专题05 平面解析几何、计数原理与概率统计（北京专用）-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编

专题05 平面解析几何、计数原理与概率统计 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 抛物线 题型06 统计 题型07 计数原理 题型08 古典概型 题型09 随机变量及其分布列 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·北京丰台·二模）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·北京丰台·二模）已知直线与圆交于两点．当变化时，则（   ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 4．（2025·北京东城·二模）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为（） A． B． C． D． ( 题型02 )圆与方程 5．（2025·北京·二模）设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（   ） A．1 B．3或1 C．3 D．3或 6．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． ( 题 型 0 3 )椭圆 7．（2025·北京昌平·二模）已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 8．（2025·北京朝阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值． 9．（2025·北京丰台·二模）已知椭圆的左顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值． 10．（2025·北京东城·二模）已知椭圆的一个顶点为.且过点. (1)求椭圆的方程及焦距 (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 11．（2025·北京·二模）已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． ( 题型0 4 )双曲线 12．（2025·北京朝阳·二模）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为 ． 13．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·北京东城·二模）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·北京昌平·二模）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为 ． 16．（2025·北京·二模）设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D．2 ( 题型0 5 )抛物线 17．（2025·北京丰台·二模）已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·北京朝阳·二模）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·北京东城·二模）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则 . ( 题型0 6 )统计 20．（2025·北京昌平·二模）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表： 使用次数分组区间 初中生人 高中生人 4 3 38 29 48 28 17 6 3 假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率． (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明） 21．（2025·北京丰台·二模）为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为． 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值． (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； (3)为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施． 措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动； 措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为．用样本估计总体，试比较与的大小．（结论不要求证明） ( 题型0 7 )计数原理 22．（2025·北京海淀·二模）在的展开式中，的系数为，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 24．（2025·北京昌平·二模）若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 25．（2025·北京东城·二模）已知，则实数 26．（2025·北京·二模）若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 27．（2025·北京丰台·二模）已知，则 ； ．（用数字作答） ( 题型0 8 )古典概型 28．（2025·北京·二模）网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下： 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 13号 14号 15号 搜索量 6.2 5.1 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9 时间 16号 17号 18号 19号 20号 21号 22号 23号 24号 25号 26号 27号 28号 29号 30号 搜索量 8.5 11.2 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6 用频率估计概率. (1)从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率； (2)假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率； (3)记表中30天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明） 29．（2025·北京东城·二模）已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示. (1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； (2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率； (3)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由. 30．