（九上预习篇）第3章 1 用树状图或表格求概率-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

假期母留宽 BS·数学·九年级·上 第三章 概率的进一步认识 为衔接思维导图：09以 概率定义 具有等可 树状图 理论计算 随机 能性 简单的随 列表 机事件 件 不具有等 可能性 试验法 试验估算 复杂的随 机事件 算 模拟试验 1用树状图或表格求概率 学习目标2侧4积 1.理解事件发生的频率和概率之间的关系. 2.能运用树状图或表格求概率. 7s知识点讲解0g., 知识点一等可能性 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小 ,那么我们可 以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率. 【典型例题1】抛掷一枚均匀的骰子一次. (1)朝上的点数可能有哪些？它们发生的可能性一样吗？ (2)朝上的点数是奇数与朝上的点数是偶数，这两个事件的发生是等可能的吗？ (3)朝上的点数大于3与朝上的点数不大于3，这两个事件的发生是等可能的吗？ 思路点拔：把事件发生的所有可能结果全部找出来，通过比较再作出判断. 解：(1)抛掷均匀的骰子一次，只会出现6种结果：1点朝上：2点朝上；3点朝上；4点朝上：5点朝上：6点朝 上，这6种结果的出现是等可能的. (2)由(1)知，朝上的点数是奇数1,3,5与朝上的点数是偶数2,4,6这两个事件的发生是等可能的. (3)朝上的点数大于3的是4点，5点和6点这三种情形之一，朝上的点数不大于3的是1点、2点和3点 这三种情形之一，所以朝上的点数大于3与朝上的点数不大于3这两个事件的发生是等可能的. 【跟踪练习1】 1.下列说法错误的是 () A.随机事件发生的概率大于或等于0，小于或等于1 B.可以通过大量重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率 C.必然事件发生的概率为1 D.一组数据的中位数，就是这组数据中间的一个数或者中间两个数的平均数 2.甲、乙两个人玩“石头、剪子、布”的游戏，甲、乙两人同时随机出手一次，则甲获胜概率是 () A司 B.3 c n号 3.如图所示，电路图上有四个开关A,B,C,D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A,B,C都可使小灯 泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是 R号 c 62 第三章概率的进一步认识 预习篇 知识点二简单列举法 一些简单事件的概率可以通过列举的方法得到，在一次试验中所有可能出现的结果数，以及所求事件 包含的结果数m,从而计算出所求事件的概率 【典型例题2】定义一种十位上的数字比个位、百位上的数字都小的三位数叫做“V数”，如“947”就是一个“V ”，若十位上的数字为2，则从1,3,4,5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是 () A 点培 c D 解析：首先从1,3,4,5中任选2个作为个位和百位上的数字，2作为十位数字，一一列举出来如下：123， 124,125,321,324,325,421,423,425,521,523,524共12种等可能的结果，其中组成“V数”的有324,325， 423,425,523,524共6种结果，所以从1,3,4,5中任选两数，能与2组成V数”的概率是2一乞 61 答案：C 【跟踪练习2】 1.为支援地震灾区，小慧准备通过爱心热线捐款，她只记得号码的前5位，后三位由5,1,2这三个数字组成， 但具体顺序忘记了.她第一次就拨通电话的概率是 ( A司 B c D名 2.甲袋中装有2张相同的卡片，颜色分别为红色和黄色：乙袋中装有3张相同的卡片，颜色分别为红色、黄色、 绿色.从这两个口袋中各随机抽取1张卡片，取出的两张卡片中至少有1张是红色的概率是 A号 B合 c号 D 知识点三用树状图求概率 当一次试验涉及3个或更多的因素时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用 树状图，即用树状图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件可能发生的次数和方 式，并求出概率 【典型例题3】襄阳市教育局为提高教师业务素质，扎实开展了“课内比赛教学”活动。在一次数学讲课比赛中， 每个参赛选手都从两个分别标有“A”“B”内容的签中，随机抽出一个作为自己的讲课内容，某校有三个选 手参加这次讲课比赛，请你求出这三个选手中有两个抽中内容“A”,一个抽中内容“B”的概率。 