10.2.3 两条异面直线所成的角（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

10.2.3两条异面直线所成的角 题型一 异面直线所成的角的概念与辨析 1．异面直线所成的角的取值范围： ． 2．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 题型二 求异面直线所成的角 1．正方体中，    （1）异面直线与所成角的大小为 ； （2）异面直线与所成角的大小为 ； （3）异面直线和所成角的大小为 ． 2．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 3．如图，在正方体中，M，N分别为和的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．若两异面直线所成角为，则成为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（  ） A．12对 B．24对 C．36对 D．48对 6．在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 7．在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线所成角的大小为 ． 8．已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则 . 9．在正方体中，点P是线段上的一个动点，记异面直线DP与所成角为，则的最小值为 ． 题型一 异面直线垂直的证明 1．已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 2．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条． A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 4．已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 5．空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 6．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 题型二 由异面直线所成的角求其它 1．如图，四面体中，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（   ） A． B． C． D．或 2．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 3．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 4．.如图，在正方形中，点E、F分别为边，的中点.将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是（    ）    A．点A与点C在某一位置可能重合 B．点A与点C的最大距离为 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 5．空间四边形ABCD中，AC与BD成30°角，，，E、F、G、H分别是四边的中点，那么四边形EFGH的面积等于 ． 6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH= ． 7．在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为 . 1．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 2．如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围（    ）.      A． B． C． D． 3．四面体中，，，，求与所成角的余弦值的取值范围 ． 4．在平面四边形中，，等腰三角形的底边上的高，沿直线将向上翻折角至，若，则直线与所成角的余弦值的取值范围是 .    5．已知异面直线，的夹角为，若过空间中一点，作与两异面直线夹角均为的直线可以作4条，则的取值范围是 . 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2.3两条异面直线所成的角 题型一 异面直线所成的角的概念与辨析 1．异面直线所成的角的取值范围： ． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的范围可得结果. 【详解】异面直线所成的角的取值范围是. 故答案为：. 2．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（    ） A．若直线，异面，，异面，则，异面 B．若直线，相交，，相交，则，相交 C．若，则，与所成的角相等 D．若，，则 【答案】C 【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可. 【详解】 对于A，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与异面，与异面，， 或与异面，与异面，与相交于点， 或与异面，与异面，与异面，故选项A错误； 对于B，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，与相交于点，与相交于点，， 或与相交于点，与相交于点，与相交于点， 或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B错误； 对于C，由异面直线所成角的定义，选项C正确； 对于D，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种， 如在正方体中，，，， 或 ，，与相交于点， 或 ，，与异面，故选项D错误. 故选：C. 题型二 求异面直线所成的角 1．正方体中，    （1）异面直线与所成角的大小为 ； （2）异面直线与所成角的大小为 ； （3）异面直线和所成角的大小为 ． 【答案】 45° 90° 60° 【分析】运用平移法找出异面直线所成的角度即可. 【详解】异面直线与所成角即为；    异面直线与所成角即为;    异面直线和所成角，由于面对角线， 则为等边三角形，则.则异面直线和所成角大小为.    故答案为：. 2．如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则过点B作与异面直线与所成的角都是的直线条数（    ）    A．有无数条 B．有两条 C．有三条 D．有一条 【答案】C 【分析】将平移到，平移到，则过点作与异面直线与所成的角都是的直线，一条在平面内，两条在平面外. 【详解】将平移到，平移到，    所以点作与异面直线与所成的角都是的直线， 即过点作与异面直线与所成的角都是的直线， 因为异面直线与所成的角为， 所以的角平分线平分角为或， 若的角平分线平分角为，则角平分线与异面直线与所成的角都是， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有一条， 若的角平分线平分角为， 即角平分线与异面直线与所成的角都是， 则将过点的直线绕点向上转动到与平面垂直的过程中，存在两条与异面直线与所成的角都是的直线， 此时将过点的直线平移使其经过点，故有两条， 综上，过点作与异面直线与所成的角都是的直线条数有三条. 