（八下复习篇）第1章 三角形的证明-【假期好时光】2025年数学八升九暑假作业（北师大版）

复习篇 八年级下册 第一章 8知识点回顾突破g4eg· 知识点一等腰三角形 1.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三 角形的顶角为 () A.50° B.80° C.50或80 D.40°或65 2.如图所示，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分 ∠ACB,MN∥BC,MN经过点O,若AB=12,AC =18,则△AMN的周长是 () A.15 B.18 0 C.24 D.30 3.如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45°，那么这个等腰三角形的底角为 A.22.5 B.67.5 C.67501 D.22.5或67.5 4.如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC边上的中 点，DE,DF分别垂直AB,AC于点E和F 求证：DE=DF. 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E,F分别在 AB,BC,AC边上，且BE=CF,BD=CE. (1)求证：△DEF是等腰三角形： (2)求证：∠B=∠DEF; (3)当∠A=40时，求∠DEF的度数. 第一章三角形的证明 复习篇 角形的证明 知识点二直角三角形 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高， ∠A=30°，BD=2cm,则AB的长为 () A D A.4cm B.6cm C.8 cm D.10 cm 7.如图，已知∠AOB=60°，点P在OA边上，OP= 8cm,点M,N在边OB上，PM-PN,若MN= 2cm,则OM的长为 () 0460 -B A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.1 cm 8.如图，在△ABC中，AB-AC,∠C-30°，AB⊥ AD,AD=2cm,求BC的长 知识点三线段的垂直平分线 9在△ABC中，分别以点A,B为圆心，大于2AB 的长为半径画弧，两弧的交点分别为D,E,则直线 DE是 () A∠A的平分线 B.AC边的中线 C.BC边的高 D.AB边的垂直平分线 1 假期母的宽 BS·数学·八年级·下 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC的垂直 平分线EF交AB于点D,连接CD,如果CD= 6,那么AB的长为 A.6 B.3 C.12 D.4.5 11,如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交AC 于点D,如果AC=5cm,BC=4cm,那么△DBC 的周长是 () A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm 第11题图 第12题图 12.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线， △BCD的周长为13，△ABC的周长为19，若 ∠ACD=60°，则AD= 章末自 (时间：60分钟 一、选择题（每题3分，共24分） L.下列四个说法： ①等腰三角形的腰一定大于其腰上的高； ②等腰三角形的两腰上的中线长相等： ③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ④等腰三角形的一边为5，另一边为10，则它的周 长为20或25. 其中正确的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 2.等腰三角形中有一个角为100°，则其底角为 ( A.50 B.40° C.40°或100° D.50°或100 3.如图，BE⊥AC于点D,且AB=BC,BD=DE,若 ∠ABC=54°，则∠E的度数为 A.27 B36 C.40° D.54° 2 知识点四角平分线 13.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥ OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是 ( A.PC=PD B.∠CPD=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD B 第13题图 第14题图 14.如图所示，点D在∠AOB的内部，DE⊥OA, DF⊥OB,垂足分别为E,F,DE=DF,则∠AOD 与∠BOD的大小关系是 () A.∠AOD>∠BOD B.∠AOD=∠BOD C.∠AODK∠BOD D.无法确定 15.在△ABC中，AB=5,BC=8,AC=6,AD平分 ∠BAC,则SAABD:S△ACD= 主测评 满分：100分) 4.如图，在△MNP中，∠P=60°，MN=NP,MQ NP,垂足为Q.延长MN至点G,取NG=NQ,若 △MNP的周长为12，则△MGQ的周长是( A.8+2√/3 B.6+4V3 C.8+43 D.6+23 5.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB =4,AC=3,那么△ABD与△ADC的面积比是 () A.1:1 B.3:4 C.4:3 D.不能确定 第5题图 第6题图 6.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网 格中，点A,B在小方格的顶点上，要在小方格的 顶点确定一点C,连接AC和BC,使△ABC是等 腰三角形.则方格图中满足条件的点C的个数是 () A.5 B.6 C.7 D.8 7.