思路点拔：首先通过画树状图列举出所有等可能的结果，然后根据树状图分析三个选手中有两个抽中内容 “A”,一个抽中内容“B”的结果数，进而求出相应的概率， 解：设这三个选手分别为甲、乙、丙，画树状图如下： 开始 甲 U 丙 A B B B 由图可知，共有8种等可能的结果，其中三个选手中有两个抽中内容“A”,一个抽中内容“B”的结果共有 3种∴P=景 【跟踪练习3】 1.一一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出1个球后放回搅匀，再随机 摸出1个球，则三次摸出的球都是黑球的概率是 A告 B号 c D动 2.在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰 好是1个黄球和1个红球的概率为 A司 B c D.君 3.把一枚均匀的硬币连续掷三次，三次正面朝上的概率是 知识点四概率的应用与游戏的公平性 1.当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果， 通常要采用列表法.两个事件的概率 ,则公平，反之不公平 2.熟练地应用几何图形的性质与判定，结合概率的意义解题. 【典型例题4】如图是9×7的正方形点阵，其水平方向和竖直方向的两格点间的长度都为1个单位长度，以这 些点为顶点的三角形称为格点三角形.请通过画图分析、探究回答下列问题： (1)请在图中画出以AB为边且面积为2的一个网格三角形： (2)任取该网格中能与A,B构成三角形的一点M,求以A,B,M为顶点的三角形的面积为2的概率； 63 假期母留宽 BS·数学·九年级·上 (3)任取该网格中能与点A,B构成三角形的一点M,求以A,B,M为顶点的三角形为直角三角形的概率. 解：(1)图形略，共12个 (2)由分析可知，只要点M不在AB上或者AB的延长线上，点A,B,M都可以构成三角形，共有9×7一7 =63一7=56（个）.又由(1)知，以A,B,M为顶点的三角形的面积为2的三角形共有12个， “以A,B,M为顶点的三角形的面积为2的概率为品是 (3)由分析可知，以A,B,M为顶点的直角三角形共有12个，以A,B,M为顶点的三角形为直角三角形的 概率为品-品 【跟踪练习4】 1.如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域 内的概率为a,如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为b,关于a,b大小正确的判断是 A.ab B.a=b C.acb D.不能判断 D 第1题图 第2题图 2.如图，正方形ABCD内接于⊙O,⊙O的直径为√2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方 形ABCD内的概率是 A.2 B c D.√2π 3.小颖和小丽做“摸球”游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为1一4的四个球（除编号外都相同），从中随机 摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字.若两次数字之和大于5，则小颜胜，否则小丽 胜.这个游戏对双方公平吗？请说明理由. X1单法指导24Q 1.寻找试验的所有可能的结果时，要列举出来，要求既不重复又不遗漏.当随机事件的每个结果出现的机会均 等时，称这个事件为等可能事件. 2.通过一一列举的方式将试验的所有等可能结果(n)罗列出来，再看所研究的事件有多少种(m),用公式P= 升计算，要注意列举的顺序，保证结果不重不漏。 3.涉及三步及以上步骤的试验求概率的问题，用列表法不方便，而用树状图既直观明了，又能不重不漏地找出 所有机会均等的结果和所关注事件的结果数的多少， 五自主检测A4g L.某地新高考有一项“6选3”选课制，高中学生李鑫和张锋都已选了地理和生物，现在他们还需要从“物理、化 学、政治、历史”四科中选一科参加考试.若这四科被选中的机会均等，则他们恰好一人选物理，另一人选化 学的概率为 () A日 B c 2.从一2，一1,0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率为 1 C.1 n号 64 第三章概率的进一步认识 预习篇 3.在一个布袋中装着只有颜色不同，其他都相同的红、白两种小球各一个，从中任意摸出一个球，记下颜色后 放回并搅匀，再摸出一个球，则两次所摸出的球都是同一颜色球的概率是 A号 B号 c 4.若从1,2,3,4四个数中选取一个数，记为a,再从这四个数中选取一个数，记为c,则关于x的一元二次方程 ax2十4x十c=0没有实数根的概率为 ( A B吉 c D.号 5.