（九上预习篇）第2章 3 用公式法求解一元二次方程-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

知识点二 1.ax2+bx+c■C 【跟踪练习2】 1.B 2.-23.4-5x -81 知识点三相等 【跟踪练习】 1.20232.5 自主检测 1.A2.A 3.14.Y2-4x-1=05.-3 6.解：(3x十2)(x-3)=2x-6, 3x2-9x=0, 所以它的二次项系数是3，一次项系数是一9，常数项是0. 7.解：根据题意，得m2一m=0,且m一1≠0. 解得m=0, 即m的值为0 8.解：根据题意，得(x十1)·2x一(x十2)(x一2)=22. 整理，得2x2十2x一x2十4=22， 即x2+2x一18=0. 它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程. 9.解：将x=一1代人原方程，得(a+1)一2十1一a2=0 整理，得a2一a=0, 即a(a-1)=0. 解得a=0或1. 10.解：：m是方程x2一2022x十1-0的一个不为0的根， ∴.m2-2022m+1=0. ∴m2-2021m=m-1,m2+1=2022m. m-2021m+2%-m-1+1±1-1=202 r+1 1=2021 2 用配方法求解一元二次方程 知识点讲解 知识点一 平方根定义 1.■-√p,x■√p 2.0=x2=0 3.无实数根 【跟踪练习1】 解：(1)移项，得4x2=1 两边同除以4，得=子 根据平方根的定义，得x=士是，即五=号五=一合 (2)根据平方根的定义，得x一2=士3. 所以x1=5,xg=一1. 知识点二 完全平方式 1.=一n√p,=一n十√p 2.x1=x2=一n 3.无实数根 【跟踪练习2】 1.(x-2)2=7 2.解：(1)1=5.2=一1. (2)y=-2+5,为=-2-√5. (3)x1=-2,x2=-4. (4)x1=-1+5,x=-1-5. 6=1+9=1-9 21 (6=+压n=-1-四 2 2 自主检测 1.C2.A3.C 4号5±8 6.解：(1)移项，得2x2+4x=7. 两边同除以2，得t+2红=子 配方：得2+2x+1=+1, 即(x+1= 直接开平方，得x十1=士号 n=-2432=-2-32 2 2 (2)整理，得x2+5x=x一4. 配方，得x2十4x十4=0， 即(x+2)2=0. 直接开平方，得x十2■0. ,∴n=x2=一2. (3)配方，得x2-22x+2=0, 即(x-√2)=0. 直接开平方，得x一√2=0. 五==2. (④)移项，两边同除以2，得2十4红=号 配方，得2++4-合+4， 即（x+2-号 直接开平方，得x+2=土32 2 函=-2+39西=-2-3号 2 (5)配方，得x2-2x+1=8 即(x一1)2=8. 直接开平方，得x一1=士22. .-1+22,-1-2√2 （⑥移项、两边同除以2，得广一是=一之 配方，得-+品-+品 即(x)》'= 直接开平方，得工一是=士子 =分w=1 7.证明：x2+y2-2x-4y+16=(x-1)2+(y-2)+11≥11> 0,即多项式的值总是正数。 8.解：将x=2代人x2一c=0,得4一c=0. 解得c=4. 方程为x2-4=0,则x2=4 .n=2,r2=-2. .c=4,另一个根为x=一2. 3用公式法求解一元二次方程 知识点讲解 知识点一x=一吐4a Za 【跟踪练习1】 解：(1)=一3+亚 2 =-3-厘 2 (2)=√2+3，=2-5. (3)62-4ac=-7<0,无实数根， 87 知识点二 -4ac 1五=二h叶@c,=二b-@匹 2a 2a 6 2.a=n=一 3.没有实数根 【跟踪练习2】 1.D 2.解：(1)：△=1-4×2×1=-7<0， 此方程没有实数根。 (2),△=k2-4×2×(-1)=k2+8>0, 此方程有两个不相等的实数根。 3.解：(1)，△=(2m)2-4(2-1)=4>0, ∴.方程x2十2mx十m2-1=0有两个不相等的实数根。 (2)将x=3代入方程，得32+2×3m十m2-1=0. 解得m1=一2,2=一4. 自主检测 1.C2.C3.D4.B5.C 6.3-4147.m≥-6且m≠0 8.解：(1)=一4十42，=一4一4W2 (2)西-1+5 21-6 2 9.解：(1)证明：：一4ac=(一4)2一4m·(一5)=16+20m. ,m>0,16十20m一定大于0， .当m>0时，方程一定有两个不相等的实数根。 (2):x=n是它的一个实数根， .mm2-4n-5=0. .mm2-4n=5. ,m2一4n十m=3十m2, .5十m=3十m2。 整理，得m2一m一2=0】 解得m=2或一1. ,∥-4ac=(-4)2-4m·(-5)=16+20mi>0 4 ∴m≥-5 .m=2. 