如图，△ABC的三边AB,BC,AC长分别是10， 15,20.其三条角平分线交于点O,将△ABC分为 三个三角形，S△Ao:S△m:S△co等于() A.1:1:1 B.1:2:3 C.2:3:4 D.3:4:5 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠ABC和∠ACB 的平分线分别交DE于点F,G,若FG=2,DE= 6,则BD+CE的值为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.9 二、填空题（每题4分，共24分） 9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB 交BC于点D,BE⊥AD交AD的延长线于点E. 若∠DBE=25°，则∠CAB= E 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，AB的 垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,BE=3, 则CE的长为 11.命题“等边三角形的每个内角都等于60”的逆命 题是 (填“真”或“假”)命题。 12.如图，AD垂直平分BC于点D,EF垂直平分 AB于点F,点E在AC上，BE+CE=20cm,则 AB= 第12题图 第13题图 13.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点， PM LOB于点M,N是射线OA上的一个动点， 若PM=7,则PN的最小值为 14.如图，已知△ABC的周长是 8,OB,OC分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC于点D, 且OD=3,△ABC的面积是 第一章三角形的证明 复习篇 三、解答题（共52分） 15.(7分)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为 CD的中点，连接AE,BE,BE⊥AE,延长AE交 BC的延长线于点F, 求证：(1)AD=FC: (2)AB=BC+AD. 16.(7分)证明命题“角的平分线上的点到角的两边 的距离相等”，要求根据题意，画出图形，并用符 号表示出已知和求证，写出证明过程.下面是小 明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的 已知和求证. 已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上， 求证： 请你补全已知和求证，并写出证明过程 17.(10分)如图，AD是等边三角形ABC的中线， AE=AD,求∠EDC的度数. 3 假期母的宽 BS·数学·八年级·下 18.(8分)如图，已知甲村和乙村分别靠近公路a,b, 20.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直 为了发展经济，甲、乙两村准备合建一个工厂，经 平分线DE分别交AC,AB于点D,E. 协商，工厂必须满足以下要求： (1)若∠A-=50°，求∠CBD的度数： (1)到两村的距离相等： (2)若AB=7,△CBD周长为12，求BC的长. (2)到两条公路的距离相等. 你能帮忙确定工厂的位置吗？ ·甲村 乙村“ b 19.(10分)如图，O是△ABC边AC上的一个动点， 过点O作MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线 于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于 点F (1)求证：OE=OF; (2)若CE=16,CF=12,求OC的长. x数学故事 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状形，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱雏形的底，由三个 相同的菱形组成.组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料.蜂房 的巢壁厚0.073毫米，误差极小. 丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形.“人”字形的角度是110度，更精确地计算还表明“人”字形 夹角的一半—即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44 分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？ 蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网 那样匀称的图案 冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的 热量也最少， 真正的数学“天才”是珊瑚虫，珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条 斑纹，显然是一天“画”一条.奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400条斑纹，天 文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天 4参考答案及解析 (部分答案不唯一) 复习篇八年级下册 (3)由(2)知∠DEF=∠B.AB=AC,∠A=40°， 第一章三角形的证明 ∠DEF=∠B=180'240=70 2 知识点回顾突破 6.C 1.C 7.B【解析】如图，过点P作PD⊥OB于点D, 2.D【解析】'，BO平分∠ABC,,'.