（九上预习篇）第2章 4 解直角三角形-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（鲁教版五四学制）

AB=BC,BDAC,AC=12米， .∠BA:=∠AOB+∠AOA,=180 .AD=CD=6来. 点A1在x轴负半轴上 在Rt△ADB中，∠BAC=25, 点A1(-2,0). AB=AD 6 c0e25-025 ∴·按键顺序正确的是可同©的☑日曰， 故选B 3.C 3.30°555【解析】在△ABC中.∠C=90°，3a=5b, 4B【解析mA-号-2 =10号-号即mA-得ZA-那a=5b=5 3 ∴用计算器求值的酒序为2 ndFsin回。2已 4.解：图①：cos60=4. cms60=8.6=V8- 4 故选B .. 5.B 43:图②：'taa= 5 6.4824 5w3 3a=90.∴g=90°-30°=60. 7.-1【解析1水-2×sin30+号×9=-8× 5+3=-1. 知识点二 8.解：(1)sin0=0.1426,0≈8.2 【跟踪练习2】 LC【解析】：AD⊥BC. (2)c00=0.7845.∴.038.3. .∠ADB=∠ADC=90 9.解：(1)如图，过点C作AB边上的 高CH,垂足为H, AB-42.AD-BD. 在R△ACH中，simA=C只 .AD-BD-4. AC' .CH-AC.sinA=9sin48 mC-品青 ≈6.69. CD=3. .BC=BD+CD=4+3=7.故选C (2)在R△ACH中，：cosA=A 2./10【解析】如图，过点C作CD⊥AB于点D. .AH=AC·c0sA-9Cs48, ,AC=2,∠A=45.∴.CD=AC·sin4=2·sin45=2 CH CH ∴在Ri△BCH中，anB=品=ABA历 9sin48 -8-9cos48 号-.mB-BD-品--22 tanB 1 3.382. 2 .∠B≈7332. ∴.BC-√CD+BD=√(W2)2+(22)F=√10. 4解直角三角形 知识点讲解 知识点一解直角三角形 【跟踪练习1】 D 1.C【解析】，已知a和∠A,在R△MBC中，∠C=90, 3.√7【解析】如图，过点P作PD⊥OB于点D. ∠B=0-∠A.=品=in成就选项A不特合题 a0-咒=，∴设PD=,则0D=3x.:0p=5,】 意：已知a和c,在Rt△ABC中，∠C=90°，∴b 由勾股定理，得(3x)十(4x)2■52，，x■1.，∴.PDm4 石血A-吕n-名故选项B不持合题意： PM=PN.PDLOB.MN=2.:.MD=ND-7MN=1. :已知∠A和∠B,在R△ABC中，∠C=90°，∠A十∠B 在R△PD中，由勾股定理，得PM=√MD+P下=√/I7. =∠C=90°，∴，只能知道直角三角形的三个角的大小，而 三条边无法确定大小.故选项C符合题意：”已知c和 ∠B.在Rt△ABC中，∠C=90..∠A=90°-∠B.a= csinA,b=csinB.故选项D不符合题意.故选C 2.(-2,0)【解析】在△ABO中，AB⊥OB,OB=√3，∠AOB =30. m乙A0B-8票 4.解：(1)如图所示 0A= OB 3 c∠AOB =2. 2 如图，当△ABO绕点)逆时针旋转150°后得到△A:BO, ∴.∠A0A=150°，0A=0A=2. ∠AOB=30°， (2),∠ABC=122,∠ADB=00°， 78 ∴∠DAB=32 在R△ADB中，m∠DAB-器即a.62≈即， 能 片AB=2, ∴BD≈2.48. .AC=6. .DC=2.48+5=7.48≈7.5， AC⊥CD, 自主检测 .∠ACD=90. 1.A【解析】在Rt△MBC中，∠C-90°，AB-25, ∴.AD=AC+CD=36+64=10. m4-%- cos∠ADC=CP-4 AD5 ∴设B=a,则AC=2a. 【解析】如图，过，点B作BE⊥AD于点E,连接BD ∴.d2+(2a)2=(25)2. 