5 一元二次方程的根与系数的关系-【提优精练】2024-2025学年九年级上册数学（北师大版）

第●章一元二次方程 忧 *5 一元二次方程的根与系数的关系 优基础培优题 挖提教村。高于教材 忧能力提升题 综合应用，提升能力 7.(易错题)若关于x的一元二次方程x2 一题两用（理解知识·激活思维） (2m十3)x十m2=0有两个不相等的实数根 1.已知方程x2+6.x+3=0的两实数根是 x1x2,且x1十x2=x1x2,则m的值是 C1r2. ( 基础设问 A.-1或3 B.3 (1)x1十x2 1= C.2或-1 D.-3或1 (2)x1十x号的值是 8.(新定义题)对于任意实数a,b,我们定义新运 延展设问 算“*”：a*b=a2十2ab一b2.例如：3￥5= (3)9+的值是 32+2×3×5一5=14.若m,n是方程(x+ 2)*3=0的两根，则2+的值为 m 知识点一。一元二次方程的根与系数的关系 9.已知实数a,b满足a一2+|b+3|=0,若关 2.(教材P50T1变式)若x1,x2是方程2.x2 于x的一元二次方程x2+a.x十b=0的两个 6x+3=0的两个根，则2+1的值为( 实数根分别为x1,x,则x1十x:一x1x:的 TI T? 值为 A.2 B.-2 c吃 D.2 10.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3).x+ m十1=0.若x1,x:是原方程的两根，且 3.(教材P51T3变式)若关于x的一元二次方 (x1一x2)2-20=0,求m的值. 程2x2一k.x+12=0的一个根x1为2，则方 程的另一个根x2和k的值分别为 ( A.x2=3,k=10 B.x2=-3.k=-10 C.x2=3,k=-10 D.x2=-3.k=10 11.已知a,b是方程2.x+7x+2=0的两个实 4.(开放题)写出一个分别以2，一1为根的一元 数根，求下列各式的值： 二次方程 (1)2a2+8a+b: 知识点三一元二次方程的根与系数关系的 应用 5.已知关于x的一元二次方程x2+mx十3=0 有两个实数根1，n,则代数式(m+n)22的 值为 A.1 B.0 C.32e4 D.72o24 6.若a,b(a<b)为菱形ABCD的两条对角线 长，且a,b为一元二次方程x2一17.x十66=0 的两根，则菱形的周长为 ( A.157B.2/157 C.4√157D.4√17 35 智学酷提优精练数学九年级上册(BS) 12.已知关于x的一元二次方程x2一(m十3)x十 片素养创新题 桃战创析，素养发展 3m=0. (1)求证：无论取何值，该方程总有两个 14.(新定义题)规定：若m十1√p 实数根： (m≠0，m,n,p为有理数。 (2)若R1△ABC的两直角边AB,AC的长 √p为无理数)是一元二次方 恰好是该方程的两个实数根，且斜边BC的 程a.x2十bx十c=0(a≠0，a,b,c为有理数) 长为4，求m的值。 的一个根，则m一√下也是该方程的一个 根，称m士np是该方程的一对“共轭无 理根” (1)一元二次方程x2一2x一2=0的一对 “共轭无理根”为 (2)若2+√3是关于x的一元二次方程x2+ bx十c=0的一个根，求有理数b,c的值. (3)关于x的一元二次方程a.x2+bx+a=0 (a≠0，a,b为有理数)的一对“共轭无理根” 是x1,x2.若x1=m十V2(m,n为有理 数)，求代数式xi+x十x2(2n+V2m)一 m2一6n2的值。 13.(探究题)关于x的一元二次 方程.x2一4.x十k一1=0有两 个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围. (2)若x1,x2分别是一个矩形的长和宽 ①是否存在实数k,使得矩形的面积为10？ 若存在，请求出k的值：若不存在，请说明 理由. ②是否存在实数k,使得矩形的对角线长为 √10？