（九上预习篇）第1章 3 正方形的性质与判定-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

假期母带 BS·数学·九年级·上 3 正方形的性质与判定 ☒学习目标g9 1.理解正方形的概念，掌握正方形的性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算. 2.分清正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别. 8知识点讲解Wgg· 知识点一正方形的定义 四条边都 ,四个角都是 的四边形叫做正方形.(1)既是矩形又是菱形的四边形是正方 形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更是特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个 角是直角的菱形.(2)正方形的定义也是正方形的判定 【典型例题1】如图所示，已知A',B,C,D分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA'=BB=CC=DD. 求证：四边形A'B'CD'是正方形 B B 解析：欲证明四边形为正方形，只需先证明四条边相等，再证明一个内角为90°即可. 证明：四边形ABCD为正方形， ∴.DA=AB=BC=CD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 又AA'=BB=CC=DD,∴.DA=A'B=B'C=CD. .△AA'D'2△BB'A'≌△CCB'△DDC'(SAS). ∴.DA'=A'B'=B'C'=CD',∠2=∠3. ,∠1+∠2=90°，∴∠1十∠3=90°.∴.∠DAB'=180°-（∠1+∠3）=90° 同理：∠A'B'C'=∠B'C'D'=∠CD'A'=90°. ∴.四边形A'BCD'为正方形（四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形）. 【跟踪练习1】 1.如图，在四边形ABCD中，AC,BD交于点O,则根据下列条件能判定它是正方形的是 A.∠DAB=90°且AD=BC B.AB=BC且AC=BD C.∠DAB=90°且AC⊥BD D.ACI BD且AO=BO=CO=DO D D 0 第1题图 第2题图 2.如图是一张矩形纸片ABCD,若将纸片沿DE折叠，使AD落在DC上，点A的对应点是点F,则四边形 ADFE的形状是 ,依据是 知识点二正方形的性质 1.边一四条边相等、邻边垂直、对边平行. 2.角—四个角都是直角。 3.对角线一①相等：②互相垂直平分；③每条对角线平分一组对角. 34 第一章特殊的平行四边形 预习篇 【典型例题2】如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O,E是OB上的一点，DG⊥AE于点G,交OA于点 F.求证：OE=OF. 思路点拨：要证明OE=OF,只需证明△AEO2△DFO.由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到 ∠AOE-∠DOF-90°，AO-DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO-∠FDO,可以得到这两 个三角形全等，故结论得证 证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等)， 又，DG⊥AE, ∴.∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠GED=90°. ,∠AEO=∠GED,∴.∠EAO=∠EDG-∠FDO. ,∴.△AEO≌△DFO(ASA)...OE=OF 【跟踪练习2】 L.正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是 () A.8 B.42 C.8√2 D.16 2.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,OE∥AB交BC于点E,若AD-8cm,则OE的 长为 () A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 知识点三正方形的判定方法 正方形的判定方法除定义外，判定思路有两条：先证四边形是菱形，再证明它有一一个角是直角或对角线相 等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）. 【典型例题3】如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC,∠ABC的平分线相交于点D,且DE⊥BC于点 E,DF⊥AC于点F,那么四边形CEDF是正方形吗？说明理由. 解：四边形CEDF是正方形.理由如下： 如图，过点D作DG⊥AB于点G. AD平分∠BAC,DF⊥AC,.DF=DG. 同理可得DG=DE.DF=DE ,DF⊥AC,DE⊥BC,∠C=90°， ,四边形CEDF是矩形 DF=DE,矩形CEDF是正方形. 【跟踪练习3】 1.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件：①AB=BC;②∠ABC=90°；③AC BD;④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错 误的是 () A.①② B.②③ C.①③ D.②④ 35 假期母假宽 BS·数学·九年级·上 2.如图，在四边形ABCD中，AB=BC,对角线BD平分∠ABC,P是BD上一点，过点P作PM⊥AD, PNCD,垂足分别为M,N (1)求证：∠ADB=∠CDB: (2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形. 单法指导g40 1.正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系（如图所示）： 菱形 组邻边相等 或对角线互相垂直平分) 个内角为直角 (或对角线相等) 平行四边形 有三个直角 一组邻边相等且有一不内和为直布 正方形 四边形 (或对角线相等) 个内角为直角 组邻边相等 且四边相等 矩形 或对角线互相垂 或者可表示为（如图所示）： 平行四边形 正 矩形 方 菱形 五自主检测44g 1.下列说法正确的有 () ①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形： ③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形：④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步 证明 () AAC与BD互相垂直平分 B.