（九上预习篇）第2章 1 认识一元二次方程-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

(2).OAOC,OB-OD.AC-BD. ..OA=OB ./AOB=/C0D=60°. ∴.△AOB是等边三角形 .OA=AB=3. ∴.AC=20A=6. 在Rt△ABC中，BC=√AC-AB=33, ∴.矩形ABCD的面积=AB·BC=3X3√3=9√3. 16.证明：四边形ABCD是平行四边形， ,AD=CB,AD∥CB '.∠DAE=∠BCF DE∥BF .∠DEF=∠BFE ∴.∠AED=∠CFB. 在△ADE和△CBF中， I∠DAE=∠BCF. ∠AED=∠CFB, AD-CB, ·.△ADE2△CBF(AAS). ∴.DE=BF 又'DE∥BF, ,四边形EBFD是平行四边形 BE=DE. ,平行四边形EBFD为菱形 17.解：(1)证明：DE∥BC,DF∥AB, “四边形DEBF是平行四边形. ,DE∥BC ,∠EDB=∠DBF BD平分∠ABC, ·∠ABD=∠DBF= 2∠ABC ∴∠ABD=∠EDB. .DE-BE. .平行四边形BEDF为菱形. (2)'∠A=80°，∠C=30°， .∠ABC=180°-80°-30°=70° 四边形BEDF为菱形， ∴.∠EDF=∠ABC=70 ∴∠BDE号∠EDF-35 18.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形 ∴.CF∥ED ∴∠FCG=∠EDG ,G是CD的中点， .CG-DG. 在△FCG和△EDG中， ∠FCG=∠EDG, CG-DG. ∠CGF=∠DGE, ∴.△FOG≌△EDG(ASA) ..FG=EG. .四边形CEDF是平行四边形 (2)2【解析】"四边形ABCD是平行四边形， '.AD=BC=5cm,CD=AB=3cm,∠ADC=∠B=60 ,当DE=CE时，四边形CEDF是菱形， ',当△CED是等边三角形时，四边形CEDF是菱形 ∴.DE=CD=3m ..AE=AD-DE=2(cm), 即当AE=2m时，四边形CEDF是菱形。 19.解：(1)证明：，AF∥BC ∠AFE=∠DBE 86 ",E是AD的中点，AD是BC边上的中线， ..AE=DE,BD=CD. 在△AFE和△DBE中， ∠AFE=∠DBE. ∠FEA=∠BED AE-DE. ,.△AFE≌△DBE(AAS). ..AF=BD .AF=CD (2)四边形ADCF是菱形.证明如下： ,AF∥BC,AF=CD, ,四边形ADCF是平行四边形. "AC⊥AB,AD是斜边BC的中线， ∴AD=2BC=CD. ∴平行四边形ADCF是菱形 20.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC, ∴，∠ABP=∠CBP=45 在△ABP和△CBP中， (AB-CB, ∠ABP=∠CBP PB-PB. ..△ABP≌△CBP(SAS) .PA=PC PA=PE, ∴.PC=PE (2)由(1)知，△ABP2△CBP, ∴.∠BAP=∠BCP ∴∠DAP=∠DCP PA=PE, ∠DAP=∠E .∠DCP=∠E '∠CFP=∠EFD, .180°-∠CFP-∠FCP=180°-∠EFD-∠E,即 ∠CPF=∠EDF=90° (3)AP=CE.理由如下 在菱形ABCD中，AB=BC,∠ABP=∠CBP 在△ABP和△CBP中， (AB-CB. ∠ABP=∠CBP PB=PB. ,'.△ABP≌△CBP(SAS). .PA=PC,∠BAP=∠BCP. ∴.∠DAP=∠DCP PA=PE. ∴.PC=PE PA=PE, ∴.∠DAP=∠DEP '·∠DCP=∠DEP ,∠CFP-=∠EFD, .∠CPF=∠EDF :∠ABC=∠ADC=120° ,.∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=60° ,.△EPC是等边三角形. ..PC=CE. ..PA=CE 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 知识点讲解 知识点一整式一个2 【跟踪练习1】 1.A2.C 知识点二 1.ax2+bx+c■C 【跟踪练习2】 1.B 2.-23.4-5x -81 知识点三相等 【跟踪练习】 1.20232.5 自主检测 1.A2.A 3.14.Y2-4x-1=05.-3 6.解：(3x十2)(x-3)=2x-6, 3x2-9x=0, 所以它的二次项系数是3，一次项系数是一9，常数项是0. 7.解：根据题意，得m2一m=0,且m一1≠0. 解得m=0, 即m的值为0 8.解：根据题意，得(x十1)·2x一(x十2)(x一2)=22. 整理，得2x2十2x一x2十4=22， 即x2+2x一18=0. 它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程. 9.