（2025·北京海淀·二模）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 80 20 40 20 20 20 白色 60 40 30 30 30 10 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； (2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明） ( 题 型09 )随机变量及其分布列 31．（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平面解析几何、计数原理与概率统计 题型概览 题型01 直线与方程 题型02 圆与方程 题型03 椭圆 题型04 双曲线 题型05 抛物线 题型06 统计 题型07 计数原理 题型08 古典概型 题型09 随机变量及其分布列 ( 题型01 )直线与方程 1．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1的圆经过原点，其圆心到直线的距离为，则的最大值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先判定该圆圆心的轨迹，再转化为圆上的点到直线的距离的最值问题进行求解. 【详解】因为半径为1的圆经过原点，所以其圆心的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 而原点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离的最大值为. 故选：D. 2．（2025·北京丰台·二模）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中两点间距离的最大值，是中的点与原点连线的斜率，是表示的图形的面积，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由，可作出符合题意点集的区域，根据区域即可得出结论. 【详解】对于①代入可得符合题意，故①正确； ∵对恒过点， 当时，，当时，，当时，， 由此我们可知的点集是由曲线绕A点往上直到点扫过的区域，如图： ∴，故②正确； ，，，故③错误； 有图易得，故④正确. 故选：C. 3．（2025·北京丰台·二模）已知直线与圆交于两点．当变化时，则（   ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长的表达式，进而可得答案. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 直线，即， 则圆心到直线的距离为， 所以，则， 因为，则， 当时，取得最大值1，此时， 当或时，，此时趋近于4，所以无最大值. 故选：A. 4．（2025·北京东城·二模）已知直线过点，且上至少有一点到点的距离为2，则的倾斜角的最大值为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，直线l与以为圆心，2为半径作圆C至少有一个交点，根据直线与圆的位置关系求出直线倾斜角的范围即可. 【详解】以为圆心，2为半径作圆C，如图所示， 依题意直线l与圆C至少有一个交点， ①当直线l的科率不存在时，直线l与圆C有2个交点，此时直线l的倾斜角； ②当直线l的斜率存在时，设为，则，即 依题意，解得或， 此时直线l的倾斜角 综上所述，直线l的倾斜角， 故直线l的倾斜角的最大值为． 故选：C. ( 题型02 )圆与方程 5．（2025·北京·二模）设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（   ） A．1 B．3或1 C．3 D．3或 【答案】D 【分析】联立直线圆的方程，结合向量数量积的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】将直线代入圆的方程可得：， ， 设， 所以， ，则， 所以 ， 化简得：， 解得：或， 故选：D 6．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程. 【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D ( 题 型 0 3 )椭圆 7．（2025·北京昌平·二模）已知椭圆的长轴长为，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形的面积为6． (1)求椭圆的方程及离心率； (2)过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称．在轴上是否存在定点，使三点共线？若存在，求实数的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在； 【分析】（1）利用椭圆的性质，结合面积公式可列出方程组求解椭圆各参数即求解； （2）利用直线与椭圆联立方程组，设交点坐标，假设存在点，则可得相等关系，然后利用韦达定理来进行化简，计算即可得结果. 【详解】（1）由题意得，解得． 所以椭圆的方程为，离心率． （2） 设直线的方程为，点，点． 由，得． 依据题意，， 因为点与点关于轴对称，所以点． 若在轴上存在定点，使三点共线，则． 由，得． 由，得． 因为 ，解得． 故在轴上存在定点，使三点共线． 8．（2025·北京朝阳·二模）已知椭圆的焦距为2，且过点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于不同的两点A，B，直线与直线交于点N，若（O是坐标原点），求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的几何性质易得结果； （2）联立直线和椭圆方程，由及可得，设，由韦达定理得，由倾斜角的概念可得直线的倾斜角和直线的倾斜角满足，从而直线和的斜率和满足，代入的值，化简可得k的值. 【详解】（1）由题意得解得 所以椭圆E的方程为． （2）由得． 由得． 又，所以． 设，则． 不妨设点A在点B的上方， 因为，又， 此时，直线的倾斜角为， 直线的倾斜角为，所以． 由题可知直线和的斜率都存在，分别设为和，则． 因为， 所以，即． 由得． 所以．整理得， 又，所以.    9．（2025·北京丰台·二模）已知椭圆的左顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知及椭圆中的关系，解出，即可得到椭圆的方程； （2）由题意，直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理可由表示出线段的中点坐标，进而写出线段垂直平分线的方程，得到点和点坐标，表示出的面积，再由表示出的面积，再由面积之比为得到方程，即可求得的值． 【详解】（1）由题意， 解得． 所以椭圆的方程为． （2）    由题意，直线的方程为， 由，得． 由题意，． 设，则， 解得， 所以线段的中点为． 线段垂直平分线的方程为：， 令得，所以． 