Ｈ，过点 Ｄ作 ＤＧ⊥ ＢＣ于点Ｇ， ∴四边形ＧＤＨＢ是矩形． ∴ＧＤ＝ＢＨ，ＤＨ＝ＧＢ． 根据题意，ＣＤ＝３００米，∠ＣＤＧ＝３７°， ∴ＤＧ＝ＣＤ·ｃｏｓ３７°≈３００×０．８０＝２４０（米）， ＣＧ＝ＣＤ·ｓｉｎ３７°≈３００×０．６０＝１８０（米）． ∴ＨＢ＝２４０米． ∵ＡＢ＝４５０米，∠ＤＡＨ＝６５°，∴ＡＨ＝２１０米． ∴ＤＨ＝ＡＨ·ｔａｎ６５°≈２１０×２．１４＝４４９．４（米）． ∴ＢＣ＝ＣＧ＋ＢＧ＝１８０＋４４９．４＝６２９．４≈６２９（米）． ∴菜园与果园之间的距离为６２９米． ９．解：如图，过点 Ｃ作 ＣＥ⊥ＢＤ于点 Ｅ，过点 Ａ作 ＡＦ⊥ ＣＥ于点Ｆ， 则四边形ＡＢＥＦ是矩形．∴ＡＢ＝ＥＦ，ＡＦ＝ＢＥ． 设ＡＦ＝ＢＥ＝ｘ． ∵∠ＢＡＣ＝１５０°，∠ＢＡＦ＝９０°， ∴∠ＣＡＦ＝６０°．∴ＡＣ＝２ＡＦ＝２ｘ，ＣＦ＝槡３ＡＦ＝槡３ｘ． 在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∵ＡＢ＝ＥＦ＝２，∠ＡＤＢ＝９°， ∴ＢＤ＝ ＡＢ ｔａｎ∠ＡＤＢ ＝ ２ ｔａｎ９° ． ∴ＤＥ＝ＢＤ－ＢＥ＝ ２ ｔａｎ９° －ｘ，ＣＥ＝ＥＦ＋ＣＦ＝２＋槡３ｘ． 在Ｒｔ△ＣＤＥ中，∵ｔａｎ∠ＣＤＥ＝ ＣＥ ＤＥ ， ∴ｔａｎ１５．６°＝ ２＋槡３ｘ ２ ｔａｎ９° －ｘ ． 解得ｘ≈０．７５．∴ＡＣ＝２ｘ＝１．５． ∴保温板ＡＣ的长约是１．５ｍ． 第三章　二次函数 １　对函数的再认识 第１课时　对函数的再认识 【边学边练】 １．Ｂ　２．Ｄ　３．Ｃ ４．４或－槡６ 【随堂小测】 １．Ｄ ２．Ｃ　【解析】汽车匀速行驶在高速公路上，速度是常 量，随着时间的变化，行驶时间，行驶路程，汽车油箱 中的剩余油量随之变化，行驶时间、行驶路程、汽车油 箱中的剩余油量是变量．故选Ｃ． ３．Ｂ　【解析】对于①ｙ＝ｘ，③２ｘ２＝ｙ，当ｘ取每一个值时， ｙ都有唯一确定的值与其对应．故选Ｂ． ４．Ｂ ５．Ａ　６．２２　７．ｙ＝１．８ｘ＋１．４ ８．３０　【解析】由题意，得３２－ｂ＋ １２＋ｂ ２ ＝０，解得ｂ＝３０． ９．解：（１）在这个变化中，自变量是小正方形的边长，因 变量是阴影部分的面积． （２）ｙ与ｘ之间的关系式为ｙ＝１０２－４ｘ２＝１００－４ｘ２（０＜ｘ ＜５）．当ｘ＝３时，阴影部分的面积ｙ＝１００－４×３２＝６４． 第２课时　函数的表示方法及自变量的取值范围 【边学边练】 １．Ｃ　【解析】通过已知条件可知，当点 Ｐ与点 Ｅ重合 时，△ＣＰＥ的面积为０；当点Ｐ在ＥＡ上运动时，△ＣＰＥ 的高ＢＣ不变，则△ＣＰＥ的面积ｙ是ｘ的一次函数，面 积ｙ随ｘ增大而增大，当ｘ＝２时有最大面积为４；当点 Ｐ在 ＡＤ边上运动时，△ＣＰＥ的底边 ＥＣ不变，则 △ＣＰＥ的面积ｙ是 ｘ的一次函数，面积 ｙ随 ｘ增大而 增大，当ｘ＝６时，有最大面积为８；当点 Ｐ在 ＤＣ边上 运动时，△ＣＰＥ的底边ＥＣ不变，则△ＣＰＥ的面积ｙ是                                                               ８５１