（九上预习篇）第1章 2 反比例函数的图象与性质-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（鲁教版五四学制）

假期母留器 ·数学·九年级·上 2 反比例函数的图象与性质 学习日标4e 1.会画反比例函数的图象 2.知道反比例函数图象的对称性。 3.根据反比例函数的图象掌握反比例函数的性质，并会运用反比例函数的图象和性质解决问题 4.理解反比例函数比例系数k的几何意义，并会运用系数的几何意义解决问题， 行知识点讲解4eg 知识点一反比例函数的图象 反比例函数y-上（快≠0）的图象是由两支曲线（双曲线）组成的.当>0时，两支曲线分别位于第 象限内：当k<0时，两支曲线分别位于第 象限内。 【典型例题】画出反比例函数y=上的图象， 思路点拨：从正数、负数中各选几个值作为x的值，进而得到y的值，描点，连线即可. 解：列表，得 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -1 1 1 1 … 描点、连线，得 01234： 【跟踪练习】 L在公式 尺(R>0)中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系图象为 升片： 2.已知反比例函数y=二的图象分别位于第二，四象限，请写出一个符合题意的k的值： 3.画出y=一2的图象 22 第一章反比例函数 预习篇 知识点二反比例函数图象的对称性 反比例函数是中心对称图形，其对称中心是 :反比例函数是轴对称图形，有两条对称轴，分别是 直线y=x和直线y=一x. 【典型例题2】若正比例函数y=一2x与反比例函数y一图象的一个交点坐标为（一1.2），则另一个交点的坐 标为 解析：正比例函数与反比例函数的图象都关于坐标原点对称，其两交点也关于原点对称.点（一1,2）关于原 点的对称点为(1，一2). 答案：(1.一2) 【跟踪练习2】 如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O,AB∥x轴，BC∥y轴，反比 例函数y=2与y=一2的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积 之和是 A.2 B.4 C.6 D.8 知识点三 反比例函数的图象与性质 1.反比例函数y=的图象，当>0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而面 当k<0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而 2.当x值的绝对值无限增大时，反比例函数图象的两个分支都无限接近 轴：当x值的绝对值无 限接近于零时，反比例函数图象的两个分支都无限接近 轴：但永远 与x轴和y轴相交 【典型例题3】已知反比例函数y=1二的图象经过点A(2,一4). (1)求k的值： (2)若点B(m,一6)在这个反比例函数的图象上，则m= (③)点A(),B()均在反比例函数y=的图象上，若<，比较的大小关系。 思路点拨：(1)把，点A的坐标代入函数表达式，利用待定系数法确定函数表达式： (2)根据反比例函数图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值，列式求解即可： (3)分类讨论：当0<<或x<x<0时，<h:当x1<0<时，为<y1. 解：(1)依题意，得1一k=2×(一4)=一8，.k=9. (2):点B(m,一6)在这个反比例函数的图象上，.一6m=一8.m=号 3 （3:点A国m,B)都在反比例丽数y=一是的图象上， 当0<x1<x2或1<x2<0时，y<”:当x1<0<x时，<y1, 【跟踪练习3】 1L已知反比例函数y一子·在下列结论中，不正确的是 () A.图象必经过点(1,2) B.图象在第一、三象限 C.y的值随x值的增大而增大 D.若x>1,则y<2 2.如果两点P(一1n)和P(一2)在反比例函数y=}的图象上，那么的符号和大小关系是《 A.y2<y1<0 B<<0 C.2>y>0 D.y1>2>0 知识点四反比例函数比例系数k的几何意义 如图，设P(x,y)是反比例函数y=(k是常数，k≠0)图象上的一点，过点P作x轴、 y轴的垂线，垂足分别为M,N,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y·x=|xy =kL.因此，k的几何意义：过双曲线上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，两垂线与两坐标 轴所围成的矩形的面积为 ,进一步地，连接OP,则S附=S△w= 23 假期母留器 ·数学·九年级·上 【典型例题4】如图，点P在反比例函数y=(k≠O)的图象上，PA⊥x轴于点A, △PAO的面积为2，则k的值为 () A.1 B.2 C.4 D.6 解析：依据比例系效k的几何意义可得，△PAO的面积= 21,即21=2，解符 k=士4.