若存在，请求出k的值：若不存在，请 说明理由。 中数数字科 ◆362-1=-号 解得n<9,即n的取值范围是n<9. (2)由(1)知，<9，答案不唯一，如n=1符 8.解：(1)x2+y2-2x+2y+3 合题意 =(x2-2x+1)+(y2+2y+1)+1 当n=1时，x2-6.r+1=0, =(x-1)+(y十1)2+1. 所以a=1,b=一6，c=1, 因为(x一1)2≥0，(y+1)*>≥0， 所以△=(-6)2-4×1×1=32>0， 所以(.x-1)2+(y+1)2+1≥1， 所以不论x,y取什么有理数，多项式x十 所以x=6±便 =3±22】 2×1 y2-2x+2y+3的值总是正数， 解得x1=3+22,x1=3-2√2. (2)因为2a2+b2+2ab-6a+9=0. 13.-214.r1=1,x2=2 所以(a2+2ab+b)+(a2-6a十9)=0， 15.解：(1)x1=-3,.x=2 所以(a+b)2+(a-3)2=0. (2).x1=5.x2=-3. 所以(a+b)2=0,(a-3)2=0, (3)x1=3,x=5. 所以a=3,b=-3. 16.解：小敏：×：小霞：×. 9.D解析：因为关于x的方程x十k2一16=0 正确的解答方法： 和x2一3k+12=0有相同的实数根， 移项，得3(x-3)-(x一3)2=0. 所以x2十k2-16=x2-3k+12. 提取公因式，得(x一3)(3-x十3)=0. 所以k2十3款一28=0. 则x-3-0或3-x+3-0, 因为4=3-4×1×(-28)=121>0， 解得x1=3,x:=6. 所以k=二3土2 ,所以k=一7或k=4. "5一元二次方程的根与系数的关系 2×1 1.(1)-63(2)30(3)10 分别把4和一7代入原方程或根的判别式检 2.A3.A 验可知，当k=一7时，方程x2一3k十12=0 4.x”一x一2=0（答案不唯一） 无解，所以k=4,故选D. 5.A6.B 10.A解析：由数轴可知m>0,n<0. 7B解析：图为关于x的一元二次方程x” 因为2.x2一(m十n).x+mn=0是关于x的 (2m+3).x+m2=0有两个不相等的实数根， 一元二次方程， 所以△=[-(2m+3)]-4m2=12m+9>0. 所以△=[一(m十n)门2一8m. 因为m>0,n<0, 所以m>-是 所以一8mn>0, 因为x1+x:=2m十3，x1x:=m2,x1十 所以△=(m十n)2一8n>0, T:=I:. 所以原方程有两个不相等的实数根 所以2m十3=m2, 故选A 解得m=一1或m=3. 11.解：(1).x1= -9+√17 -9-√17 2 rg= 因为m>一子所以m=3 3 【易错】注意所求m的值必须满足判削式大 (2)x1= +压，5二压 2 2 于零 12.解：(1)根据题意，得△=（一6）一4×1×n>0. 故选B. ◆29 解析：由题意，得(x十2)*3=0即(x十 所以a<0,b<0. 2)+6(x十2)-9=0 所以层+店 【关健】根据新定义得等式化为一元二次方程 √abab 中数数字 是解随的美健 化简，得x2+10x+7=0. =-ava画bb 因为m,”是孩方程的两根， ab ab 所以加十n=一10，mm=7, (a+b)ab 所以2m十m-2m100-49 ab 7羽 7 9.1解析：图为a-2+1b+3|=0, 1 所以a-2=0,b十3=0， 所以a=2.b=一3. 7 因为关于x的一元二次方程x十a.x十b=0 12.(1)证明：因为△=[-(m+3)了一4×3m= 的两个实数根分别为x1·x:, m2一6m+9=(m-3)≥0. 所以r1十r±=一a=一2，x1x2=b=-3, 所以无论m取何值，该方程总有两个实数根 所以x1十x2一x1x=-2-(-3)=-2+3=1 (2)解：设AB=x1,AC=x± 10.