（九上预习篇）第1章 2 矩形的性质与判定-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

假期母带 BS·数学·九年级·上 2 矩形的性质与判定 Xx学习目标g4职- 1.知道矩形的概念，并会用概念判断四边形是矩形 2.知道矩形性质定理和判定定理的探索过程，熟记矩形的性质定理和判定定理，并会利用矩形的性质定理推 导直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3.会用矩形的性质定理和判定定理解决问题 石知识点讲解 知识点一矩形的定义和性质 1.有一个角是的平行四边形叫做矩形 2.矩形具有平行四边形的所有性质。 3.矩形的四个角都是 4.矩形的对角线 5.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。 【典型例题1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠BOC=120°，AB=6. 求：(1)对角线长： (2)BC的长： (3)矩形的面积. 思路点拨：由∠BOC=120°，可判定△AOB是等边三角形，所以OA=OB=6,再根据勾股定理可以求出 BC的长，从而求出面积 解：(1)，四边形ABCD是矩形， ∴.AC=BD,OA=OC,OB=OD.∴.OA=OB. 又：∠BOC=120°，∴.∠AOB=60°.，.△AOB是等边三角形..OA=AB=6. .矩形对角线BD=AC=2OA=2×6=12. (2)在R1△ABC中，AB=6,AC=12,由勾股定理， 得BC=AC-AB=/122-6=√108=63. (3)矩形ABCD的面积S=AB·BC-6X65=36√3. 【跟踪练习1】 1.平行四边形和矩形都具有的性质是 A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 2.如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O,AB=3,OA=2,则AD的长为 A.5 B.V13 C.10 D.√7 30 第一章特殊的平行四边形 预习篇 知识点二直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典型例题2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2,CE= 10,则CD= A.2 B.3 C.4 D.6 解析：根据直角三角形的性质得出AE=CE=10,进而得出DE=8,利用勾殷定理解答即可 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=10, ∴.AE=CE=10. AD=2, .DE=8. ,CD为AB边上的高， 在Rt△CDE中，CD=√CE-DE=√102-8=6. 答案：D 【跟踪练习2】 1.若直角三角形斜边上的高和中线长分别是4cm,6cm,则它的面积是 () A.12 cm2 B.24 cm C.15 cm2 D.48 cm2 2.如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB=10,M是AB的中点，连接MC,MD,CD, 若CD=6,则△MCD的面积为 A.12 B.12.5 C.15 D.24 知识点三矩形的判定 1.定义：有一个角是 的平行四边形叫做矩形. 2.对角线 平行四边形是矩形 3.有三个角是 的四边形是矩形 【典型例题3】如图所示，口ABCD四个内角的平分线分别交于点E,F,G,H 求证：四边形EFGH是矩形. B 思路点拨：AE,BE分别为∠BAD,∠ABC的平分线，由于在□ABCD中，∠BAD十∠ABC-180°，易得 ∠BAE+∠ABE=90°，不难得到∠HEF=90°，同理可得∠H=∠F=90° 证明：在□ABCD中，AD∥BC,·∠BAD+∠ABC=180° :AE,BE分别平分∠BAD,∠ABC,∴∠1+∠2-2∠BAD+号∠ABC-90 ∴.∠HEF=∠AEB=90°.同理∠H=∠F=90° .四边形EFGH是矩形. 【跟踪练习3】 1.下列条件中，不能判定一个四边形是矩形的是 A一组对边平行且相等，有一个内角是直角 B.有3个角是直角 C.两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形 D.一组对边平行，另一组对边相等，且两条对角线相等 2.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，需要添加一个条件，使它变为矩形，你添加 的条件是 .(不要添加任何字母和辅助线) 31 假期母的宽 BS·数学·九年级·上 3.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE=CF (1)求证：△BOE≌△DOF: (2)若BD=EF,连接DE,BF,判断四边形EBFD的形状，并说明理由. 学法指导24Q. L.(1)矩形定义的两个要素： ①是平行四边形： ②有一个角是直角，即矩形是特殊的平行四边形，它首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特 殊条件.矩形具有平行四边形的所有性质。 (2)矩形的定义既是矩形的性质也是矩形的判定，矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形 2.(1)矩形是特殊的平行四边形，过对角线的交点的任意直线可将矩形分成两个全等的图形. (2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别是通过对边中点的直线）. (3)矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可归结为从三个方面看： 从边看，矩形对边平行且相等，邻边互相垂直： 从角看，矩形四个角都是直角： 从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等。 