由于函数图象位于第一、三象限，故k=4,故选C 答案：C 【跟踪练习4】 如图，P是反比例函数图象上第二象限内一点，若矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是( Ay=-3 By=一 C.y=3 Dy=若 X学法指导40 1.画反比例函数的图象和画一次函数的图象一样，都是用描点法画函数图象，一般步骤为列表一描点一连线 关于反比例函数图象的对称性问题可以根据函数图象解决 2.画反比例函数图象的注意事项： (1)列表取值时，x≠0，因为当x=0时函数无意义.为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边 对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值. (2)由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更 精确。 (3)连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线， (4)由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴. 3结合反比例函数的图象记忆反比例函数的性质，k值的正负影响反比例函数图象所在的象限和函数的增减 性.反比例函数的系数的几何意义常用来求几何图形的面积 a自主检测4 一、选择题 1.函数y=一 图象的大致形状是 2.函数y=|ax十a与y=a(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是 3已知点A(m,1),B(,3)都在反比例函数y=(k>0)的图象上，那么 A.m<n B.m=n C.m>n D.m,n的大小无法确定 24 第一章反比例函数 预习篇 4.如图，A,C是函数y=的图象上任意两点，过A作y轴的垂线，垂足为B,过点C作y轴的垂线，垂足为 D.记R1△AOB的面积为S,R1△COD的面积为S,则S,和S:的大小关系是 A.S>S B.S<S C.5=S D.由A,C两点的位置确定 二、填空题 5.已知函数y=的图象经过点（一1,3），若点(2，m)也在这个函数的图象上，则m= 6.如图，圆A和圆B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=上的图象上，则图中阴影部 分的面积等于 (结果保留π). 第6题图 第8题图 7.函数y=”的图象的一支位于第一象限且过点(1,1)，当x越来越大时，在第一象限内，y的值会 8如图，M是反比例函数y=:(a≠0)的图象上一点，过点M作x轴、y轴的平行线，若Sm=8,则此反比例 函数的表达式为 三、解答题 9.已知反比例函数y=的图象经过点A(3,4. (1)求k的值： (2)请判断点B(2,6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由. 10,如图，一次函数y=x十b的图象经过点B(-1,0),且与反比例函数y=(k为不等于0的常数)的图象在 第一象限交于点A(1,).求： (1)一次函数和反比例函数的表达式： (2)对于反比例函数y一冬，求当1<≤6时y的取值范围. 25知识点二1 【跟踪练习2】 1.C 2.A【解析：反比例面数y=的困象经过点P4,-2》, -2=桌 ∴.k=一8. 故选A 知识点三自变量x 【跟踪练习3】 1.A【解析】，t=10, v=109 t 故选A 2.解：由题意，得y=1200,y=1200,y是x的反比例 函数 自主检测 1C《解折JAy一冬，当0时，为反此例函数：且y一后 3 为一次禹数：C—经为反比树画数D,y=51不是反 x 比例函数，故选C, 2.B【解析】y=2x严是关于x的反比例函数，∴2m=一1 解得m=一合：故选B 3.C 4-9 5.④⑥【解析】①x(y十1)不是函数，不符合题意： ②y一子2是美于x十2的反比例画餐，不符合题高： ③y-是y关于的反比例画数，不特合题意： 2,是y美于工的反比例函数，符合题意： ⑤y=受是y关于工的正比例函数，不符合题意， 2 ©y=号王=王是y关于工的反比例画数，符合题意。 笨上所迷，y是x的反比例函数的是④⑥， 6.反比例60【解析】：压力F、压强p与受力面积S之间 的关系是p=号“当F值保持不变时，力是S的反比例 函数.：当S=3时，p的值为180，∴F=Sp=3×180= 540,当S=9时，p-到-60， 7.a≠土2【解析】由题意可得a一2≠0， 解得a≠士2. 8解：1)由三角形面积公式，得15=受y,所以y=识 (2当x-5时y-9-6 (3)把y=10代人y=30,得10=0.解得x=3, x 所以当x=3时，y=10. 9.