令得，所以． 所以． 因为过点与直线平行的直线的方程为，故， 所以． 因为， 所以，整理得． 若，则，解得，故； 若，则，解得，故． 综上，或． 10．（2025·北京东城·二模）已知椭圆的一个顶点为.且过点. (1)求椭圆的方程及焦距 (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 【答案】(1)椭圆方程，焦距为 (2) 【分析】（1）根据椭圆过顶点和点构造方程求得，由此可得椭圆方程； （2）设过点的直线为，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由解得，再由弦长公式求以及点到直线的距离，最后求即可. 【详解】（1）由题意，因为椭圆的一个顶点为,且过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，焦距为. （2）设过点的直线为，， 由，化简得， 则，即， 所以， 即， 则， 所以直线方程为，， 故， 且点到直线的距离， 所以. 11．（2025·北京·二模）已知椭圆，直线经过椭圆的左顶点和下顶点． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)设过点且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线的交点分别为，线段的中点分别为．若直线经过坐标原点，求的取值范围． 【答案】(1)，离心率 (2) 【分析】（1）由直线方程确定，进而可求解； （2）设方程为，点，联立椭圆方程，结合韦达定理得到的坐标为，再由直线：，直线：．得点．再由线段的中点为，得，化简得到，进而可求解. 【详解】（1）因为直线与坐标轴交点为和， 所以． 由，解得， 所以椭圆的方程为，离心率． （2） 由题意，直线的斜率存在，故设其方程为， 设点， 由得， 所以． 所以点的横坐标，纵坐标． 结合直线过坐标原点，可得直线的方程为． 令，得点的坐标为． 当时，显然点不在轴上． 则直线：，直线：． 令，得点． 由线段的中点为，得， 整理，得， 即， 化简，得． 由，得． 当时，由题意，点中有一个与点重合（不妨设点与点重合）， 处为中点，且， 在中，，则直线的方程为， 由的中点为，则，即，故， 所以，当且仅当时等号成立． 综上，的取值范围为. ( 题型0 4 )双曲线 12．（2025·北京朝阳·二模）若直线与双曲线没有公共点，则双曲线C的离心率的一个取值为 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据直线与双曲线没有公共点求出的范围，进而求出离心率的范围，在该范围内取一个值即可. 【详解】的渐近线为，且焦点在轴上， 由题知：，因，解得， 所以离心率， 故离心率的一个取值可以为3. 故答案为：3(答案不唯一). 13．（2025·北京海淀·二模）已知．若动点满足，则的轨迹的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义即可得出答案. 【详解】∵，动点满足， ∴动点的轨迹为双曲线且为右支，，，， ∴的轨迹的方程为， 故选：D. 14．（2025·北京东城·二模）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的离心率公式计算即可. 【详解】由题，，解得. 故选：D. 15．（2025·北京昌平·二模）若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数的值为 ． 【答案】8 【分析】先求得双曲线的右焦点，结合抛物线的知识求得的值. 【详解】双曲线，，右焦点， 抛物线的焦点为，所以. 故答案为： 16．（2025·北京·二模）设为双曲线的右焦点．已知成等差数列，那么双曲线的离心率等于（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由等差数列的性质、双曲线的定义即可求解. 【详解】由题意知，，即 ，由于，解得. 故选：B. ( 题型0 5 )抛物线 17．（2025·北京丰台·二模）已知抛物线的焦点为，准线为．过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为．若四边形的周长等于，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义可化简周长为，即可求得，可求直线的倾斜角的正弦值即可求斜率. 【详解】由抛物线的定义可知，，， 则四边形的周长为， 则， 设直线的倾斜角为，则，则或， 则，则直线的斜率为. 故选：C 18．（2025·北京朝阳·二模）若抛物线的焦点坐标为，则抛物线C的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线方程及焦点坐标直接求出准线方程. 【详解】因为抛物线的焦点坐标为， 所以抛物线方程为， 准线方程为. 故选：D 19．（2025·北京东城·二模）已知直线与抛物线在第一象限交于点，过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，则 ；若该抛物线的准线上的点到点与点的距离之和的最小值为，则 . 【答案】 【分析】空1：先根据抛物线焦点坐标求出点的坐标，进而求出直线斜率；空2：根据反射法将距离之和进行转化，最后根据最小值求出的值. 【详解】对于抛物线，其焦点坐标为. 因为过点作轴的垂线，垂足为抛物线的焦点，所以点的横坐标为. 将代入抛物线方程，可得，因为点在第一象限，所以，即. 已知直线过点，将点的坐标代入直线方程可得，因为，两边同时除以得； 当时，已知，焦点，准线为. 设焦点关于准线的对称点，则. 因为，故其最小值为， 又. 所以，可得. 故答案为： ；. ( 题型0 6 )统计 20．（2025·北京昌平·二模）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听说平台进行英语口语自主练习．该中学有初中生1200人，高中生800人．为了解全校学生近一个月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，将他们的使用次数按照，，，，，五个区间进行分组，所得样本数据如下表： 使用次数分组区间 初中生人 高中生人 4 3 38 29 48 28 17 6 3 假设每个学生是否使用此听说平台进行英语口语自主练习相互独立．用频率估计概率． (1)估计近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数； (2)从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机抽取3人，记为这3人中高中生的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生进行调查，设其中初中生和高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的人数分别为和，比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据频数分布表，结合分层抽样的定义进行求解即可； （2）根据古典型概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可； （3）根据二项分布求得方差判断即可. 