精品解析：2025年贵州省铜仁市江口县中考数学三模试卷-　

2025年贵州省铜仁市江口县中考数学三模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中比小的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四种实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 某校关注学生的用眼健康，从九年级400名学生中随机抽取了30名学生进行视力检查，发现有12名学生近视，据此估计这400名学生中，近视的学生人数约是（ ） A 140 B. 160 C. 180 D. 200 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 函数图象与轴有交点 D. 图象是中心对称图形，对称中心是原点 6. 已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（ ） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 7. 如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 8. 已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 10. “从一布袋中随机摸出1球恰是黄球的概率为”的意思是 （ ） A. 摸球5次就一定有1次摸中黄球 B. 摸球5次就一定有4次不能摸中黄球 C. 如果摸球次数很多，那么平均每摸球5次就有一次摸中黄球 D. 布袋中有1个黄球和4个别的颜色的球 11. 如图1，已知，画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（    ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等依据是 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 分解因式：______． 14. 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．则合伙的人数是______． 15. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为______． 16. 如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）从下列中任选一组，的值代入方程：，并求解此方程． ，；，；，． 18. 我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 、、三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 9和10 85 1.85 8.5 8 87 0.61 8 83 2.01 （1）任务1：______，______； 【数据分析与运用】 （2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、 、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ （3）任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 19. 如图，已知一次函数（是常数且）的图象与双曲线（是常数且）交于、两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）求的面积； （3）直接写出不等式组解集：______． 20. 如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列条件：；． （1）从中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 21. 2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家打算购进、两种规格的春联进行销售，已知副种规格春联的进价比副种规格春联的进价低元，用元购买种规格春联的数量与用元购买种规格春联的数量相同，求、两种规格春联的进价分别为多少元副． 22. 如图是贵阳花果园双子塔，是贵阳国际贸易中心的座和座，是贵州省第一高楼，也是全国已建成的最高双子塔．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的小星同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图，小星在小区门口点处测得其中一个塔的顶部的仰角为，然后在自家阳台上的点处测得顶部的仰角为，若小星家的阳台到地面的距离为，点到点的水平距离为，且、、三点共线，求的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 23. 如图，内接于，，是的切线，与直径的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）探究与的数量关系，并说明理由； （3）若的长度为，求的直径． 24. 第九届亚洲冬季运动会于年月日日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天的销售量将增加个．设每个吉祥物降价元（为整数），每天的销售量为个． （1）写出与之间的函数关系式； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 25. 综合与探究：如图，已知射线于点B，点D射线上，，过点D作射线于点 C． （1）【操作判断】根据题意在如图①中补全图形（保留作图痕迹），则四边形的形状为 ； （2）【拓广探索】点P射线上一动点，连接，将沿折叠得到．延长交射线于点 E． ①如图②，当点在的垂直平分线上时，求的值； ②探究线段之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年贵州省铜仁市江口县中考数学三模试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中比小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查实数比较大小，比较各选项与的大小关系，找出比小的数． 【详解】A、，不符合题意； B、是正数，大于，不符合题意； C、，符合题意； D、是正数，大于，不符合题意； 故选：C． 2. 下列四种实验仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、示意图是轴对称图形，符合题意； B、示意图不是轴对称图形，不符合题意； C、示意图不是轴对称图形，不符合题意； D、示意图不是轴对称图形，不符合题意． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、乘法分配律和同底数幂乘法法则的应用，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】A、：加法运算不能直接转化为乘法，故A错误； B、：左边为二次项与一次项，无法合并为，故B错误； C、：根据乘法分配律，，等式成立，故C正确； D、：同底数幂相乘应指数相加，即，而右边为，故D错误； 故选：C． 4. 某校关注学生的用眼健康，从九年级400名学生中随机抽取了30名学生进行视力检查，发现有12名学生近视，据此估计这400名学生中，近视的学生人数约是（ ） A. 140 B. 160 C. 180 D. 200 【答案】B 【解析】 【分析】用总人数乘以近视眼的同学所占比例，列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得：（人）， 即近视的学生人数约是160人． 故选：B 【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体．根据总体近视眼的同学所占比例约等于样本近视眼的同学所占比例列出算式是解题的关键． 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象位于第一、三象限 C. 函数图象与轴有交点 D. 图象是中心对称图形，对称中心是原点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函的图像及性质，需结合反比例函数的定义、图象特征及对称性逐一判断选项． 【详解】A、将点代入函数，得，故图象不经过该点，则选项A错误； B、反比例函数中，因为时，所以图象位于第二、四象限，则选项B错误； C、反比例函数定义域为，图象无限接近轴但永不相交，因此与轴无交点，则选项C错误； D、反比例函数图象关于原点中心对称，对称中心为原点，则选项D正确； 故选：D． 6. 已知，如图，在数轴上表示代数式的值的点可能是（ ） A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数即不等式性质，根据范围，确定代数式的范围，进而得出答案． 【详解】解：， ，即， 满足条件的点可能是Q， 故选：D． 7. 如图，将平行四边形的一边延长至点，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等，由邻补角的性质求出的度数，由平行四边形的对角相等，即可得到答案 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ． 故选：A． 8. 已知二元一次方程组的解为，则在平面直角坐标系中，一次函数与图象的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标，根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像的交点坐标为：， 故选：B． 9. 如图描绘的是“日头欲出未出时，雾失江城雨脚微”这一美景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 平行 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查直线与圆的位置关系，根据题意判断出直线与圆有两个交点是解题的关键．由诗句“日头欲出未出时”可判断直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，于是得到问题的答案． 【详解】解：由“日头欲出未出时”可知直线和圆有两个交点， ∴直线与圆相交， 故选：C． 10. “从一布袋中随机摸出1球恰是黄球的概率为”的意思是 （ ） A. 摸球5次就一定有1次摸中黄球 B. 摸球5次就一定有4次不能摸中黄球 C. 如果摸球次数很多，那么平均每摸球5次就有一次摸中黄球 D. 布袋中有1个黄球和4个别的颜色的球 【答案】C 【解析】 【详解】从"一只布袋里闭上眼睛随机地摸出1球恰是黄球的概率为”的意思，黄球占布袋中总球的，或如果摸球次数很多，那么平均每摸球5次就有1次摸中黄球． 故选C． 11. 如图1，已知，画一个，使得．在已有的条件下，图2，图3分别是嘉嘉、琪琪两位同学的画图过程．下列说法错误的是（    ） A. 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧 B. 嘉嘉作图判定两个三角形全等的依据是 C. 琪琪第二步作图时，是以为圆心、线段的长为半径画弧 D. 琪琪作图判定两个三角形全等的依据是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据作图过程结合全等三角形的判定定理分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：由图可得： 嘉嘉第一步作图时，是以为圆心，线段的长为半径画弧；第二步是用圆规截取线段的长，则判定的依据是，故A正确，B错误； 淇淇第一步作图时，用圆规截取线段的长；第二步作图时是以为圆心、线段的长为半径画弧，则判定的依据是，故C、D正确； 故选：B． 12. 二次函数的图象如图所示，下列结论： ①；②；③；④． 其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵， ∴， ∵二次函数图象与y轴的正半轴相交， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数图象与x轴有两个不同的交点， ∴有两个不相等的实数根， ∴，故②不正确； ∵，， ∴，故③不正确； ∵当时，；当时，； ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，①④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象与性质，以及二次函数与方程之间的关系．熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键．提公因式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．则合伙的人数是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、解一元一次方程等知识，根据题意列出方程并求解即可，能根据题意列出方程并熟练求解方程是解题的关键． 【详解】解：设合伙的人数是人，根据题意得： 解得：， 答：合伙的人数是人． 故答案为：7． 15. 如图，小明同学把一块等腰直角三角板的顶点放在半径为的圆形铁丝上，三角板的斜边及一条直角边分别与圆交于点、点，则图中的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理得出，再利用弧长公式即可求解，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 16. 