解：1)”与(x一1)成正比例，次与(x十1)成反比例， nrD=气 “y=为+%，当x=0时，y=-3,当x=1时y=-1, 1-3=一k1十k2, 1-1= 你2 y=x-1一x年 2 (2)当x=-2时， 2 1 x1节一2-11+1- 2 2反比例函数的图象与性质 知识点讲解 知识点一一三二四 【跟踪练习1】 L.D【解析】由题意知，当电压U一定时，电流I与电阻R是 反比例函线关系：1是 R>0,U>0, .>0. 其图象是第一象限的反比例函数的图象 故选D, 2.0(答案不唯一，满足<1即可)【解析】：反比例函数y =二1的图象在第二、四象很， .k-1<0. k<1.故k=0(答案不唯一，满足<1即可). 3解：列表，得 -4 -2 -1 1 2 4 y… 0.5 2 -2 -0.5 描点、连线，得 知识点二坐标原点 【跟踪练可2D【解析】阴影事分的面积是4X4×号=8故 选D. 知识点三 1诚小增大2.xy不会 【跟踪练习3】 L,C【解析】A.1×2=2,,该反比例函数图象必经过点 (,2,正确，故本选项不特合题高B反比例画数y一兰 中的k=2>0,则该蓝数图象位于第一、三象限，正确，故本 选项不符合题意：C反比例函数y一二的困象在每一个象 71 限内，y的值随x值的增大而减小，错误，故本选项特合题 意：D.当x>1时，y的取值范围是y<2,正确，故本选项不 符合题意.故选C 2.B【解析地点R(一1)代入反比例画数y=是，得n =-1: 起点P(一2，)代入反比例画数y=子，得%=一合 -1K-2<0, ∴1<为<0. 故选B 知识点四合刻 【跟踪练习4】A【解析】由图象上的点所构成的矩形PEOF 的面积为3可知，S=|k|=3,k=士3.又由于反比例函数的 图象在第二、四象限，k<0,则k=一3，所以反比例函数的表 达式为y=一三故选A x 自主检测 1.D【解析】由函数表达式可得x可取正数，也可取负数，但 函数值只能是负数，所以函数图象应在x轴下方，并且xy 均不为0.故逃D 2.B【解析】当a>0时，y=|ax十a=ax十a的图象在第 一、二、三象限，y=日的图象在第一、三象限，此时选项B 正确，当a<0时，y=ax十a=一ax十a的图在第一、 三，四象限，小y一兰的图象在第二，四象限，此时没有正确选 项.故远B 3C【解折：点Am,D不B(a,3)海在反比例画教y一兰 (>0)的图象上，且1<3， ∴.m>n.故选C 4C【解折1由题意，得S=S=名1=令故选C 6.π【解析】由题意，得图中阴影都分的面积即为一个凰的 面积.圆A和x轴、y轴均只有一个交点，周而点A到两轴的 距离相等，即，点A的横纵坐标相等，设点A的坐标是(a,a), :点A在画数y-子的图象上a=1.故阴影海分的面积 等于 7.越来越小 8y=- 。【解析】，Sm制=8， .la=8. 图象在第二、四象限， ∴a<0.a=-8 “反比例画数的表达或为y一一是 9.解：(1)将点A(3,4)代人y=,得k=3×4=12. 故反比例函数的表达式为y一马 （2②)当x=2时一号-6点B2,6在反比例函数图象上 10.解：(1)将点B(-1,0)代人y=x十b,得0=一1+b, 72 b=1.一次函数的表达式是y=x十1. :点A(1,m)在一次函数y=x十1的图象上，将点A(1,) 代入y=x十1，得=1十1，∴n=2,即点A的坐标为(1,2). 代人y=皇，得2=冬，解得=2 “反比例函数的表达式是y一是 (2对于反比例函数)一呈，当x>0时，的值随x值的 增大而减小，而当x=1时，y-2:当x=6时，y-子 当1≤≤6时y的取值范周是号≤y≤2 3反比例函数的应用 知识点讲解 知识点一 【跟踪练习1】解：(1)设药物燃烧时y关于x的函数关系式为 y=k1x(k1>0),代人(10,8)，得8=10k1. 6=春青 药物燃绕时y关于x的函数关系式为y=音 从图象可知白变量x的取值范围是0≤x≤10， (2)设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=(k>0), 代入108)，得8-最 .k2=80. 六药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=8即 从图象可知自变量x的取值范围是x>10, (3)结合实际，令y-80中y<1.6,得x>50, 即从消毒开始时，至少需要50min后学生才能进入教室。 知识点二 【跟踪练习2】解：(1)由题意，将点A(一2，a),B(3,b)代人y= 2+得g42- .点A(一2,6)，B(3,-4). 将点A(-2,6)代人y=兰得气2=6， 解得k=一12. 故反比例函数的表达式为y=一3 (2)不等式>-2红十2表示的是反比例函数的图象在一次 函数图象的上方，则由图象法得当女>一2红十2时z的取值 范围是一2<x<0或x>3. (3)对于一次函数y=一2x十2， 当y=0时，-2x+2=0,解得x=1,即点C(1,0). 点A(-2,6),B(3,-4),C(1,0) .OC=1,△AOC的OC边上的高为6，△BOC的OC边上的 高为4 则S6m=Sau+Sam=号X1X6+7X1X4=5. 自主检测 LB【解析】根据行程问题的公式：路程=速度×时间，可知