【详解】（1）根据题中数据，，得． 样本中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的频率为． 因此近一个月内全校学生中使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数不低于30次的总人数估计为：． （2）参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中，初中生有4人，高中生有3人． 所以的取值范围为． 所以的分布列为 0 1 2 3 的数学期望． （3），理由如下： 根据分层抽样定义知，随机抽取200名学生中，初中生为120名，高中生为80名， 抽到初中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 抽到高中生使用此听说平台进行英语口语自主练习次数位于的频率为， 该校初中生和高中生中各随机抽取8名学生中英语口语自主练习次数位于的人数服从二项分布， 即， 所以，， 因为，所以. 21．（2025·北京丰台·二模）为调查某校学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为． 注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值． (1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率； (2)用频率估计概率．从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率； (3)为响应国家降低青少年近视率的号召，该校提出“护眼有妙招，科学动起来”的口号，计划在以下2项措施中选择1项实施． 措施一：每日给全校学生增设0.5小时晨跑活动； 措施二：每日给日均户外活动时长低于1小时的学生增设1小时户外活动．假设所有学生都能按要求参加相应活动，记采取措施一后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为，采取措施二后该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为．用样本估计总体，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意求相应人数和频率，即可得结果； （2）分析可知从该校日均户外活动时长低于1小时、不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为、，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （3）根据题意结合加权平均数公式分别求，比较大小即可得结果. 【详解】（1）由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有人， 其中近视的学生有人， 所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为． （2）设事件“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”． 由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为， 从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为． 则． （3）由题意可知：日均户外活动时长在区间内的频率为；日均户外活动时长在区间内的频率为；日均户外活动时长在区间内的频率为， 则原数据的平均数为， 采取措施一后，该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为； 采取措施二后，该校全体学生的日均户外活动时长的平均值为； 因为，所以. ( 题型0 7 )计数原理 22．（2025·北京海淀·二模）在的展开式中，的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项后可得出关于的等式，解之即可. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，所以的系数为，解得. 故选：A. 23．（2025·北京朝阳·二模）已知的展开式中，第4项和第6项的系数相等，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由，即，利用组合数的性质即可求解. 【详解】由，根据题意有，由组合数的性质有. 故选：B. 24．（2025·北京昌平·二模）若，则（    ）． A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用赋值法即可求解. 【详解】令得：， 令得：， 所以， 故选：D. 25．（2025·北京东城·二模）已知，则实数 【答案】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 26．（2025·北京·二模）若，则（   ） A．0 B．1 C．4 D．8 【答案】A 【分析】法一：通过赋值，代入即可求解； 法二：利用二项式定理展开，可分别求得各项的系数，在进行加减运算即可. 【详解】法一：令，则， 所以原式左边为， 原式右边为， 所以. 法二：根据二项式定理，得 所以 所以. 故选：A. 27．（2025·北京丰台·二模）已知，则 ； ．（用数字作答） 【答案】 【分析】先应用通项公式计算得出，应用赋值法令计算求出系数和的值. 【详解】， 所以的系数为； 令，， 令，， 作差得，所以 则；. 故答案为：；. ( 题型0 8 )古典概型 28．（2025·北京·二模）网络搜索已成为人们获取信息或解决问题的重要手段.为研究某传染性疾病的未来流行趋势，收集得到该疾病某月1号至30号的网络搜索量（单位：万次）如下： 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 13号 14号 15号 搜索量 6.2 5.1 6.1 7.2 6.1 7.4 6.2 6.3 6.4 6.3 7.1 6.3 7.3 7.6 7.9 时间 16号 17号 18号 19号 20号 21号 22号 23号 24号 25号 26号 27号 28号 29号 30号 搜索量 8.5 11.2 10.3 9.1 9.6 10.1 10.6 10.9 8.8 10.4 8.2 11.5 12.1 12.8 13.6 用频率估计概率. (1)从2号至14号中任取1天，求该天的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率； (2)假设该疾病每天的搜索量变化是相互独立的.在未来的日子里任取3天，试估计这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率； (3)记表中30天的搜索量的平均数为，去除搜索量中最大的3个和最小的3个后剩余24个搜索量的平均数为，试给出与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）找出2号至14号中该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的数据，再运用古典概型的概率公式计算即可； （2）求出未来的日子里某天该疾病的搜索量高于10万的概率，低于8万的概率，再求满足题意的概率的即可； （3）分别计算即可比较大小. 