故选：C 3．如图，在正方体中，M，N分别为和的中点，则异面直线AM与BN所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AB的中点，的中点，则或其补角为AM与BN所成的角，利用余弦定理解三角形即可. 【详解】取AB的中点，的中点，连接， 又M，N分别为和的中点， 正方体中，，，四边形为平行四边形，有， 同理有，则或其补角为AM与BN所成的角， 连接EF，设正方体的边长为，则， ，， 所以 ， 因此，即异面直线AM与BN所成角的正弦值为. 故选：B． 4．在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，如图所示，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接，，可证，则为异面直线与所成的角. 【详解】解：取的中点，连接，. ， 因为是的中点，所以，， ， 且，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以为异面直线与所成的角， 在中，， 故选：C. 5．若两异面直线所成角为，则成为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（  ） A．12对 B．24对 C．36对 D．48对 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义，由正方体的对称性，以AC为例，即可求得. 【详解】正方体如图示. 若要出现所成角为的异面直线，则直线需为面对角线，以为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是. 正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有对（每一对被计算两次，所以要除以2）． 故选：B 6．在正方体中，若点（异于点）是棱上一点，则满足和所成的角为45°的点有（   ） A．6个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】将各个顶点分别与的连线与直线所成的角大于等于和小于两类；从而可知当点在上运动时都经历了从小于到大于的变化，从而得到结果. 【详解】如图，将正方体的各个顶点（除点外）分类，规定当顶点与的连线与直线所成的角大于等于时为一类，小于时为一类 显然与所成角的正切值为，故大于， 与所成角的为，大于， 与所成角的余弦值为，角大于， 与所成角的正切值为，小于， 当点从运动到时，角度从大于变化到小于，一定经过一个点满足； 依此类推，当点在上运动时， 都经历过角度从小于到大于的变化，故满足条件的点共有个. 故选： 7．在空间中，直线平行于直线，直线为异面直线，若，则异面直线所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义，即可求得答案. 【详解】直线为异面直线，且直线平行于直线， 所以与所成角即为异面直线、所成角， 因为，且异面直线所成角的范围是， 所以异面直线、所成角的大小为, 故答案为： 8．已知四面体中，、、分别为、、的中点，且异面直线与所成的角为，则 . 【答案】或 【分析】根据，，结合异面直线夹角的定义求解即可. 【详解】如图，因为、、分别为、、的中点，故，，故与所成的角即与所成的角为，且与相等或者互补，故 或. 故答案为：或 9．在正方体中，点P是线段上的一个动点，记异面直线DP与所成角为，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，由题意可得（或其补角）是异面直线DP与所成的角，由，可知最小时，最小，求出答案. 【详解】连接，在正方体中，可得， 所以（或其补角）是异面直线DP与所成的角， 在正方体中，可得平面， 又平面，所以，所以，即， 当最小时，最小，此时最小， 当时，最小，令，可得， 所以的最小值为. 故答案为： 题型一 异面直线垂直的证明 1．已知三条直线，，满足且，则与（    ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【答案】B 【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定. 【详解】若且，根据空间直线垂直的定义，可得，不平行，有可能共面，也有可能异面. 故选：B. 2．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有（　　）条． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由正方体ABCD­-A1B1C1D1的图象结合线线垂直的定义即可求解结果． 【详解】在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条． 故选：D． 3．如图1，在菱形中，，是其对角线，是上一点，且，将沿直线翻折，形成四棱锥（如图2），则在翻折过程中，下列结论中正确的是（    ）    A．存在某个位置使得 B．存在某个位置使得 C．存在某个位置使得 D．存在某个位置使得 【答案】B 【分析】 选项A，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围可得解；选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围可得解. 【详解】对于选项A，沿翻折，在翻折过程中，与夹角始终不变，，故A错误；    对于选项B，，转化为判断和是否会垂直，由图观察翻折过程中和夹角变化范围是，故存在某个位置使得，故B正确； 对于选项C，由图观察翻折过程中和夹角的变化范围是，故不存在某个位置使得，故C错误； 对于选项D，由于平行于翻折前的，故只需观察翻折过程中与翻折前的的夹角变化范围，由图观察翻折过程中与的夹角变化范围是，所以不存在某个位置使得，故D错误. 故选：B. 4．已知平行四边形，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论不正确的是（ ） A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 【答案】A 【分析】由旋转对应角相等，以及极限思想可知，要想只需要证明.设由正弦定理求出.由，得到的取值范围. 【详解】设翻折前的记为，，，则在翻折过程中，存在某个位置使得直线与垂直，只需保证， ，由极限位置知，只需保证即可． 在中，，，，则， 由正弦定理知，，则，其中； 因为为线段上的一动点，则， 故选：A． 5．空间四边形，，，分别是，，的中点，，，.求证：. 【答案】证明见解析 【分析】利用平行关系，证明，转化为证明. 【详解】∵点G，E分别是CD，BC的中点，∴GEBD，同理GFAC.∴∠FGE或∠FGE的补角是异面直线AC与BD所成的角． 在△EFG中，∵FG＝2，GE＝，EF＝3，满足FG2＋GE2＝EF2，∴∠FGE＝90°.