2 解得a=2或-2（含去）. .BC=2. 故选A 2.D 3.C【解析】在R△ABC中，∠C=90,∠A=30 .EF⊥AC 设BC=CD=x,则AB=2x. ∴，EF∥BC 爱器 inA=5一AB 4 BE :AE:EB=4:1, ÷BE=专AB=9 5 常 ∴AE=AB-E=√2xP-(生2)'=2 BC=CD,∠C=90. 设AB=2x ∴.BD=√2BC=√2x .BD=AB. 别BC=x,AC=3x, BE⊥AD, 六在R△CFB中，有CF-,C ÷AE=DE=专AD=3 对tan∠CFB BC 5V3 C℉3 故选C 4.B 解得-号，中 2 5.B【解析】在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 10.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=23,b=2. mM-青 ∴.=√a+∥=V(23)+2=4. 福 .c=2h :∠C=90°， BC=3.AC+BC=AB...AB=5.AC=4. .∠B=30° ,DE是AB的垂直平分线， ∠4=90°-30°=60 ∴BD-号AB-25,∠EDB-90.∴∠ACB-∠EDB, 即c=4,∠B=30°，∠A=60. (2)在R1△ABC中，∠C-90,∠A=60°，c=6, 又：∠B=∠B,∴△ABC∽△EBD. ∠B=90°-∠A=90°-60°=30 品品脚品品超D号故越 .c=26 '.0=3. 6.号【解析图，过点A作ABL工轴于点B. ∴.a=√e-=√G-3=33, :点A(3,)在第一象限.∴AB=1,OB=3. 即a=33,i=3,∠B=30. 1L,解：如图，过点A作AD LBC于点D. B 在R△ABD中，simB=吾AB=5, 7.15+5/3 .AD=3,BD=4 8号【解析：∠B=90°.sim∠ACB=子， 在R△ADC中，：osC- 2 79 .∠C=45 ∠A=38°.∠CBN=76 ∴.CD=AD-3. .∠ACB=76°-38-38. △ABC的面积=之×3X3+D-号 (2):∠ACB=∠A=38, .'BC=AB-30 n mile. 5 三角函数的应用 .当轮船在B处时，轮船到灯塔C的距离是30 n mile. 知识点讲解 知识点三坡度，坡角问题 知识点一 【跟踪练习3】 【跟踪练习1】 L.A【解析】根搭两，点之间的仰角与俯角构成的两条水平线 LA【解折w-品m-品6BD-2CD, 央角的内错角相等，可知，点B处小明看点A处小丽的仰角 AD 1AD 1 是35.故选A im2C02×CDzi加，即ix=2im 2.B【解析】在Rt△ABC中，∠ABC=a,AC=d, 故C错误，而B,D选项无法判断 故选A “m一6 2.132.5【解析】，AB的坡度i=1·3, AB品 改选B 3.(24+85) 【解析】如图，过点A作AE⊥CD于，点E BE=23 m, ..AE=69 m. BC=6 m. '.EF=6 m. ,CD的坡度'=1t2.5, :∠AED=∠EDB=∠ABD=90.∴.四边形AEDB是矩形. :∠DAE=45.,四边形AEDB是正方形.AE-DE mD-带- ,'.DE=AE=BD=AB=24米 流动 在R△ABC中，CE=AE·tm∠CAE=24×5 =83(米). .DF=57.5m ,.AD=AE+EF+DF=69+6+57.5=132.5(m. 则CD=DE+CE=(24+83)米. 知识点二 3.解：，DE=10m,其坡度为i1=1:3, 【跟踪练习2】 :罡清即E-c 1.A【解析】设货船的航行速度为r n mile/h,4h后货船在点 B处，如图，作PQ⊥AB于点Q由题意得AP=56 n mile,. .在R△DCE中，DE=√CD+CE区=2CD. BP=4 r n mile,在Rt△APQ中，∠APQ=60,所以PQ ∴.CD=5m 28 n mile.