10.解：(1)，方程有两个不相等的实数根， .△=12-4X1×(-k)=1+4k>0. 解得公一是 (2)把k=6代人原方程，得2+x=6. 整理，得x2十x-6=0. 解得01=一3,3=2. 11.解：(1)根据题意，得△=22一4[一（一1）]>0 解得>0. (2),n为取值范围内的最小整数， .n=1. 方程化为x2十2x=0. 解得■0,2=一2. 4用因式分解法求解一元二次方程 知识点讲解 知识点一次因式的乘积 【跟踪练习】 1.x=x=3 2.解：(1)z=2,x2■1： 7 (2)x1=1,x=3 自主检测 1.C2.C3.D 88 4.①x(x-2)②(x-2)2③3(x+3)(x-3) ④(x-1)(x-6) 5.1==3 64或51五=号西=4818 9.解：(1)分解因式，得x(2x十3)=0. 可得x=0,或2x+3=0. 解得五=0，=一是 (2)方程整理，得x(2x一5)-(2x一5)=0. 分解因式，得(2x一5)(x一1)=0. 可得2x一5=0，或x一1=0. 5 解得五=是=1 (3)分解因式，得(3x十1)(x一2)=0. 可得3x+1=0,或x-2=0. 解得工=一3=2. (4)方程移项，得(x十1)2一3(x十1D一4=0. 把x十1看作一个整体， 分解因式，得(x+1一4)(x+1+1)-0. 可得x+1-4=0,或x+1+1=0. 解得x=3或一2. (5)分解因式，得(3x-1-5)(3x一1+5)=0. 可得3x-1-5=0,或3x-1+5=0. 4 解得=2，=一3 (6)分解因式，得(x-3一1)2=0. 可得x一3一1=0. 解得=x=4. 10.解：令a+2b=x,则x(x-2)=2x-4,即(x-2)2=0. .m=x=2..4a+8b-1=4x-1=7. 11.解：(1)3紫5=32一4×3+5=2. (2)x2-4x+4=(2x+1)2-4(2x+1)+4, .(x-2)2=(2x十1一2)2，即(x-2)2-(2x-1)2=0 ,[(x-2)+(2x-1)][(x-2)-(2x-1)]=0. 解得x1=1,x1=一1. 5 一元二次方程的根与系数的关系 知识点讲解 知识点一是 a 【跟踪练习】 1.2 2.解：(1)：一元二次方程x2十(2m一1)x十m2=0有两个实 数根，d=-m十1>0.∴m≤ (2)当x12-x2=0,即(xn十x2)(一x)=0时，十x= 0或x一x=0, 当+x2=0时，十=一(2m-1),-(2m-1)=0,解 得m=立： 义：m<号心m=号不成立。 当一=0时，x1=x,方程有两个相等的实数根， 4=一4m十1=0.解得m=年 综上所述，当一2=0时m■4 自主检测 1.C2.C3.C 4x=1-35-号 6.20297.2 8.解：(1)根据题意，得△=22+4>0. 解得>一1.第二章一元二次方程 预习篇 3用公式法求解一元二次方程 学习目标2ge. 1.熟练地应用求根公式解一元二次方程. 2.经历探索求根公式的过程，培养抽象思维能力 3.理解一元二次方程根的判别式，能够用其判断一元二次方程根的情况，会根据一元二次方程根的情况求解 方程中字母的取值 石如识点讲解gg 知识点一用公式法求解一元二次方程 在解一元二次方程时，先把方程化为一般形式，确定a,b,c的值，然后在b一4ac≥0的前提下，把各系数 a,b,c的值代人公式 就可以求出方程的根，上面的式子叫做一元二次方程的求根 公式 【典型例题1】用公式法解下列方程： (1)x2-2/3x+3=0; (2)-3x2+5x+2=0: (3)2-x+日=0： (4)3x=√2(x+1)(x-1). 思路点拨： 公式法解方程 求根公式 求方程的解 把方程化为 确定a,b,c的值，计算 得出方程的解 般形式 b"-4ac 解：(1)，a=1,b=-2W3,c=3,b-4ac=(-23)2-4×1×3=0, x=二（-，2B)0=5. 2×1 ∴.x=x2=√3】 (2)在方程的两边同乘以一1，得3x2一5x一2=0. ,a=3,b=-5,c=-2,b-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=49>0, x=-（-5)±49=5士7 2×3 6· x=2,x2=-3 1 (3)在方程的两边同乘以8，得4x2一4x十1=0. ,a=4,b=-4,c=1,-4ac=(-4)2-4X4×1=0, ∴x=二（二4)±0=4=1 2×4 -82 函== (4)将原方程化为一般形式，得/2x2一√3x一√2=0. ,a=√2，b=-√3，c=-√2，b2-4ac=(-√3)2-4×2×(-√2)=11>0， x=二一3)±五-6±22 2√2 4 “=6+22 4 2=6-22 4 【跟踪练习1】 用公式法解下列方程： (1)x2+3x-2=0: (2)(x+1)(x-1)=2W2x: (3)4x2-3x=-1. 