一个不透明袋中装有编号为1,2,3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出两个球记下编号，求取出 的编号的和是偶数的概率是 6.我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“100米跑”“肺活量测试”为必测项目，另外从“引 体向上”或“推铅球”中选一项进行测试。小亮、小明和小刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目 的概率是 7.在长度分别为4,6,7,11的四条线段中，任意选取三条，端点顺次连接，能组成三角形的概率为 8.甲、乙、丙，丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后 一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排。 (1)请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序： (2)请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率， 9.某校进校开设A,B,C三个测体温通道.一天早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园 (1)求小丽通过A通道进入校园的概率； (2)利用晒树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格） 10,在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°.有如图所示五张背面完全相同的纸牌①，②，③，④，⑤，其正面分 别写有五个不同的等式，小民将这五张纸牌背面朝上洗匀后先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张， 请结合以上条件，解答下列问题： (1)用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用①，②，③，④，⑤表示）： (2)用两次摸牌的结果和∠C=∠F=90°作为条件，求能满足△ABC和△DEF全等的概率. ④④ AB=DE ∠A=∠D BC=EF ∠B=∠E AC=DF 65故2022年将达到100×(1十0.25)=125（辆）. 所以，该小区2022年底家庭轿车将达到125辆 (2)设再建造室内车位a个，露天车位b个. 0.5a+0.1b=15,且2a<<a解得1g0<a<10 因为a是整数，所以a=19,20,21.相应的b=55,50,45. 共三种不同方案。 建室内车位19个，露天的就有55个， 建室内车位20个，露天的就有50个， 建室内车位21个，露天的就有45个. 18.解：(1)证明：，△=[-(a-3)]2一4(-a)=a2-2a十9 (a-1)2+8>0, ∴.无论a取何值时，该方程总有两个不相等的实数根 (2)设方程的两根分别为m,n, .m十n=4一3，n=一a, ∴m2+m=(m+n)2-2mm=(a-3)2+2a. 根据题意，得(a-3)2十2a=21 解得a■6或a■一2. 19.解：(1)根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出 2件，可得若降价2元， 则平均每天可多售出2×2=4（件） 即平均每天销售数量为12十4=16（件），盈利为18×16= 288(元). (2)设每件商品降价x元时，该商品每天的盈利为320元 根据题意，得(20一x)(12十2x)=320. 整理，得x2-14x十40=0. ,(x-4)(x-10)=0. 0=4,x1=10 每件盈利不少于15元， ∴.x2=10应舍去. 所以，每件商品降价4元时，该商品每天的盈利为320元 20.解：(1)，x2+2xy+2y2-6y+9=0, .(2+2xy+y2)+(y2-6y+9)=0. .(x+y)2+(y-3)2=0. ∴.x十y=0,y-3=0. ,x=-3,1y=3. (2),a2+b-12a-16b+100=0, ∴.a2-12a+36+-16b+64=0. ,.(a-6)3十(b-8)3=0. .a-6=0,b-8=0. ∴.a=6,b=8. 在R△ABC中，∠C-90°，.c=√+F=√+8=10. 第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 知识点讲解 知识点一相等 【跟踪练习1】 1.A2.B 3.A【解析】列表如下： A B C D A (B,A)(C.A)(D,A) B (A,B) (C,B)(D,B) C (A,C)(B,C) (D,C) D (A,D)(B,D)(C.D) 由表可如任意闭合其中两个开关的情况共有6种（与顺序 90 无关)，其中能使小灯泡发光的情况有3种，故小灯泡发光 的能率是号一子故选Λ 知识点二P=兴 【跟踪练习2】 1.C2.A 知识点三 【跟踪练习3】 1.D2.A 3日 知识点四概率的应用与游戏的公平性 1.相同 【跟踪练习4】 1.B2.A 3解：不公平，理由如下： 画树状图如下： 开始 第一次 第二次1234123412341234 共有16种等可能的结果，其中两次数字之和大于5的有 6种 所以P小预胜)-品-音P小丽胜)-号-号 所以这个游戏不公平 自主检测 1.A2.D3.A4.C 6 【解析】分别用A,B代表“引体向上”与“推铅球”，画树 状图如下图所示，由图可知共有8种等可能的结果，小亮」 小明和小刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项 目的有2种情况，小亮、小明和小刚从“引体向上”或“推 铅球”中选择同一个测议项日的概率是号-宁 开始 小亮 小明 小刚A 8.解：(1)画树状图如下： 开始 第一棒 甲 第二棒 第三棒丙乙丙甲乙 (2)由(1)得共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交 给丁的结果有2个， “正好由丙将接力棒交给丁的概率为号-号 又解：（小丽通过Λ通道进人校园的概率为号， (2)列表如下： A B c (A,A) (B.A) (C,A) B (A,B) (B,B) (C,B) C (A,C) (B,C) (C.C) 由表可知，共有9种等可能的结果，其中小丽和小聪从两个 不同通道进人校园的有6种可能， “小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率为号=了】 6 10.解：(1)列表如下： ① ② ③ D ① (①，②)（①，③）（①，④）（①，⑤） ②（②，① ②，③)（②，④）（②，⑤》 ③ (③，①)（③，② (③，④)（③.⑤ ④ (④，①)（④，②）（④，③） (④，⑤ ⑤（⑤，①）（⑤，②）（⑤，③）（⑤，④）》 ,两次摸牌所有可能出现的结果共有20种 (2),'两次摸牌所有可能出现的结果共有20种，其中加上 ∠C=∠F=90°能满足△ABC2△DEF的有18种， P(能满足△ABC≌△DEP)-器-是 2用频率估计概率 知识点讲解 知识点一 n 【跟踪练习1】 1.C2.D 知识点二 【跟踪练习2】 1.14 2.解：(1)，4件同型号的产品中，有1件不合格品， “P(不合格品)=子 (2)P(都是合格品)=立 1 (3),大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在 0.95,∴.抽到合格品的概率等于0.95. 3-0.95.解得x=16. x十4 自主检测 1.C2.D 3.8,12,4,264.55.2006.8 7.解：(1)0.2510.25 (2)设袋中白球为x个. 1=0.25. 由题意，得1十x 解得x=3. 经检验，x=3是原分式方程的解且符合题意， 所以，袋中约有3个白球， (3)画树状图如下： 开始 第一次 第二次黑白1白2白3黑白1白2白3黑白1白2白3黑白，白2白 总共有16种等可能的结果，其中两个球都是白球的结果有 9种，所以摸到两个球都是白球的楼率为。 8解：(1800【解折]本次活功调麦的学生人数为80÷需 =800(名). (2)B情况的人数为800一480一80=240（名）.补全图形 如下： 本人数 480 240 160 "▣ ABC满查情况 图2中B区域的圆心角的度数为360°×架-10g (③)估计该校学生只愿意就读普通高中的概率为器-号， 9,解：设鱼塘中估计有x条鱼 根据题意，得30-5 x200 解得x=1200. 经检验，x=1200是原分式方程的解且符合题意. 所以，该鱼塘中估计有1200条鱼. 章末预习自测 1.C2.A3.D4.D5.B6.D7.A8.B 【解析】画树欢图如下： 开始 A金 B盒黄白黄 白黄 共有6种等可能的结果，其中取出的2个球都是白球的有 1种， 则取出的2个球都是白球的概率是行 10.号 【解析】画树状图如下： 开始 794947793937493934473734 共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有12个， 能红成三角形的概率为号员-之 12.(1)0.911(2)4.555 13.2 【解析】画树状图如下： 开始 转盘 转盘a红黄虹橙黄红橙黄虹橙黄 共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个， “配成紫色的概率为立 91