3.用定义判定一个四边形是矩形，必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形.也就是说，有 一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个前提条件，它才是矩形 4.用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是平行四边形：二是对角线相等.也就是说，两条 对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个前提条件，它才是矩形 5.四边形有三个直角即是矩形 a自主检测24 L,下列说法正确的是 () A.矩形的对角线互相垂直且平分 B.矩形的邻边一定相等 C.对角线相等的四边形是矩形 D.有三个角为直角的四边形为矩形 2.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是边BC的中点，OA=√5，AD=4,则OE的长为 () A.1 B.√5 C.2 n号 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°，则∠OCD的度数为() A.35 B.40 C.45 D.50 4.如图，直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点，AB,BC,CD,AD分别是∠EAC,∠MCA,∠ACN, ∠CAF的平分线，则四边形ABCD是 () A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 32 第一章特殊的平行四边形 预习篇 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°且AB=3,AC=4,D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥ AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为 () A.2 5 C.3 D.4 M 0 B 第5题图 第6题图 第7题图 第8题图 6.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上点F处，如果∠BAF=60°，则∠DAE等于 7.如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在AB上，且EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16，则 AE= 8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,P为边AB上任意一点，过点P作PE⊥AC,PF⊥BD,垂足分别为 点E,F,则PE+PF= 9.如图，在矩形ABCD中，E,F分别是AD,AB上的点，EF⊥EC,且AE-DC (1)请说明：AF=DE; (2)若AE=3DE,EF=2√10，求四边形BCEF的面积. 10.如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，连接ED并延长至点F,使DF=DE,连接AF,BF,BE. (1)求证：△ADE≌△BDF (2)若∠ABE=∠CBE,求证：四边形AFBE是矩形. D 332.互相垂直 3.相等 【跟踪练习2】 1.B 2.16 3.证明：，AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD 又"EF⊥AD, .∠AOE=∠AOF=90 在△AEO和△AFO中， '∠EAO=∠FAO AO-AO, ∠AOE■∠AOF, ,'.△AEO≌△AFOCASA) ∴.EO=FO EF垂直平分AD, EF,AD相互平分 ,四边形AEDF是平行四边形 又EF⊥AD ∴，平行四边形AEDF为菱形. 自主检测 1.B2.C3.D4.D 5.126.40 7.72【解析】如图，连接AC交BD于点O.:四边形AECF 是菱形，.AC⊥BD,AO=OC,EO=OF.又'E,F为线陵 BD的两个三等分点，，BE=FD..BO=OD."AO=OC. ,,四边形ABCD为平行四边形.，AC⊥BD,,.平行四边形 ABCD为菱形.：四边形AECF为菱形，且周长为20， ∴，AE=5.,BD=24,E,F为线段BD的两个三等分点， “EF=8,B0=号EF=号×8=4.由勾度定理，得A0= √/AE-E0=√5-4=3.∴.AC=2A0=2X3=6, BD·AC= ×24×6=72. 8.89.30° 10.解：(1)证明：四边形ABCD是菱形， ,'.∠ABE=∠CBE,AB=CB. 在△ABE和△CBE中， AB=CB, ∠ABE=∠CBE BE■BE ,'.△ABE≌△CBE(SAS). AE-CE. 又"AE=DE .DE-CE. (2)如图，连接AC交BD于点H. :四边形ABCD是菱形， .AB=AD,AC⊥BD,BH=DH AH-CH. ∴.∠ABD=∠ADB. AE-DE-1, .'.∠DAE=∠ADE. ∴.∠DAE=∠ADE=∠ABD. ,'∠DAE+∠ADE+∠BAE+∠ABD=180°， '.∠DAE=∠ADE=∠ABD=30°. ∴.BE■2AE=2. ∴，BD=BE+DE=3. ∴BH=DH=是 :∠ABD=30°，AH⊥BD, ,.AB=2AH,BH=√3AH. 84 HABH 即菱形的边长为3。 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， .BD是∠ABC的平分线， 又，DE⊥AB,DF⊥BC, ..DE-DF. (2)设AB=AD=xcm,则AE=(8-x)cm. :∠E=90°，DE=DF=4m, ,'.在Rt△ADE中，AE+DE=AD, 即(8一x)2十42=x2. 解得x=5. .'.AB=5 cm. ,.菱形ABCD的面积=ABXDE=5×4=20(cm). 