解：将x=一1代人原方程，得(a+1)一2十1一a2=0 整理，得a2一a=0, 即a(a-1)=0. 解得a=0或1. 10.解：：m是方程x2一2022x十1-0的一个不为0的根， ∴.m2-2022m+1=0. ∴m2-2021m=m-1,m2+1=2022m. m-2021m+2%-m-1+1±1-1=202 r+1 1=2021 2 用配方法求解一元二次方程 知识点讲解 知识点一 平方根定义 1.■-√p,x■√p 2.0=x2=0 3.无实数根 【跟踪练习1】 解：(1)移项，得4x2=1 两边同除以4，得=子 根据平方根的定义，得x=士是，即五=号五=一合 (2)根据平方根的定义，得x一2=士3. 所以x1=5,xg=一1. 知识点二 完全平方式 1.=一n√p,=一n十√p 2.x1=x2=一n 3.无实数根 【跟踪练习2】 1.(x-2)2=7 2.解：(1)1=5.2=一1. (2)y=-2+5,为=-2-√5. (3)x1=-2,x2=-4. (4)x1=-1+5,x=-1-5. 6=1+9=1-9 21 (6=+压n=-1-四 2 2 自主检测 1.C2.A3.C 4号5±8 6.解：(1)移项，得2x2+4x=7. 两边同除以2，得t+2红=子 配方：得2+2x+1=+1, 即(x+1= 直接开平方，得x十1=士号 n=-2432=-2-32 2 2 (2)整理，得x2+5x=x一4. 配方，得x2十4x十4=0， 即(x+2)2=0. 直接开平方，得x十2■0. ,∴n=x2=一2. (3)配方，得x2-22x+2=0, 即(x-√2)=0. 直接开平方，得x一√2=0. 五==2. (④)移项，两边同除以2，得2十4红=号 配方，得2++4-合+4， 即（x+2-号 直接开平方，得x+2=土32 2 函=-2+39西=-2-3号 2 (5)配方，得x2-2x+1=8 即(x一1)2=8. 直接开平方，得x一1=士22. .-1+22,-1-2√2 （⑥移项、两边同除以2，得广一是=一之 配方，得-+品-+品 即(x)》'= 直接开平方，得工一是=士子 =分w=1 7.证明：x2+y2-2x-4y+16=(x-1)2+(y-2)+11≥11> 0,即多项式的值总是正数。 8.解：将x=2代人x2一c=0,得4一c=0. 解得c=4. 方程为x2-4=0,则x2=4 .n=2,r2=-2. .c=4,另一个根为x=一2. 3用公式法求解一元二次方程 知识点讲解 知识点一x=一吐4a Za 【跟踪练习1】 解：(1)=一3+亚 2 =-3-厘 2 (2)=√2+3，=2-5. (3)62-4ac=-7<0,无实数根， 87第二章一元二次方程 预习篇 第二章一元二次方程 X衔接思维导图gp. 旧知识 新知识 一元一次方程及因式分解 一元二次方程 元二次方程的定义 认识一元二次方程 元二次方程的一般形式 用二分法确定一元二次方程的近似解 用配方法求解一 ∫解一元二次方程 直接开平方法 元二次方程 解一元二次方程一配方法 用公式法求解 ∫解一元二次方程一公式法 元二次方程 几根的判别式 *一元二次方程的根 根的判别式的应用 与系数的关系 根与系数的关系 用因式分解法求 解一元二次方程一因式分解法 解一元二次方程 换元法解一元二次方程 应用一元二次方程【由实际间题抽象出一元二次方程 一元二次方程的应用 1认识一元二次方程 学习目标g4Q. 1.了解一元二次方程的定义. 2.能够熟练地将一元二次方程整理为一般形式，并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项。 3.了解用二分法确定一元二次方程的近似解。 4.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界数量 关系的工具，增加对一元二次方程的认识 石如识点讲解g 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是 ,只含有 未知数（一元），并且未知数的最高次数是 (二次) 的方程，叫做一元二次方程。 【典型例题1】下列关于x的方程中是一元二次方程的是 (只填序号). (1)x2+1=0: (2)x2+1=1 x+2 (3)x2+y+1=0: (4)x3-x2-x十1=0； (5)2x(3.x+5)=6.x2+4: (6)(x-2)(x-3)=5. 解析：根据一元二次方程的定义，要判断一个方程是否是一元二次方程，要看它是否符合定义的三个必备 条件：①是整式方程.当然对有些方程必须先整理后再看；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2. (1)是：(2)含有分式；(3)含有两个未知数：(4)未知数的最高次数是3：(5)方程整理，得一10x十4=0，不是 一元二次方程；(6)方程整理，得x2一5x十1=0，是一元二次方程，所以(1)(6)是一元二次方程 答案：(1)(6) 41 假期品器 BS·数学·九年级·上 【跟踪练习1】 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的有 aar+br+c=0:(2)r+2=0:3x-1Dx-2)=0:(④x=(-1:(6)3r2-2y-5y=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若x+1十6x十1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 A.