∠A=∠B且AC=BD C.AB=AD且AC=BD D.AB=AD且AC⊥BD 3.已知正方形ABCD,以CD为边作等边△CDE,则∠AED的度数是 () A.15 B.75 C.15°或105 D.15或75 4.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，下列条件能使四边形ABCD成为正方形的是 () A.AC=BD B.AB⊥BC C.AD=BC D.AC⊥BD C 第4题图 第5题图 5.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，且AE=AB,连接BE,DE,则∠CDE的度数为 A.20° B.22.5 C.25 D.30° 36 第一章特殊的平行四边形 预习篇 6.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E,F分别在BC和CD上，下列结论：①CE =CF;②∠AEB=75°；③BE+DF-EF;④正方形对角线AC-1十√3，其中正确的序号是 () A①②④ B.①② C.②③④ D.①③④ D 0 B E N 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，四边形ABCD是正方形，△CBE是等边三角形，则∠AEB= 8.如图，在正方形ABCD中，AD=6,∠DAE=30°，F为AE的中点，过点F作直线分别与AD,BC相交于点 M,N,若MN=AE,则AM的长等于 9.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂 足为E. (1)求证：四边形ADCE是矩形； (2)若连接DE,交AC于点F,试判断四边形ABDE的形状（直接写出结果，不需要证明）： (3)△ABC再添加一个什么条件时，可使四边形ADCE是正方形？并证明你的结论. 10.如图，四边形ABCD,AEFM都是正方形，连接BE,DM 求证：BE=DM 37【跟踪练习3】 1.D 2.AC=BD(或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠CDA= ∠DAB=90) 3.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ..OA-OC.OB-OD. AE-CF...OE-OF 在△BOE和△DOF中， OB=OD, ∠BOE=∠DOF OE=OF, ∴.△BOE≌△DOF(SAS) (2)四边形EBFD是矩形，理由如下： .OB=OD,OE=OF, ,四边形EBFD是平行四边形 BD-EF. ∴，平行四边形EBFD是矩形 自主检测 1.D2.A3.A4.C5.A 61513& 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=90° EF⊥EC, ,∴.∠FEC=90° ∴∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠DEC=9O° .∠AFE=∠DEC 在△AEF与△DCE中， (∠A=∠D, ∠AFE=∠DEC AE-DC, '.△AEF≌△DCE(AAS) AF-DE. (2)AE=3DE-3AF. 在Rt△AEF中，根据勾股定理，得AE+AF=EF 即9AF+AF=40. 解得AF=2. ∴.DE=AF=2 .AE=6. ∴，DC=AE=6,AD=AE+DE=8. ∴Sag=号XAE·AF=6. ∴.四边形BCEF的面积=SD一2S△r=AD· 2×6=48-12=36. 10.证明：(1)，D是AB的中点， ..AD=BD. 在△ADE和△BDF中 AD-BD, ∠ADE=∠BDF, DE-DF, ∴.△ADE≌△BDF(SAS) (2)AD-BD.DE-DE. 四边形AFBE是平行四边形 D,E分别是AB,AC的中点， '.DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC .∠DEB=∠CBE :∠ABE=∠CBE ,.∠DEB=∠ABE .BD-DE ..AB=EF. ,.平行四边形AFBE是矩形 3正方形的性质与判定 知识点讲解 0或 知识点一相等直角 【跟踪练习1】 1,D 2.正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 知识点三 【跟踪练习2】 1.A2.B 知识点三 【跟踪练习3】 1.B 2.证明：(1)，BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD 又BA=BC,BD=BD,.△ABD≌△CBD(SAS) .∠ADB=∠CDB (2)PMLAD,PN⊥CD,∴.∠PMD=∠PND=90 又∠ADC=90,.四边形MPND是矩形 ∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD, ,PM=PN.,矩形MPND是正方形 自主检测 1.D2.C3.D4.D5.B6.A 7.758.4或2 9.解：(1)证明：，在△ABC中，AB=AC,AD为∠BAC的平 分线， ,.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD ∴.∠ADC=90 :AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ,.∠MAN=∠CAN. ∠DAE=90° CE LAN. ,.∠AEC=90° ,.四边形ADCE为矩形 (2)四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD,AC=DE 又，AB=AC,BD=CD, ..AB=DE.AE=BD. ,,四边形ABDE是平行四边形 (3)当∠BAC=90时，四边形ADCE是正方形，理由如下： ·∠BAC=90°，AB=AC,AD为∠BAC的平分线. ..AD-=CD-BD. 又四边形ADCE是矩形 .四边形ADCE是正方形 10.证明：四边形ABCD,AEFM都是正方形， ,.AD=AB,AE=AM,∠EAM=∠DAB=90° .∠EAM+∠DAE=∠DAB+∠DAE, 即∠MAD■∠EAB. 在△MAD与△EAB中， AD-AB. ∠MAD=∠EAB, LAM-AE, .△MAD≌△EAB(SAS) ..BE=DM. 章末未预习自测 1.C2.D3.A4.A5.A6.A7.D8.B 9.1010.311.312.1713.814.6 15.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形 .OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90° .BE=DF OE=OF 在△AOE和△COF中， (OA=OC. ∠AOE=∠COF OE-OF ∴.△AOE≌△COF(SAS). ..AE=CF. 85