12.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,AD∥BC ,.∠ADB=∠DBC CQ∥DB. .∠BCQ=∠DBC .∠ADB=∠BCQ DP=CQ. ,'.△ADP≌△BCQ(SAS). .AP=BQ. (2),'CQ∥DB,且CQ=DP, ,.四边形CQPD是平行四边形 ,.CD=PQ,CD∥PQ ,四边形ABCD是平行四边形， ,AB=CD,AB∥CD .AB=PQ,AB∥PQ ,.四边形ABQP是平行四边形. "'△ADP2△BCQ, ,'.∠APD=∠BQC ,∠APD+∠APB=180°，∠ABP+∠BQC=180°， ,∠ABP=∠APB AB AP. ,,四边形ABQP是菱形 2矩形的性质与判定 知识点讲解 知识点一 1.直角 3.直角 4.互相平分且相等 【跟踪练习1】 1.A2.D 知识点二 【跟踪练习2】 1.B 2.A【解析】如图，过点M作ME⊥CD于点E. ,∠ACB=∠ADB=90°，AB= 10,M是AB的中，点， ÷CM-2AB-5,DM-2AB =5. ..CM-DM. .ME⊥CD,CD=6, ,.CE=DE=3. 由句股定理，得EM=V√CMf一CE区=√-3=4 ·△MCD的面积为2×CDXEM=2×6X4=12. 故选A 知识点三 1.直角 2.相等 3.直角 【跟踪练习3】 1.D 2.AC=BD(或∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠CDA= ∠DAB=90) 3.解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ..OA-OC.OB-OD. AE-CF...OE-OF 在△BOE和△DOF中， OB=OD, ∠BOE=∠DOF OE=OF, ∴.△BOE≌△DOF(SAS) (2)四边形EBFD是矩形，理由如下： .OB=OD,OE=OF, ,四边形EBFD是平行四边形 BD-EF. ∴，平行四边形EBFD是矩形 自主检测 1.D2.A3.A4.C5.A 61513& 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=90° EF⊥EC, ,∴.∠FEC=90° ∴∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠DEC=9O° .∠AFE=∠DEC 在△AEF与△DCE中， (∠A=∠D, ∠AFE=∠DEC AE-DC, '.△AEF≌△DCE(AAS) AF-DE. (2)AE=3DE-3AF. 在Rt△AEF中，根据勾股定理，得AE+AF=EF 即9AF+AF=40. 解得AF=2. ∴.DE=AF=2 .AE=6. ∴，DC=AE=6,AD=AE+DE=8. ∴Sag=号XAE·AF=6. ∴.四边形BCEF的面积=SD一2S△r=AD· 2×6=48-12=36. 10.证明：(1)，D是AB的中点， ..AD=BD. 在△ADE和△BDF中 AD-BD, ∠ADE=∠BDF, DE-DF, ∴.△ADE≌△BDF(SAS) (2)AD-BD.DE-DE. 四边形AFBE是平行四边形 D,E分别是AB,AC的中点， '.DE是△ABC的中位线. ∴DE∥BC .∠DEB=∠CBE :∠ABE=∠CBE ,.∠DEB=∠ABE .BD-DE ..AB=EF. ,.平行四边形AFBE是矩形 3正方形的性质与判定 知识点讲解 0或 知识点一相等直角 【跟踪练习1】 1,D 2.正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 知识点三 【跟踪练习2】 1.A2.B 知识点三 【跟踪练习3】 1.B 2.证明：(1)，BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD 又BA=BC,BD=BD,.△ABD≌△CBD(SAS) .∠ADB=∠CDB (2)PMLAD,PN⊥CD,∴.∠PMD=∠PND=90 又∠ADC=90,.四边形MPND是矩形 ∠ADB=∠CDB,PM⊥AD,PN⊥CD, ,PM=PN.,矩形MPND是正方形 自主检测 1.D2.C3.D4.D5.B6.A 7.758.4或2 9.解：(1)证明：，在△ABC中，AB=AC,AD为∠BAC的平 分线， ,.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD ∴.∠ADC=90 :AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ,.∠MAN=∠CAN. ∠DAE=90° CE LAN. ,.∠AEC=90° ,.四边形ADCE为矩形 (2)四边形ABDE是平行四边形，理由如下： 由(1)知，四边形ADCE为矩形，则AE=CD,AC=DE 又，AB=AC,BD=CD, ..AB=DE.AE=BD. ,,四边形ABDE是平行四边形 (3)当∠BAC=90时，四边形ADCE是正方形，理由如下： ·∠BAC=90°，AB=AC,AD为∠BAC的平分线. ..AD-=CD-BD. 又四边形ADCE是矩形 .四边形ADCE是正方形 10.证明：四边形ABCD,AEFM都是正方形， ,.AD=AB,AE=AM,∠EAM=∠DAB=90° .∠EAM+∠DAE=∠DAB+∠DAE, 即∠MAD■∠EAB. 在△MAD与△EAB中， AD-AB. ∠MAD=∠EAB, LAM-AE, .△MAD≌△EAB(SAS) ..BE=DM. 章末未预习自测 1.C2.D3.A4.A5.A6.A7.D8.B 9.1010.311.312.1713.814.6 15.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形 .OA=OC,OB=OD,AC=BD,∠ABC=90° .BE=DF OE=OF 在△AOE和△COF中， (OA=OC. ∠AOE=∠COF OE-OF ∴.△AOE≌△COF(SAS). ..AE=CF. 85