-1 B.0 C.1 D.2 知识点二一元二次方程的一般形式 1.一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次 项，b是一次项系数；c是常数项. 2.一元二次方程的一般形式有两个特征：①等式左边是二次三项式，右边是零；②a≠0，尤其注意a≠0是 极易疏漏的条件，在求解问题时，它属于题目中的隐含条件，一定要重视。 3.要确定一元二次方程的各项系数，必须先将一元二次方程化为一般形式，特别注意各项系数必须包括 前面的符号. 4.一元二次方程的一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数.另外，要区分二次项、 二次项系数是两个不同的概念 【典型例题2】把方程号（一1）”=3x十号化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。 思路点拨：将方程去分母、去括号、移项、合并同类项等即可得到方程的一般形式。 解：方程两边同乘以6，得3(x一1)2=18x+2. 去括号，得3x2一6x十3-18x十2. 移项、合并同类项，得3x2-24x十1=0. 此方程的二次项系数为3，一次项系数为一24，常数项为1. 【跟踪练习2】 1.方程5x2+7x一3=0中二次项的系数、一次项系数及常数项分别是 ( A.5,7,3 B.5,7,-3 C.5,-7,3 D.5,-7,-3 2.若关于x的一元二次方程(3a-6)x2+(a2-4)x十a十9-0没有一次项，则a- 3.已知一元二次方程4x2-5x=81,则它的二次项系数为 ,一次项为 ,常数项为 知识点三一元二次方程的解（根） 使方程左右两边 的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次 方程的根. 【典型例题3】你认为方程x2+2x一3=0的解应该是 () A.x=1 B.x=一3 C.x=3 D.x=1或-3 解析：把1，一3,3分别代入方程x2十2x3=0,发现当x=1和x=一3时，方程x2十2x-3=0左右两边 相等，所以x=1和x=一3都是方程x2十2x一3=0的解 答案：D 【跟踪练习3】 1.若一元二次方程a.x2-bx一2023=0有一根为x=一1，则a十b= 2.已知m是方程x2-5x-6=0的一个根，则代数式11+5m一m2的值是 为江学法指导9 1.判斯一个方程是否为一元二次方程，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整 式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数：②未知数的最高次数是2. 2.一元二次方程的解的定义必须满足两个条件：一是未知数的值：二是必须使方程左右两边相等 3.判断一个数是否是某个一元二次方程的解的方法：把该数代入这个一元二次方程中，如果方程的左右两边 相等，则该数是这个一元二次方程的解；若左右两边不相等，就不是这个方程的解。 五自主检测4 1.一元二次方程x2十5x十6=0的解应该是 A.x=-2或-3 B.x=2或3 C.x=-6或1 D.x=6或-1 42 第二章一元二次方程 预习篇 2.一元二次方程3x2十2x一3=0的一次项系数和常数项分别是 () A.2和一3 B.3和-2 C.一3和2 D.3和2 3.关于x的方程(a十1)x2+1十x-5=0是一元二次方程，则a= 4.将方程x(x一1)=3x十1化为一元二次方程的一般形式 5.已知(m-1)xm+1十2mx十4=0是关于x的一元二次方程，则m的值是 6.把方程(3x十2)(x一3)=2x一6，化成一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项. 7.若关于x的一元二次方程(m一1)x2-x十m2一m=0的常数项为0，则m的值为多少？ 8将4个数a,6c,d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义-a一-k,上述记法就叫做二阶行列 式那么 x+1x+2 x-22x =22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式。 9.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2+2.x十1一a2=0有一个根为一1，求a的值. 10已知m是方程r-202x+1=0的-个不为0的根，求m-2021m+层肾的值 43