∠ABO=∠CBO ,PM=PN,MN=2 cm, :MN∥BC,∴∠MOB=∠CBO.∴.∠MOB=∠ABO .MD=ND=1 cm. ∴OM=BM又：CO平分∠ACB,MN∥BC,同理可得ON PD⊥OB, =CN.∴.△AMN的周长=AM+AN+OM+ON=AM+ ∴.∠PDO=90 AN+BM+CNW=AB+AC=12+18=30.故选D. ,∠P0B=60° 0&60 3.D【解析】有两种情况 ∠OPD=30 MDN (1)如图1，当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于点D,则 ∠ADB=90. ∴0D=20P ∠ABD=45, :OP=8 cm, .∠A=90°-45°=45 ∴.OD=4cm .AB=AC, ∴.OM=OD-MD=3cm 故选B ∴∠ABC=∠C= 2×(180°-459=67.5， 8.解：AB=AC,∠C=30, ∠B=∠C=30°，∠B4C-180°-30°-30°=120. AB⊥AD,∴.∠BAD=90 ∴.∠DAC=120°-90°=30° .∠DAC=∠C..AD=CD=2cm ∠BAD=90°，∠B=30°，AD=2cm 图1 图2 ,.BD=2AD=4(cm). (2)如图2，当△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于点H, ..BC=BD+CD=4+2=6(cm) 则∠FHE=90°， 9.D10.C11.D ∠HFE=45 12.6【解析】'，DE是AC的垂直平分线， .∠HEF=90°-45=45. .AD-CD. ,.∠FEG=180°-45=135°. ∠ACD=60°， .EF-EG. △ADC为等边三角形 ∠EFG∠0=号×180°-135)=2.5. ∴.AD=AC=CD. ,△ABC的周长是19， 故选D ..AB+BC+AC=19. 4.证明：证法一：如图，连接AD. △BCD的周长为13， ,AB=AC,D是BC边上的中点， ..BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=13 ,.AD平分∠BAC ,.AC=19-13■6. DE,DF分别垂直AB,AC于点E和F, ,.AD=AC=6. ∴.DE=DF 13.B【解析】OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB, 证法二：在△ABC中，AB=AC 垂是分别是C,D,.PC=PD.故A正确： ·∠B=∠C.D是BC边上的中点， 在Rt△OCP和Rt△ODP中， ∴BD=CD.:DE,DF分别垂直AB,AC于点E和F, JOP=OP. ∴.∠BED=∠CFD=90°. PC=PD. 在△BED和△CFD中， ,Rt△OCP≌Rt△ODP(HL). Y∠BED=∠CFD, ∠CPO=∠DPO,OC=OD.故C、D正确： ∠B=∠C, 不能得出∠CPD=∠DOP,故B错误.故选B BD-CD, 14.B ∴.△BED≌△CFD(AAS).∴.DE=DF 15.56【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC 5.解：(1)证明：，AB=AC,∠B=∠C 于点F 在△DBE和△ECF中， AD平分∠BAC BD=CE, ∴DE=DF.设DE=DF=R ∠B=∠C, BE-CF, :Sam=号xABXDE=- 2×5XR .△DBEA△ECF(AS).,DE=EF ,.△DEF是等腰三角形. Sm=xACxDF=- 1X6XR, (2)证明：，△DBE≌△ECF, SAAID I SAACD=516. .∠FEC=∠BDE 章末自主测评 ∴.∠DEF=180°-∠BED-∠FEC=180°-∠BED ∠BDE=∠B. 1.A2.B3.A 74 4.B【解析】，在△MNP中，∠P=60°，MN=NP, ,△PMN是等边三角形. =2 ABXOE+-×BCXOD+-xACxOF ∴.∠PMN=∠PNM=6O°，MP=MN=NP. :△MNP的周长为12， -XABX3+号×EBCX3+号×ACX3 .MN-NP-MP-4. =号×3X(AB+BC+AC MQ⊥NP, ∴.NQ=PQ=2,∠MQN=90°， -是X3X8 ∠QMN=号∠PMN=30. =12 在Rt△MQN中，由勾段定理，得 15.证明：(1)，AD∥BC,∠ADC=∠ECF. ,E为CD的中点，.DE=CE MQ=√MN-NQ=√/4-22=25. 在△ADE和△FCE中， NG-NQ. I∠ADE=∠FCE, '.∠G=∠GQN DE-CE, ,∠G+∠GQN=∠PNM=60°， ∠AED=∠FEC, ∴.∠G=30. ,△ADE≌△FCE(ASA). :∠NMQ=30°， .AD-FC ∴∠G=∠NMQ. (2).'△ADE≌△FCE. ∴.GQ=MQ=2√3」 ..AEFE. .MN=4,NG=NQ-2, 又，BE⊥AF, ∴.△MGQ周长是MG+GQ+MQ=(4+2)+23+2/3= ,,BE是线段AF的垂直平分线. 6+4w3. ..AB=BF=BC+FC. 故选B. 又'AD=FC, 5.C6.B ∴.AB=BC+AD 7.C【解析】如图，过点O作OD1 16.解：PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,EPD=PE AC于点D,OE LAB于点E,OFI 证明：PD LOA,PEOB,垂足分别为D,E, BC于点F. ,.∠PDO=∠PEO=90° ",点O是角平分线的交点 在△PDO和△PEO中， ..OE=OF-=OD. ∠PDO=∠PEO. ∠DOP=∠EOP. SAD:SAm SACAB.OE 2 ·BC·OF: OP=OP. 合·AC.0D=AB:BC:AC-2:34 '.