在R1△PQB中，∠BPQ=45°，所以PQ=BP× :四边形ABCD为矩形， AB=CD=5 m. c0s45=2W2x.所以2√2x=28,解得x=7/2.故这A. ,斜坡AF的坡度为i2=1:4, 北 .BF=4AB=20(m). 60P4452 在Rt△ABF中，AF=√AB+BF=5√17≈20,62(m). .斜坡AF的长度约为20.62m 2.2√2km【解析】如图，过点A作AD⊥OB于点D. 自主检测 在Rt△AOD中，∠AD0=90,∠AOD=30°，OA=4km. 1.C ∴AD=号OA=2km在R△ABD中，∠ADB=90,∠B 2.A【解析】由题意得∠A0B=90°一60°=30°，0A=500米. =∠CAB-∠AOB=75°-30°=45.BD=AD=2km, AB⊥0B,∠AB0=90.AB=号0A=250(来). AB=√2AD=22km.该船航行的距离（即AB的长）为 故选A 2/2 km. 3D【解析】如图，过点A作AB⊥MN于点B.在Rt△ABM 中，∠ABM=90°，AB=200米，∠M =30,anM-"- BM 3 ∴.BM=200/3米 在R△ABN中，∠ABN=90°，∠N=∠BAV=45, 3.解：(1)规察图形，得∠NBC=∠A十∠ACB. 80假期母留宠 L·数学·九年级·上 4解直角三角形 学习目标e4Q 1.了解直角三角形边角关系，理解解直角三角形的含义. 2.熟练掌握解直角三角形的类型与解法. 3.会根据解直角三角形解决非直角三角形的边角问题. 知识点讲解g 知识点一解直角三角形 直角三角形边角关系 元素 关系 题设 三边之间的关系 a2+2=2 两锐角之间的关系 ∠A+∠B=90 在Rt△ABC中，∠C 90°，∠A,∠B,∠C所 边角之间的关系 sinA=4=cosB,cosA=5=sinB,tanA=4= 1 对的边分别为a,b,c b tanB 解直角三角形的类型与解法 在Rt△ABC中，∠C=90 已知 选择的边角关系 斜边和一直角边 c.a 由sinA=4,求∠A:∠B=90°-∠A:b=√e-a 两直角边 a.b 由nnA=分，求∠A:∠B=90°-∠A:c=/a+元 斜边和一锐角 c,∠A ∠B=90°-∠A:a=c·sinA:b=c·cosA 一直角边和一锐角 a,∠A e=品 ∠B=90°-∠A:b=,a 【典型例题1】已知在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形. (1)∠B=60°，a=4:(2)a=√3-1，b=3-√5：(3)∠A=60°，c=2+√3. 思路点拨：(1)根据两锐角互余求得∠A,由amB=b求得b,由cosB=4求得c: (2)根搭tamB=b求得∠B,由两锐角互余求得∠A,再由sinA=口求得c a (3)由两锐角互余求得∠B,由simA=:求得a,由c0sA=名求得6， 解：(1)∠A=90°-∠B=90°-60°=30. 由amB-名得6=-etamB=-4an60=48.由cosB=只，得=Bo0=8 (2nB=2=325=3.∠B=60,∠A=90°-∠B=30. a3-1 由n4=得c=品=28-2 (3)∠B=90°-∠A=90°-60°=30°， 由nA=是，得a=sinA=(2+)×号-5+号，由mA-名，得6=A=(2+)X含-1+受 2 2 44 第二章直角三角形的边角关系 预习篇 【跟踪练习1】 L.在△ABC中，∠C=90°，以下条件不能解直角三角形的是 () A.已知a与∠A B.已知a与c C.已知∠A与∠B D.已知c与∠B 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在x轴的正半轴上，OB=√3，AB⊥(OB,∠AOB=30°.把△AB)绕 点O逆时针旋转150°后得到△AB,O,则点A的对应点A,的坐标为 3.在△ABC中，∠C-90°，3a=√3bc=10,∠A ,b 4.