【详解】（1）记事件A为“从2号至14号中任取1天，且该天搜索量比其前后两日的搜索量都低”， 根据数据知，仅有2，5，7，10，12号这5天的搜索量比其前后两日的搜索量都低， 所以从2号至14号中任取1天，该天搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率． （2）记事件B为“在未来的日子里任取3天，且这3天该疾病搜索量的数据中既有高于10万又有低于8万”， 根据数据知，在未来的日子里，某天该疾病的搜索量高于10万的概率可估计为，低于8万的概率可估计为． 则． 所以在未来的日子里任取3天，估计这3天该疾病捜索量的数据中既有高于10万又有低于8万的概率为． （3）， 最大的三个数为：，最小的三个数为：， 这6个数之和为， 故， 故. 29．（2025·北京东城·二模）已知近10年北京市12月和1月历史气温分别如下图所示. (1)从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，求该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率； (2)将当年12月和次年1月作为当年的冬季周期，记当年12月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度），次年1月平均高温与平均低温的差值为（单位：摄氏度）.从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，求至少有2个冬季周期中的概率； (3)依据图2中信息，能否预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度?请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不能预测，理由见解析 【分析】（1）由图结合古典概型的概率计算公式求解即可； （2）先确定满足的冬季周期的个数，然后利用组合数计算即可求解； （3）根据图表中数据的特点分析即可. 【详解】（1）由图可知从2016年至2024年12月平均高温和平均低温都低于前一年的有2017，2018，2020，2022， 所以从2016年至2024年这9年中随机抽取一年，该年12月平均高温和平均低温都低于前一年的概率为； （2）由已知可得从2015年至2024年这10个冬季周期分别为， 满足的有个， 从2015年至2024年这10个冬季周期中随机抽取3个，至少有2个冬季周期中的概率为； （3）不能预测北京市2026年1月平均高温低于4摄氏度，理由如下： 从图2可以看出，1月平均高温数据虽有波动，但没有明显的单调递增或递减的线性趋势，数据的波动是随机的，没有足够的依据能从过去10年的数据直接推断2026年1月平均高温低于4摄氏度. 30．（2025·北京海淀·二模）某运动品牌拟推出一款青少年新品跑鞋．在前期市场调研时，从某市随机调查了200名中小学生对黑、白两种颜色的新品跑鞋的购买意愿，统计数据如下（单位：人）： 颜色 小学生 初中生 高中生 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 黑色 80 20 40 20 20 20 白色 60 40 30 30 30 10 假设所有中小学生的购买意愿相互独立，用频率估计概率． (1)从该市全体中小学生中随机抽取1人，估计其愿意购买黑色新品跑鞋的概率； (2)从该市的初中生、高中生两个不同群体中各自随机抽取1人，记为这2人中愿意购买白色新品跑鞋的人数，求的分布列和数学期望； (3)假设该市学校内的小学生、初中生和高中生的人数之比为，从学校的全体中小学生中随机抽取1人，将其愿意购买黑色新品跑鞋的概率估计值记为，试比较与（1）中的的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)分布列见解析，； (3). 【分析】（1）根据表中数据求出相应频率，用频率估计概率即可； （2）的可能取值为，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望； （3）分别求出小学生、初中生、高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率，结合所占的权重求得并与的大小比较即可. 【详解】（1）由表可知200名顾客中愿意购买黑色新品跑鞋的人数为140人， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率； （2）用频率估计概率，由表可知从初中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为， 从高中生组中抽取1人，愿意购买白色新品跑鞋的概率为， 由题意的可能取值为， ， ， . 所以的分布列为 . （3）小学生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为； 初中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为； 高中生愿意购买黑色新品跑鞋的概率为. 所以. ( 题 型09 )随机变量及其分布列 31．（2025·北京朝阳·二模）某电商平台为了解用户对配送服务的满意度，分别从A地区和B地区随机抽取了500名和100名用户进行问卷评分调查，将评分数据按，，…，分组整理得到如下频率分布直方图： (1)从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，求该用户评分不低于60分的概率； (2)从B地区评分为的样本中随机抽取两名，记评分不低于90分的用户人数为X，求X的分布列和数学期望； (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，设A地区评分的平均值估计为，A，B两地区评分的平均值估计为，比较与的大小关系．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图计算概率即可；           （2）应用超几何分布计算概率，再写出分布列，最后计算数学期望即可；                  （3）根据频率分布直方图的特征得出平均值关系即可. 【详解】（1）设事件M：从A地区抽取的500名用户中随机抽取一名，该用户评分不低于分． 由频率分布直方图可知，A地区抽取的500名用户中评分不低于的人数为， 所以． （2）B地区评分为的样本用户共有人， 其中评分不低于分的人数为5人． 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2． ， ， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 则X的数学期望. （3）． 根据频率分布直方图A地区评分的平均值为， B地区评分的平均值为， 所以A，B两地区评分的平均值； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$