1.3 正方形的性质与判定 练习 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

2024年九年级数学上册暑假预习1.3《正方形的性质与判定》练习答案 1.【答案】  【解答】 解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： 有一组邻边相等的矩形是正方形， 对角线互相垂直的矩形是正方形． 添加，能使矩形成为正方形． 2.【答案】  【解析】解：根据等边三角形和正方形的性质可知，，， ， ． 3.【答案】  【解析】解：如图，过点作轴于点， 、点，， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和  中， ， ≌， ，， 点． 4.【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ． 平分， ， ． 5.【答案】  【解析】解：由题意可得：点，点， 把点代入解析式可得：， 解得：， 把点代入解析式可得：， 解得：， 所以的取值范围为：， 6.【答案】  【解析】解：连接、， 在中， ， ， 同理，，， 又在矩形中，， ， 四边形为菱形． 7.【答案】  【解答】 解：四边形是正方形， ，， ， 将四边形沿折叠，点恰好落在边上， ，， ， ， ， 设，则，， ， 解得， ． 8.【答案】  【解答】 解： 四边形和四边形都是正方形， ，，， ． 在与中， ， ≌， ， ． 9.【答案】  【解析】解：连接、、、， 点，，，分别是、、、的中点， ，，，，，，，， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是矩形，， ， 平行四边形是菱形， ，，， ， 平行四边形不可能是矩形或正方形， 10.【答案】  【解答】 解：、分别垂直、，垂足为、， ， 又， 四边形是矩形； 为等腰直角三角形， ，， ，， 和均为等腰直角三角形， 又， ≌， ， 四边形是正方形，故正确； ， ， 为等腰直角三角形， ，， ≌，故正确； 如图所示，将绕点顺时针旋转至，则，， 由于≌，故点落在点处，连接，则、、共线， 当时，， ，， ≌， ， ，， ， ， ，即，故正确． 11.【答案】 【解析】解：正方形的边长为， 正方形的对角线长为； 正方形的面积为． 12.【答案】  【解析】解：延长、交于点， 为的中点， ， 四边形正方形， ，， ， 在和中 ， ≌， ， ， 点为的中点， ， ， 在中，为斜边的中线， ， 13.【答案】  【解析】解：连接，如图所示： 由旋转的性质可知：． 在和中，， ≌． ，． ， ． 又， ， ， 又， ． 14.【答案】  【解答】 解：四边形是正方形， ，， ，， ， 在中，， ， ， 解得不合题意，舍去， 则正方形的边长为 15.【答案】  【解析】解：四边形是正方形，，相交于点， ，， 在和中， ≌， ， ， ， 是等腰直角三角形； 故正确； 当时，最小，此时， 面积的最小值是， 故错误； ， ， 假设存在一个，使得的周长是， 则， 由得是等腰直角三角形， ． ，的最小值是， 存在一个，使得的周长是． 故正确； 由知：≌， ， 故正确； 16.【答案】证明：，， 四边形是平行四边形． 四边形是正方形， ，， 为正方形． 17.【答案】解：，，， ， ， ．  18.【答案】解：如图，正方形即为所求．   19.【答案】证明：将绕点顺时针旋转后，得到， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 是的平分线； 由得≌， ，， 四边形是正方形， ， ， ， 在中，， 又， ， ．  20.【答案】解：  ，； 四边形为平行四边形时，， ，解得； 存在时刻，使四边形为菱形． 理由如下： ，， 当时有四边形为菱形， ，解得；    【解答】 解：如图． ， ． 在直角梯形中，，，于点， 四边形为矩形， ， ； 故答案为：，． 见答案； 见答案； 四边形为正方形． ． ， ， ， ． 故答案为：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年九年级数学上册暑假预习1.3《正方形的性质与判定》练习 1、 选择题： 1.添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，正方形外侧作等边三角形，则的度数为(    ) A. B. C. D. 3.如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，，则点的坐标是(    ) A. B. C. D. 4.如图，已知是正方形对角线上一点，平分，则的度数是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为的正方形，顶点、分别在轴的负半轴、轴的正半轴上若直线与边有公共点，则的值可能为(    ) A. B. C. D. 6.顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是(    ) A. 正方形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法判断 7.如图，在正方形中，，点，分别在边，上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为(    ) A. B. C. D. 8.如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是(    ) A. B. C. D. 不能确定 9.在平行四边形中，，，点，，，分别是、、、的中点，连接，，，，当从锐角逐渐增大到钝角的过程中，四边形的形状的变化依次为(    ) A. 平行四边形菱形平行四边形 B. 平行四边形菱形矩形平行四边形 C. 平行四边形矩形平行四边形 D. 平行四边形菱形正方形平行四边形 10.如图，在等腰直角中，，、是上的两点，且，过、作、分别垂直、，垂足为、，延长、交于点，连接、其中：四边形是正方形当时，，正确的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题： 11.已知正方形的一条边长为，则这个正方形的对角线长为          ，面积为          ． 12.如图，正方形的边长为，为的中点，连接，于点，连接则 ______． 13.如图，将边长为的正方形绕点逆时针方向旋转后得到正方形，则图中阴影部分面积为______． 14.“方胜纹”是由两个正方形互相压角穿插、相叠而成的纹样，寓意同心同德、同舟共济．如图，将正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜纹”图案，若，，则正方形的边长为__________． 15.已知：如图，正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点点，不与线段，的端点重合且，连接，，． 在点，运动的过程中，有下列四个结论： 是等腰直角三角形； 面积的最小值是； 至少存在一个，使得的周长是； 四边形的面积是． 所有正确结论的序号是______． 三、解答题： 16.如图，在正方形中，，交于点，，求证：四边形是正方形． 17.如图，点在边长为的正方形内，，，求出图中阴影部分的面积． 18.尺规作图：如图，为的直径．求作：的内接正方形要求：不写作法，保留作图痕迹． 19.如图，在正方形中，、是对角线上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接． 求证：是的平分线； 已知，，求的长． 20.如图，直角梯形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接设运动时间为秒． ______，______用含的代数式表示 当四边形为平行四边形时，求的值； 如图，将沿翻折，得，是否存在某时刻， 使四边形为为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 使四边形为正方形，则______． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$