△PDO≌△PEO(AAS) ..PD=PE. 故选C 17,解：：AD是等边三角形ABC的中线， 8.B【解析】：DE∥BC, ·∠DFB=∠FBC,∠EGC=∠GCB. AD1BC,∠BAD-∠CAD-号∠BAC-2×60°-30 :∠DBF-∠FBC,∠EOG=∠GCB, ∠ADC-90 ,.∠DFB=∠DBF,∠EGC=∠ECG AD=AE, ..BD-DF.CE=EG ∴∠ADE=∠AED=180-,∠CAD-75 FG=2,DE=6, .BD+CE=DF+EG=DE-FG=6-2=4 ,.∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15. 故选B 18.解：如图所示. 9.50° 10.6【解析】如图，连楼AE. ,'AB=AC,∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=合×(180 D号村 B 120)=30. ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线a,b AB的垂直平分线交BC于点E, 于点A,B: ..AE=BE=3. ②分别以点A,B为圆心，以大于号AB的长为半径画弧， ∴.∠EAB=∠B=30°. 交点为C,连接OC: :∠BAC=120°， ∠EAC=90° ③连接DE,分别以点D,E为圆心，以大于号DE的长为 .∴.CE=2AE=6. 半径画弧，交点为F,G两点，连接FG 11.真12.20cm13.7 ④FG与OC相交于点H,则H即为工厂的位置. 14.12【解析】如图，连接OA,过点O作 19.解：(1)证明：如图，标注各角， OE⊥AB于点E,OF⊥AC于点F. OB,OC分别平分∠ABC和 ∠ACB,OD⊥BC,OD=3, ∴.OE=OD=3,OF=OD=3. △ABC的周长是8， 6 -D ,∴.AB十BC+AC=8. :MN交∠ACB的平分线于点E,交△ACB的外角 ∴.△ABC的面积S=S△m十S△m+S△m ∠ACD的平分线于点F, 75 ∴∠2=∠5，∠4=∠6. ,'MN∥BC, 则m心是 ∴.∠1=∠5，∠3=∠6. 故选C ∴.∠1=∠2，∠3=∠4 4.A5.B6.A ,∴.OE=OC,OF=O0C 7.B【解析】解不等式4x一3(x十a)≥0，得x≥3a. .OE=OF (2)∠2=∠5，∠4=∠6， 解不等大-红一1D0,得K-号 2 .∠2+∠4=∠5+∠6=90 不等式组的解集为3a<<一寻 CE-16,CF-12, 不等式组有3个整数解， ∴.EF=VCE+CF=/162+12=20. ,不等式组的3个整数解为一3，一2，一1 ÷0C-2EF=10. .-4<3a≤-3. 20.解：(1)AB=AC,∠A=50°， a的取值范国为-音<a<-一1 .∠ABC=∠C=65 故选B 又DE垂直平分AB, 8.C ∴.AD=BD 9.2m+8≤2-m10.x<-211.-1 ∴.∠ABD=∠A=50° 12.8,10,26【解析】解关于x的方程9x一3=kx十14，得x .∠DBC=15 17 (2)DE垂直平分AB, =g一k .AD-BD. :方程有整数解， ∴.BD+CD=AD+CD=AC .9-k■士1戎9一k=士17 又AB=AC=7,△CBD周长为12， 解得k=8或10或-8或26. .BC=5 第二章一元一次不等式与一元一次不等式组 +15>x+5, 解不等式组 2 知识点回顾突破 ≥g2-2 得解集为<< 1.C2.B3.C :不等式组有且只有4个整数解， 4.x-2y<0 -a>a+75.a<-1 6.B7.B 0<1 8.解：去分母，得2(x十6)≤3(x一3)十24. 解得2<k≤26. 去括号，得2x+123x-9十24. 所以满足条件的整数的值为8,10,26 移项，得2x一3x≤-9+24-12 13.314.86×40%+60%x≥95 合并同类项，得一x≤3. 15.解：(1)去分母，得2(2x一1)≤3x一4 系数化为1，得x≥一3 去括号移项，得4x一3x≤2-4.所以x≤一2. 在数轴上表示如图所示。 aad0 4-3-2-101→ 解不等式①，得x>一1 9.A 解不等式②，得x2. 10.解：直线1与x轴的交点A的坐标为（一2,0），与y轴的交 则不等式组的解集为一1<x≤2 点的坐标为(0,1)，且y的值随x的值的增大而增大 3x<x+2,① (1)直线l经过点（一2,0），则方程x十b=0的解是x=一2 (2)直线l经过点(0,1)，则当x>0时，有x十b>1,即不 .@ 5 等式x十b>1的解集是x>0. 解不等式①，得x<1. (3)线段AB对应函数的自变量的取值范围是一2≤x≤2， 解不等式②，得x≥一3. 即一2≤m≤2. 则不等式组的解集为一3≤x<1. 当一2≤m≤2时，函数值y的取值范围是0≤y≤2，即0≤ (9x+58x+7,① n≤2. ④专+2>1-号x四 11.B12.A 解不等式①，得≤2. 13.C【解析】解不等式组，得a4<x<2, 4 解不等式@，得> 由关于x的不等式组{：二20， 13x+4>a-3 恰好只有2个整数 则不等式组的解集为<x≤2，其整数解是1,2 解，得-1<“<0，即0a<4.满足条件的整数a的值 16解：由题意，相5吉>号-1号解得≥一子 为0,1,2,3.整数a的值之和是0十1十2十3=6.故选C 故满足条件的x的最小整数值为0. 章末自主测评 1.D2.B 7据：潮关于y的方程组，0，得 3.C【解析】'，点P(2m一3，一m)在第四象限， x■k十10， 12m-3>0,① ∴m<0.@ 20-26所以 付19每得-10e≤1n 故k的取值范围是一10≤k≤10. 解不等式①得m>是 (2)M=3x+4y=3(k+10)+4(20-2k)=110-5k,所以k 解不等式②，得m>0. -1山09，所以-10<10，M≤10.解得60<M≤160。 5 76