如图，在菱形中，，，点分别是边、、、中点，在直线上方有一动点，且满足，则周长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于，由点分别是边、、、中点证明四边形为平行四边形，然后根据菱形的性质证明四边形为矩形，在上方作直线，且到的距离为，即，由，则点在直线上，然后作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点，根据两点之间线段最短可得当点三点共线时，最短为长，然后由等边三角形的性质和勾股定理即可求解． 详解】解：如图，连接交于， ∵点分别是边、、、中点， ∴为的中位线， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形矩形， 在上方作直线，且到的距离为，即， ∵， ∴点在直线上， 如上图，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，交直线于点，交于点， 由对称性可知：， ∴， 根据两点之间线段最短可得：当点三点共线时，最短为长， ∴周长的最小， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：, ∵分别为中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-线段最短问题，等边三角形的判定与性质，菱形性质，勾股定理，矩形的判定与性质，三角形中位线性质定理，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共98分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）从下列中任选一组，的值代入方程：，并求解此方程． ，；，；，． 【答案】（1） （2），；；该方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算、零次幂、负整数次幂、解一元二次方程等知识点，熟练掌握实数的运算及解一元二次方程是解题的关键． （1）先运用零次幂、二次根式的运算及性质、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）分别将b，c的值分别代入方程并求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）当选时，方程为， 因式分解，得， 解得，； 当选时，方程为， 因式分解，得，解得； 当选时，方程为， ， 该方程无解． 18. 我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．2025年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为、、．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，、、三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 、、三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 9和10 85 1.85 8.5 8 87 0.61 8 83 2.01 （1）任务1：______，______； 【数据分析与运用】 （2）任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断、 、三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ （3）任务3：如果要选择、、三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【答案】任务1：，；任务2：B机器人的综合成绩最高；任务3：见解析 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和扇形统计图综合，中位数、众数、方差的定义，解题的关键是数形结合，并掌握相关知识． （1）把款机器人测试员打分从低到高排列可得，由扇形统计图可得； （2）根据图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占，列式计算三种机器人的综合得分，再比较即可得到答案 （3）根据众数、方差、运动能力测试能力比较即可． 【详解】解：任务1：由折线统计图可知，款机器人测试员打分从低到高排列为：，，，，，，，，，， 款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，款机器人运动能力得分出现次数最多的是分， 款机器人运动能力得分的众数， 故答案为：，； 任务2： 的综合成绩为：（分）， 的综合成绩为： 的综合成绩为： ， 机器人的综合成绩最高； 任务3： ①选择机器人，因为机器人得运动能力测试能力比较高； ②选择机器人，因为B机器人运动能力成绩得方差比较小，说明机器人得运动能力比较稳定； ③选择机器人，因为机器人运动能力测试得众数是和，说明较多专业测试员认为机器人得运动能力很好. (答案不唯一，言之有理即可) 19. 如图，已知一次函数（是常数且）的图象与双曲线（是常数且）交于、两点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）求的面积； （3）直接写出不等式组的解集：______． 【答案】（1），； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标分别代入反比例函数和一次函数解析式进行计算即可． （2）先求出点的坐标，再结合三角形的面积公式进行计算即可． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质及巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：将点坐标代入得， ， 解得． 将点坐标代入得， ． 【小问2详解】 解：由（1）知，直线的函数解析式为． 将代入得，， 解得， 所以点坐标为， 则的面积为：． 小问3详解】 解：将代入得，， 解得， 所以点坐标为． 由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 所以不等式的解集为：或． 20. 如图，四边形的对角线与相交于点，，．有下列条件：；． （1）从中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的面积是 【解析】 【分析】（1）由，得，而，则四边形是平行四边形，若选择，可根据菱形的定义证明四边形是菱形；若选择，可根据菱形的判定定理证明四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，，然后利用30°的直角三角形的性质和勾股定理求出和长，则，，然后根据菱形的面积公式计算解答即可． 此题重点考查菱形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的定义或判定定理证明四边形是菱形是解题的关键． 