求下列直角三角形中字母所表示的值. 53 图① 图② 知识点二解非直角三角形 【典型例题2】如图，在△ABC中，∠B为镜角，AB=3V.AC=5,sinC-号，求BC 的长 思路点拨：作AD⊥BC,在△ACD中求得AD=AC·sinC=3,CD= √AC-AD=4,再在△ABD中根据AB=3√2，AD=3求得BD=3,继而根 据BC=BD十CD可得答案. 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 则∠ADB=∠ADC=90° AC=5smnC-号AD=AC·snC=3 ∴.在Rt△ACD中，CD=√AC-AD=4. ,AB=32,.在Rt△ABD中，BD=/AB-AD=3. ∴.BC=BD+CD=7. 【跟踪练习2】 L如图，在△ABC中，AB=42,anC-青过点A作ADLBC交边BC于点D,且AD=BD,则BC等于 A.8 B.8√2 C.7 D.72 45 假期母的宽·数学·九年级·上 2.如图，在△ABC中，AC=2,∠A=45,tamB=号，则BC的长为 第2题图 第3题图 3如图，已知tanO=青，点P在边OA上，OP=5,点M,N在边OB上，PM=PN,如果MN=2,那么 PM= 4.如图，已知钝角三角形ABC (1)过点A作BC边的垂线，交CB的延长线于点D:(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下，若∠ABC=122°，BC=5,AD=4,求CD的长.（结果精确到0.1，参考数据：si32°≈ 0.53,c0s320.85,tan32≈0.62) X学法指导24职 熟记解直角三角形要用到的关系： ①锐角之间的关系：∠A十∠B=90°： ②三边之间的关系：a十b=c产： ⑨边角之间的关系：nA-∠A鹤边-=兰o4-能边-名，n4-分第-号：a,6c分 斜边c 别是∠A,∠B,∠C的对边) a自主检测4 一、选择题 1.已知在R△ABC中，∠C=90°，AB=25,amA=号，则BC的长是 () A.2 B.8 C.25 D.45 2.在等腰三角形ABC中，底边上的高是3，这条高与一腰的夹角为60°，则这个三角形的面积是 () A是 B.√3 C.2 D.33 46 第二章直角三角形的边角关系 预习篇 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE:EB=4:1,EF⊥AC于点F,连接FB, 则tan∠CFB的值等于 () A号 C 5v3 D.5V3 第3题图 第4题图 第5题图 4如图，在R△ABC中，∠BAC-90.AD1BC于点D,AD-3.osB-号，则AC等于 () A.4 B.5 C.6 D.7 5如图，在R△ABC中，∠ACB=90,BC=3,6osA=号，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E,则 DE的长为 () A号 R号 c D.2 二、填空题 6如图，点A(3,0在第一象限.0A与x轴所夹的锐角为a,aa-号，则1的值是 一D 第6题图 第8题图 第9题图 7.在△ABC中，已知∠A,∠B,∠C的度数之比是1：2：3，AB边上的中线长为5，则△ABC的周长为 8如图，在四边形ABCD中，∠B=90,AB=2,CD=8.AC1CD,若sm∠ACB=专则os∠ADC= 9如图，在四边形ABD中，∠C=90,inA=号，AD=6,BC=CD,AB=5CD,那么C 三、解答题 10.根据下列条件，解直角三角形。 (1)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2w3,b=2: (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，c=6. 1山，如图，在△ABC中，inB= 5'cosC=2 AB=5,求△ABC的面积 47