解：因为x1x:是方程x2十(m十3)x十m十 由题意，得x1十x1=m十3，x1x:=3m. 1=0的两根， 因为Rt△ABC的斜边BC=4, 所以x1十x2=一(m十3)，x1x:=m十1. 所以x1十x=4, 因为(x1一x2)2一20=0，即(x1十x2)2 所以(x1十x)2-2x1x:=16. 4x1x-20=0. 即(m十3)2-2×3m=16. 所以[一(m+3)]2-4(m十1)一20=0. 整理，得m十9=16， 整理，得m2十2m一15=0， 解得m1=一5.m2-3, 解得m,=√7，m:=一7 所以m的值为一5或3. 因为x1,x2为两个正根， 11.解：因为a,b是方程2x+7x+2=0的两个 所以m:=一7舍去， 实数根。 所以m=7. 7 所以2a+a=-2.a+b=-2,ab=1 13.解：(1)根据题意.得△=（一4）°一4(k 1)≥0，解得k≤5， (1)2a2+8a+b 即k的取值范围为k≤5. =2a+7a+a+b (2)①不存在.理由如下： =(2a+7a)+(a+b) 因为矩形的面积为10， =-2 7 所以x1:=k一1=10， 解得k=11,与k≤5矛盾， 所以不存在实数k,使得矩形的面积为10. 7 ②存在. (2)因为a+b=-2<0,ab=1>0, 根据根与系数的关系， 30 得x1十x2=4,x1x=表一1. (2)(35-x)(20-x)=600 因为矩形的对角线长为√可， (3)(35-2.x)(20-x)=540 所以xi+xi=(W而)， (4)解：学校铺设完路面的费用是28800元. 所以(x1十x:)2-2x1x:=10. 2.C3.12m8m4.2 即4-2(k-1)=10. 5.解：3s后PQ的长度是15cm. 解得k=4,满足k≤5， 6.2或3解析：设运动时间为1s, 所以的值为4， PB=(10-2t)cm.BQ=t cm. 14.(1)1士3 依题意，将时10-211=6. (2)解：设该方程的另一个根为1，则根据根与 整理，得12一5t十6=0， 系数的关系，得2+v3+1=-b.(23)1=c. 解得11=2,1=3. 因为6为有理数， 所以2s或3s时，△BPQ的面积是6cm. 所以设1=p一√3(p为有理数). 7解：如图，过点D作DE⊥BC于点E,过点P 因为c为有理数， 作PF⊥BC于点F D 所以1与2十为有理化因式， 所以1=2-3， B 所以b=一4，c=1. (3)解：根据根与系数的关系，得x1x:一二-1. 由题意，得AP=tcm,CQ=3tcm. 因为在梯形ABCD中，AD∥BC,∠B=90, 因为x1=m十nZ,所以x=m一n区， 所以四边形ABED、四边形ABFP都是矩形. 所以x1十x:=2m, 因为AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm, x1x:=(m十n2)(m-n√2)=1. 所以BE=AD=24cm,PF=DE=AB=8m, 即m3-2n=1. 所以CE=BC一BE=2cm, 所以m2=1十2n2, 所以CD=CE+DE=68. 所以x十x+x,(2n十2m)-m2-6n 因为FQ=BC-(CQ-BF=BC-CQ-AP= 26-3t-t=(26-4t)cm, =(x1+x:)2-2.x1x2+(m-n√2)(2n+ 所以PQ=PF2+FQ=64+(26-41)2, 2m)-m2-6n 所以当64+(26一4t)=68时，PQ=CD,解 =4m2-2×1+√2(m-n√2)(m+n√2) 得t=6或1=7. m2-6 所以当运动时间为6s或7s时，PQ=CD. =3m2-2+2×1-6n =3(1+2m2)-2+√2-6m &a2号 (2)解：存在理由如下： =3+6n2-2+√2-6m 设所求矩形的两边长分别是x和y, =1+②. x+y=4, 6应用一元二次方程 由题意，得 7 第1课时用一元二次方程解决几何应用问题 1.(1)(35-2x)(20-2x)=600 消去y整理可得2x一8.x+7=0. 31