【小问1详解】 解：选择：， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 选择：， 证明：， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线与相交于点， ，，， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积是． 21. 2024年12月4日，“春节”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，中国的春节文化将更好地走向世界．2025年春节临近，某商家打算购进、两种规格的春联进行销售，已知副种规格春联的进价比副种规格春联的进价低元，用元购买种规格春联的数量与用元购买种规格春联的数量相同，求、两种规格春联的进价分别为多少元副． 【答案】种规格春联的进价为元副，则种规格春联的进价为元副 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；设种规格春联的进价为元副，则种规格春联的进价为元副，根据用元购买种规格春联的数量与用元购买种规格春联的数量相同，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设种规格春联的进价为元副，则种规格春联的进价为元副，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴种规格春联的进价为元/副 答：种规格春联的进价为元副，则种规格春联的进价为元副． 22. 如图是贵阳花果园双子塔，是贵阳国际贸易中心的座和座，是贵州省第一高楼，也是全国已建成的最高双子塔．在学会三角函数知识后，家住双子塔附近的小星同学决定用自己学到的知识测量其中一座塔的高度，如图，小星在小区门口点处测得其中一个塔的顶部的仰角为，然后在自家阳台上的点处测得顶部的仰角为，若小星家的阳台到地面的距离为，点到点的水平距离为，且、、三点共线，求的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】的高度约为 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， 的高度约为． 23. 如图，内接于，，是的切线，与直径的延长线交于点，连接． （1）求证：； （2）探究与的数量关系，并说明理由； （3）若的长度为，求的直径． 【答案】（1）证明见解析； （2），理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，易得，根据同弧所对圆周角相等可得，进而可得，进而可证出； （2）根据外角证得，因此在中，由角的性质可得； （3）解即可的得解． 【小问1详解】 证明：连接， 为直径， ， ，， ， ∴ ∵， ， 是的切线， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）知， ， ∴， ． 是含有的直角三角形， ， ； 【小问3详解】 解：∵，，， ， ， 直径为． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 第九届亚洲冬季运动会于年月日日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（ ， ）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为元，规定售价不低于进价现在售价为每个元，每天可销售个．经市场调查发现，若售价每降价元，则每天的销售量将增加个．设每个吉祥物降价元（为整数），每天的销售量为个． （1）写出与之间的函数关系式； （2）设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为元，求出与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）； （3）定价为元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的性质、二次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据每天的销售量等于原来的销售量加上降价后增加的销售量即可解答； （2）根据总利润等于单个利润与总数量的乘积成为列出函数关系式即可； （3）利用（2）的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可解答． 【小问1详解】 解：由题可得：与之间的函数关系式为，即． 【小问2详解】 解：由题可得：，即． 【小问3详解】 解：由（2）得：， ， 当时，随的增大而增大， 为整数， 当时，，此时定价元， 定价为元，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润最大，最大利润是元． 25. 综合与探究：如图，已知射线于点B，点D在射线上，，过点D作射线于点 C． （1）【操作判断】根据题意在如图①中补全图形（保留作图痕迹），则四边形的形状为 ； （2）【拓广探索】点P为射线上一动点，连接，将沿折叠得到．延长交射线于点 E． ①如图②，当点在的垂直平分线上时，求的值； ②探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）图见解析，正方形 （2）①②或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线的方法补全图形，根据邻边相等的矩形为正方形，判断即可； （2）①根据中垂线的性质，折叠的性质，推出为等边三角形，进而得到为含有30度角的直角三角形，得到，即可得出结果； ②分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：补全图形如图： ∵，， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形矩形， ∵， ∴四边形为正方形； 故答案为：正方形； 【小问2详解】 ①连接， ∵在的中垂线上， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵正方形， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴； ②或； 当点在线段上时，将绕点旋转90度，得到， 则：，，， ∴， ∴三点共线， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图：将绕点旋转90度，得到， 则：，，，， ∵， ∴三点共线； ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查折叠问题，尺规作垂线，正方形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点，通过旋转构造特殊图形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $