（九上预习篇）第2章 5 一元二次方程的根与系数的关系-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

假期母留宠 BS·数学·九年级·上 “5一元二次方程的根与系数的关系 学习目标g然4. 1.探索一元二次方程根与系数的关系，并能灵活应用. 2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程 知识点讲解4g展. 知识点一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么十x一 ,x1·x2 也就是说，对于任何一个一元二次方程，如果它有两个实数根，那么这两个根与系数关系是两根的和等于一次 项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比 【典型例题】不解方程，求下列方程的两根的和与积. (1)x2-4x+1=0: (2)4x2-2.x-7=0: (3)3.x2+10=2x2+8x. 思路点拨：首先应将方程整理成一般形式，然后确定a,,(的值，代入根与系数关系式十=一 a n=二中即可求两根的和与积 解：设方程的两根分别为x, (1).a=1,b=-4.c=1, t=名=--4=后}=1 (2)'a=4,b=-2.c=-7, “西十西，=-b=-二2=1 (3)原方程整理，得x2-8.x十10=0. ,a=1,b=-8,e=10, x1十4=-b=-8=81·=-10=10. 1 【跟踪练习】 1.已知方程x2一3.x十2=0的两根分别为x和x2,则x·x2的值等于 2.已知关于x的一元二次方程x十(2m一1)x十m2=0有两个实数根x1和x2. (1)求实数m的取值范围： (2)当2一x2=0时，求m的值. 1学法指导24Q 1.根与系数的关系刻画了一元二次方程的两根的和与两根的积和系数4，b,c之间的关系，必须注意，根与系 数关系是在a≠0，一4ac≥≥0的前提下的关系式. 2.不解方程，求一元二次方程两根的和与积，首先应将方程化为一般形式，然后确定a,b,c的值（注意符号）， 再直接代人公式十=一女山·看一计算即可。 52 第二章一元二次方程 预习篇 a自主检测4… 1.若关于x的一元二次方程(m一1).x2十2x一2=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是() Am<司 Bm>号 Cm>号且m≠1 D.m≠1 2.设x1,x2是方程x2十5.x一3=0的两个根，则x12十x22的值是 A.19 B.25 C.31 D.30 3.对于任意的非零实数m,关于x的方程x一4x一m=0的根的情况是 A.有两个正实数根 B.有两个负实数根 C.有一个正实数根，一个负实数根 D.没有实数根 4.一元二次方程x2一4x一c=0的一个根是x=3,则另一个根是 C= 5.设x1,x2是方程2x2+3x一4=0的两个实数根，则x1x一x1一g的值为 6.若x1,x2是方程x一4.x一2021=0的两个实数根，则代数式x2一2十2x的值等于 7.已知关于x的方程x2-一6x+k=0的两根分别是，且满足上+】=3，则k的值是 8.已知关于x的一元二次方程x2+2.x一k=0有两个不相等的实数根. (1)求的取值范围： (2)若x=1是方程的一个根，求的值及方程的另一个根。 9.关于x的一元二次方程x2十mx十m一2=0. (1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根： (2)设该方程两个同号的实数根为x,x2,试问是否存在m使x12十x:2+m(x1十x2)=2+1成立？若存 在，求出m的值，若不存在，请说明理由. 10.关于x的一元二次方程x2+2m.x十m2十m=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围： (2)设x1,xg是方程的两根，且x2十x2=12,求m的值. 53知识点二 -Aac 1=二h+@匹c,x=二b-@匹 2a 2a 2.n-4■一2a 3.没有实数根 【跟踪练习2】 I.D 2.解：(1)4=1F-4×2×1=-7<0, ,此方程没有实数根。 (2)4=-4×2×(-1)=k2+8>0, ,此方程有两个不相等的实数根。 3.解：(1)，△=(2m)2-4(2-1)m4>0. ,∴.方程十2x十一1=0有两个不相等的实数根 (2)将x=3代人方程，得3十2×3m十m2一1=0. 解得m1=一2,1=一4， 自主检测 1.C2.C3.D4.B5.C 6.3一1147.m≥6且m≠0 8.解：(1)x=一4十42，x=一4-42 2=1一⑥ (2n=1+6 2 = 9.解：(1)证明：斤一4ac=(一4)2一4m·(一5)=16+20m, m>0,16+20m一定大于0， .当m>0时，方程一定有两个不相等的实数根 (2)r=n是它的一个实数根， :∴.mm2-4n-5=0 .mn2一4n=5. m72一4n十m=3十m, .5十m=3+ 整理，得m一m-2=0. 解得m=2或一1， .∥-4ac=(-4)2一4m·(一5)=16+20m0. 4 ∴m≥- ,.m=2 10.解：(1)，方程有两个不相等的实数根. .△=1-4×1×(-k)=1+4k>0. .1 解得>一了 (2)把k=6代人原方程，得x2十x=6. 整理，得x2十x一6=0. 解得x1=一3，x2=2. 1L.解：(1)根据题意，得△=2一4[一(m-1)]>0. 解得n>0. (2)n为取值范围内的最小整数， ∴.n=1. 方程化为x2+2x=0. 解得x1=0.x2=一2. 4用因式分解法求解一元二次方程 知识点讲解 知识点一一次因式的乘积 【跟踪练习】 1.有■■3 2.解：(1)x1=2,x=1. 7 (2).=1=3 自主检测 1.C2.C3.D 88 4.①.x(x-2)②(x-2)F③3(.x+3)(.r-3) ④(x—1)(x-6) 5用==364成51.4=号函=4818 9.解：(1)分解因式，得x(2x十3)=0. 可得x=0,或2x+3=0. 3 解得=0,0=一2 (2)方程整理，得r(2x-5)-(2r一5)-0. 分解因式，得(2x-5)(.x-1)=0. 可得2x一5=0，或r一1=0. 解得=受=1 (3)分解因式.得(3x+1)(x一2)=0 可得3x+1=0,或x-2=0. 解得=一名=2. (4)方程移项，得(x+1)一3(x十1)一4=0. 把x十1看作一个整体， 分解因式，得(x十1一4)(x十1十1)=0 可得，x+1一4=0，或x十1+1=0. 解得x=3或一2. (5)分解因式，得(3r一1一5)(3.x一1+5)=0. 可得3x-1一5=0，或3x-1+5=0. 解得x=2n=一3 (6)分解因式，得(x一3一1)2=0 可得x一3一1=0. 解得n=x=4. 10,解：令a十2b=x,则x(x一2)=2.r-4,即(.x-2)=0. n=x=2..4a十8b-1=4x-1=7. 11,解：(1)3※5=3-4×3十5=2. (2)zx2-4x+4=(2x+1)2-4(2x+1)+4, .(x-2)2=(2x十1-2)2，即(x-2)￥-(2x-1)=0. .[(x-2)+(2x-1D][(x-2)-(2x-1)]=0. 解得力=1.n=一1. 5 一元二次方程的根与系数的关系 知识点讲解 知识点一日 【跟踪练习】 1.2 2.解：(1)，一元二次方程x十(2m一1)x十m=0有两个实 数根4=-m+10.m< (2)当一x2=0,即（十）(1一2)=0时十= 0或1一■0. 当x1十x2=0时，十=-(2m-1),-(2m-1)=0,解 得m= 又：m≤子心m=是不成立. 当一x=0时，=2，方程有两个相等的实数根， 4=一4m十1=0.解得m=有 综上所述.当x一=0时，m= 自主检测 1.C2.C3.C 4.r=1 -35-号620297.2 8.解：(1D根据题意，得△=2+4>0. 解得k>一1， (2)把r=1代人方程，可得1十2一k=0.解得k=3. .方程为x2+2x-3=0. 10.解：设这个矩形养殖场的长为rm,则宽为1+)】一工m 令方程的另一个根为。 根据题意，得x.41+)-=216. .1×x1=-3. 2 解得x■一3. 解得=18=24（不合题意，舍去） 9.解：(1)证明：△=m一4×1×(m一2)=m一4m+8 所以，这个矩形养殖场的长、宽各是18m和12m (m-2)2十4>0. 山.