（九上预习篇）第2章 4 用因式分解法求解一元二次方程-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

假期：带 BS·数学·九年级·上 4用因式分解法求解一元二次方程 ☒单习目标4Q. 1,灵活运用因式分解法解一元二次方程. 2.通过学习探究一元二次方程的解法，使学生知道因式分解法解一元二次方程是一种最简便、特殊的方法，通 过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程. 知识点讲解2Gg· 知识点因式分解法 先因式分解，使方程化为两个 等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现 降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.如对于方程x2一9=0，左边分解因式得(x十3)(x一3)= 0,则必有x十3=0，或x一3=0，所以x1=一3，x2=3,这种解法就是因式分解法. 【典型例题】解方程：4(x十2)2一9(x一3)2=0. 解：分解因式，得[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x一3)]=0， 即(5x-5)(-x+13)=0. 可得5x-5=0或-x十13=0. 解得x1-1,x2-13. 【跟踪练习】 1.方程x(x-3)=3(x一3)的解是 2.用因式分解法解下列方程： (1)x2-4=3.x-6; (2)(x-3)2-4(x-2)2=0. 学法指导24Q. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 1.整理方程，使其右边为0. 2.将方程左边分解为两个一次因式相乘的积 3.令每一个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程. 4.分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 a自主检测24 1.如果x2一x一1=(x+1)°，那么x的值为 A.2或-1 B.0或1 C.2 D.-1 2.方程x2=3z的解是 A.x=3 B.x=0 C.x1=3,x2=0 D.x1=-3,2=0 50 第二章一元二次方程 预习篇 3.已知方程2x2+bx十c=0的左边可分解因式为2(x-3)(x十1)，则b,c的值为 () A.b=3,c=-1 B.b=-6,c=2 C.b=-6,c=-4 D.b=-4,c=-6 4.因式分解：①x2-2x :②x2-4x+4= ③3.x2-27= :④(x-1)2-5(x-1)= 5.方程x2-6x十9=0的根为 6.如果一个直角三角形的两边长是一元二次方程x2一7x十12=0的两个根，那么这个直角三角形的斜边长 为 7.方程x(3x一2)=4(3x-2)的根为 8.已知方程x2一10x十16=0的两个根是一个等腰三角形的两边长，则这个等腰三角形的周长为 9.用因式分解法解方程： (1)2x2+3x=0: (2)x(2x-5)=2x-5: (3)3.x2-5x-2=0: (4)(x+1)2-4=3(x+1): (5)(3x-1)2-25=0: (6)(x-3)2-2(x-3)+1=0. 10.已知实数a,b满足(a十2b)(a十2b-2)=2a十4b-4,求4a+8b-1的值. 11.定义运算“※”对于任意实数a,b都有a※b=a2一4a+十b. (1)求3※5的值： (2)若x※4=(2x十1)※4，求x的值. 51知识点二 -4ac 1五=二h叶@c,=二b-@匹 2a 2a 6 2.a=n=一 3.没有实数根 【跟踪练习2】 1.D 2.解：(1)：△=1-4×2×1=-7<0， 此方程没有实数根。 (2),△=k2-4×2×(-1)=k2+8>0, 此方程有两个不相等的实数根。 3.解：(1)，△=(2m)2-4(2-1)=4>0, ∴.方程x2十2mx十m2-1=0有两个不相等的实数根。 (2)将x=3代入方程，得32+2×3m十m2-1=0. 解得m1=一2,2=一4. 自主检测 1.C2.C3.D4.B5.C 6.3-4147.m≥-6且m≠0 8.解：(1)=一4十42，=一4一4W2 (2)西-1+5 21-6 2 9.解：(1)证明：：一4ac=(一4)2一4m·(一5)=16+20m. ,m>0,16十20m一定大于0， .当m>0时，方程一定有两个不相等的实数根。 (2):x=n是它的一个实数根， .mm2-4n-5=0. .mm2-4n=5. ,m2一4n十m=3十m2, .5十m=3十m2。 整理，得m2一m一2=0】 解得m=2或一1. ,∥-4ac=(-4)2-4m·(-5)=16+20mi>0 4 ∴m≥-5 .m=2. 10.解：(1)，方程有两个不相等的实数根， .△=12-4X1×(-k)=1+4k>0. 解得公一是 (2)把k=6代人原方程，得2+x=6. 整理，得x2十x-6=0. 解得01=一3,3=2. 11.解：(1)根据题意，得△=22一4[一（一1）]>0 解得>0. (2),n为取值范围内的最小整数， .n=1. 方程化为x2十2x=0. 解得■0,2=一2. 4用因式分解法求解一元二次方程 知识点讲解 知识点一次因式的乘积 【跟踪练习】 1.x=x=3 2.解：(1)z=2,x2■1： 7 (2)x1=1,x=3 自主检测 1.C2.C3.D 88 4.①x(x-2)②(x-2)2③3(x+3)(x-3) ④(x-1)(x-6) 5.1==3 64或51五=号西=4818 9.解：(1)分解因式，得x(2x十3)=0. 可得x=0,或2x+3=0. 解得五=0，=一是 (2)方程整理，得x(2x一5)-(2x一5)=0. 分解因式，得(2x一5)(x一1)=0. 可得2x一5=0，或x一1=0. 5 解得五=是=1 (3)分解因式，得(3x十1)(x一2)=0. 可得3x+1=0,或x-2=0. 解得工=一3=2. (4)方程移项，得(x十1)2一3(x十1D一4=0. 把x十1看作一个整体， 分解因式，得(x+1一4)(x+1+1)-0. 可得x+1-4=0,或x+1+1=0. 解得x=3或一2. (5)分解因式，得(3x-1-5)(3x一1+5)=0. 可得3x-1-5=0,或3x-1+5=0. 4 解得=2，=一3 (6)分解因式，得(x-3一1)2=0. 可得x一3一1=0. 解得=x=4. 10.解：令a+2b=x,则x(x-2)=2x-4,即(x-2)2=0. .m=x=2..4a+8b-1=4x-1=7. 11.解：(1)3紫5=32一4×3+5=2. (2)x2-4x+4=(2x+1)2-4(2x+1)+4, .(x-2)2=(2x十1一2)2，即(x-2)2-(2x-1)2=0 ,[(x-2)+(2x-1)][(x-2)-(2x-1)]=0. 解得x1=1,x1=一1. 5 一元二次方程的根与系数的关系 知识点讲解 知识点一是 a 【跟踪练习】 1.2 2.解：(1)：一元二次方程x2十(2m一1)x十m2=0有两个实 数根，d=-m十1>0.∴m≤ (2)当x12-x2=0,即(xn十x2)(一x)=0时，十x= 0或x一x=0, 当+x2=0时，十=一(2m-1),-(2m-1)=0,解 得m=立： 义：m<号心m=号不成立。 当一=0时，x1=x,方程有两个相等的实数根， 4=一4m十1=0.解得m=年 综上所述，当一2=0时m■4 自主检测 1.C2.C3.C 4x=1-35-号 6.20297.2 8.解：(1)根据题意，得△=22+4>0. 解得>一1.