47 假期母留宽 BS·数学·九年级·上 知识点二一元二次方程根的判别式 一般地，式子 叫做方程ax2十bx十c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=？ Aac. 1.当△>0时，一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个不相等的实数根， 2.当△=0时，一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)有两个相等的实数根， 3.当△<0时，一元二次方程a.x2十bx十c=0(a≠0)， 我们可以通过求6一4ac的值，判断方程根的情况；反之，也可以由根的情况判断△的符号. 【典型例题2】不解方程判别下列一元二次方程根的情况. (1)x2+1=2x;(2)5(x2+1)-7x=0;(3)2x2+3x-1=0. 思路点拔：首先将方程整理成一般形式，然后确定a,b,c的值，代入b一4ac中求出△，通过“△>0，△-0， △<0”确定方程根的三种情况. 解：(1)原方程可变形为x2-2x十1=0.，a=1,b=-2,c=1, ∴.△=6一4ac=(一2)2一4×1×1=4一4=0..此方程有两个相等的实数根. (2)原方程可变形为5x2-7x+5=0..a=5,b=一7，c=5, .△=b2一4ac=(-7)2一4×5×5=一51<0..此方程没有实数根. (3)a=2,b=3,c=-1,∴.△=6-4ac=32-4×2X(-1)=17>0. ,此方程有两个不相等的实数根。 【跟踪练习2】 1.一元二次方程x2一4x一1=0的根的情况是 () A.没有实数根 B.只有一个实根 C.有两个相等的实数 D.有两个不相等的实数根 2.不解方程，判断下列关于x的方程根的情况： (1)2x2+x+1=0: (2)2x2+kx-1=0. 3.已知：关于x的方程x2十2mx十m2一1=0. (1)不解方程，判断方程根的情况； (2)若方程有一个根为3，求m的值， a学法指导94e 1.用公式法解一元二次方程的一般步骤： (1)把一元二次方程化为一般形式a.x2十bx十c=0(a≠0)： (2)确定a,b,c的值； (3)求出b子-4ac的值： (4)若仔一4ac≥0，则把a,b,c及？-4ac的值代入求根公式，求出和x2;若一4ac0,则方程无实数根 2.一元二次方程有两个不相等的实数根b2一4ac>0,根的判别式是专对一元二次方程而言的，因此要特别 注意：当二次项系数中含有待定系数时，二次项系数不为零的条件 48 第二章一元二次方程 预习篇 a自主检测4… 1.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是 A没有实根 B.只有一个实根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 2.一元二次方程x2-2x一1=0的解是 A.x1=x2=1 B.x1=1十√2，x2=-1-√2 C.x1=1+√2，x2=1-√2 D.x1=-1十√2，x2=-1-√2 3.关于x的一元二次方程kx2一4x十1=0有两个实数根，则k的取值范围是 A.k>4 B.k≤4 C.k<4且k≠0 D.k≤4且k≠0 4.若一元二次方程ax2十bx十c=0的系数满足ac<0,则方程根的情况是 A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法判断 5.已知关于x的一元二次方程(k一1)x2+2x十1=0没有实数根，则k的取值范围是 A.k<2 B.k<2且k≠1 C.k>2 D.k≥2 6.方程3x2+1=4x中，a= ,b= C= ,b2-4ac= 7.若关于x的一元二次方程2mx2十(8m十1).x十8m=0有两个实数根，那么m的取值范围是 8.用公式法解下列方程： (1)x(x+8)=16: (2)2x2-1=4x: (3)2x2-2√2x+1=0. 9.已知关于x的一元二次方程m.x2一4x一5=0. (1)求证：当m>0时，方程一定有两个不相等的实数根： (2)已知x=n是它的一个实数根，若mn2一4n十m=3十m2,求m的值. 10.已知关于x的一元二次方程x2十x=k (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围： (2)当k=6时，求方程的实数根。 11.关于x的一元二次方程x2+2x一(n一1)=0有两个不相等的实数根. (1)求n的取值范围； (2)若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根。 49