解：设平均每次降价的百分率为x,则第一次降价后的价 ,无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 格为400(1一x),第二次降价后的价格为400(1一x) (2)不存在.理由如下： 根据题意，得400(1一x)2=256. :,是关于x的一元二次方程x十m.r十m一2=0的 解得x1=0.2=20%,x=1.8(舍去). 两个同号的实数根， 所以，该衣服每次平均降价的百分率是20%. ,∴4x1十x=一m,1·x=m-2>0 ,∴.x2十x22十m(x1十x)=(x1十x:)2-2x·x2十m(x1十 12.解：(1)根据题意，得y=200+10(80-x)=1000一10.x )=㎡2一2(m-2)-m2=-2(m-2)<0. (50≤180)， m2+1>0, 即y=1000-10.x(5080). ,.不存在m使x12十x2十m(r1十x)=m2十1成立 (2)根据题意，得(r一50)(1000-10x)=6000 10.解：(1)根据题意，得△=(2m)-4(m+m)>0. 整理，得2-150x十5600=0. 解得m<0. 解得x1=70,x1=80(不合题意，含去). ∴.m的取值范围是m<0 所以，当每箱售价为70元时，每量期的销售利润达到 (2)根据题意，得x1十x2=一2n,x12=m2十m. 6000元. x9+x2=12, 章末预习自测 .(x4十x)-2x1x=12. ∴.（一2m)-2(2十m)=12. 1.A2.D3.D4.D5.B6.D .解得m=一2，m=3(不合题总，舍去). 7.B【解析】：(x-2)(x-5)=0, .m的值是一2. .r-2=0,或x-5=0. 6应用一元二次方程 .1=2,=5. 知识点讲解 :菱形ABCD的一条对角线长为6， 知识点一审，设、列、解、验、答 ,AB的长为5. 知识点二 ∴.菱形ABCD的周长=4×5=20. 【跟踪练习1】 故选B 1.解：设小路的宽为x米 8.C 根据题意有(40一x)(32-x)=1140. 整理，得x一72x+140=0. 9-3210.-2 11.512.213.40 解得=2，=70（不合题意，舍去） 14.7200(1+x)2=8450 所以，小路的宽是2m 2.解：设正方形花坛的边长为xm,则矩形空地的长为(2r十 15.解：(1)移项，得2(x一2)2一(x一2)(x+2)=0. 分解因式，得(x一2)(2x一4一x一2)■0. 2×3)m,宽为(x十2×2)m 根据题意，得(2x+2×3)(x+2×2)=84. .n=2,=6 整理，得x+7x一30=0. (2)移项、两边同除以号，得2一21=一号 解得x=3,x=一10（不合题意，舍去）. 所以，正方形花坛的边长为3m 配方.得-2+1=+1， 【跟踪练习2】B 【跟踪练习3】解：设应将每件衣服的售价降低x元，则每件的 即(x-1D-2 利润为(30一20一x)元，每天可售出(20十5x)件 根据题意，得(30一20-x)(20十5x)-25=200. 整理，得x2一6x十5=0. 1=±竖 解得1=1.e=5. 所以，应将每件衣服的售价降低1元或5元 n=1+号=1号 自主检测 16.解：(1)根据题意，得：-4ac=(一2)”一4(m一2)≥0，且 1.D2.A3.B4.B m一2≠0. 5.(x-30)[200+10(x-50)]=3000 ,m3且m≠2 6.(35-2r)(20-x)=627(或2r2-75x+73=0) (2),“m≤3且n≠2. 7.688.3000(1+x)2=5000 .可取m=1. 9.解：(1)(45-30)×[80-(45-40)×2]=1050（元）. 当m=1时，原方程化为一x一2x十1=0. 所以，每天的销售利润为1050元. (2)设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[80 f= 2±十4 2×(-1) 2(x一40)件 根据题意，得(x-30)[80-2(x一40)]=1200. 解得=一1一2，=一1十. 整理，得x2-110.r十3000=0. 17.解：(1)设平均增长率为x 解得1=50，=60（不合题意，舍去） 根据题意，得64(1+x)=100. 所以，每件工艺品售价应为50元 解得x=0.25,的=一2.25（舍）. 89