即异面直线AC与BD所成的角是90°. ∴AC⊥BD. 6．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可证明，可得直线与所成的角即为异面直线与所成的角，求出为直角即可. 【详解】如图，取CD1的中点G， 连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1， ∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°. 所以CD1⊥EF. 题型二 由异面直线所成的角求其它 1．如图，四面体中，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用异面直线的夹角定义和余弦定理求解. 【详解】取的中点为，连接， 在中，，且， 在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为， 所以直线的夹角为，则或， 所以在中， 当时，由余弦定理得， ，得， 当时，由余弦定理得， ，得， 故选：D 2．如图所示，两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（    ） A． B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【分析】由题意作图，利用分类讨论，根据线面垂直判定以及线线角定义，结合余弦定理与勾股定理，可得答案. 【详解】过作直线，使得，在直线上取，连接，如下图： 因为，且，所以， 因为，，设，所以， 因为，且，所以，，则， 由图可知，则， 因为异面直线所成的角为，且，所以或， 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得； 当时，在中，由余弦定理可得，则， 在中，，解得. 故选：C. 3．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意易知的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆，即可求扫过的面积. 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 4．.如图，在正方形中，点E、F分别为边，的中点.将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法正确的是（    ）    A．点A与点C在某一位置可能重合 B．点A与点C的最大距离为 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【答案】D 【分析】将沿所在直线进行翻折，将沿所在直线进行翻折，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是圆，，是以为旋转轴的圆锥侧面；，是以为旋转轴的圆锥侧面； 【详解】由题意，在翻折过程中A，C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以点A与点C不可能重合，故选项A错误； 点A与点C的最大距离为正方形的对角线，故选项B错误； 由题易知直线与直线平行，所以直线与直线所成角和直线与直线所成角相等，显然直线与直线不垂直，故选项C错误； 由题在正方形中直线与直线平行，设翻折后点为， 由题易知初始位置，当沿所在直线翻折到与平面重合时， 所以在此连续变化过程中必存在，即，所以, 所以翻折过程中，直线与直线可能垂直，故选项D正确. 故选：D. 5．空间四边形ABCD中，AC与BD成30°角，，，E、F、G、H分别是四边的中点，那么四边形EFGH的面积等于 ． 【答案】3 【分析】根据三角形的中位线定理知，或其补角即为所成的角，且的长为其第三边的一半，根据平行四边形的面积公式即得． 【详解】如图，在平行四边形中，，， 或，    ∴四边形的面积为：． 故答案为：． 6．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，若四边形对角线，对角线AC与BD所成的角为，则FH= ． 【答案】或 【分析】由题意可知四边形为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为，再由所给边长即可求得的长. 【详解】如图，    由分别是的中点，得， ，则四边形为菱形，又与所成的角为， 于是直线与所成角为，即菱形的边长为1，相邻两个内角分别为， 即或，当时，, 当时，， 所以或. 故答案为：或 7．在四面体中，E、F 分别是的中点.若所成的角为45°，且，则的长为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，找到或，分两种情况，结合余弦定理求出答案. 【详解】取的中点，连接， 因为E、F 分别是的中点，所以， 因为所成的角为，所以或， 如图1，，则， 如图，，则 故答案为： 1．从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（    ） A．； B． C．； D．． 【答案】D 【分析】利用异面直线的定义，从正方体的八个顶点两两连线中任取两条异面直线，可以分类讨论其夹角可能取值，进而得解. 【详解】利用异面直线的夹角范围为，故其余弦值范围为，可以分为以下几类： 两条棱所在直线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 面对角线与棱所在直线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 两条面对角线异面时，所成角的度数是或，其余弦值为或0； 体对角线与棱所在直线异面时，所成角的余弦值为； 体对角线与面对角线异面时，所成角的度数是，其余弦值为0； 所以从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是 故选：D 2．如图，在菱形ABCD中，，线段AD，BD的中点分别为E，F．现将沿对角线BD翻折，则异面直线BE与CF所成角的取值范围（    ）.      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可设菱形的边长为1，从而由条件可得到，，根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义可得到，，然后进行向量数量积的运算可求出，从而可得到，而由可得，从而可以得到向量，夹角的范围，进而便可得出异面直线BE与CF所成角的取值范围． 【详解】可设菱形的边长为1，则，； 线段AD，BD的中点分别为E，F； ∴，； ∴ ； ∴； 由图看出； ∴； ∴； 又因为异面直线夹角范围是， 即异面直线BE与CF所成角的取值范围是． 故选：C． 3．四面体中，，，，求与所成角的余弦值的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据几何关系求的范围，再通过平行关系构造异面直线所成的角，根据余弦定理，即可求解. 【详解】如图，取，分别为，的中点． ，， ，所以， 在中，，当，重合时取等． 过作于，设，则,即，即，得． 所以．当，，，共面时取等． 取中点，则，，所以所求的角即为或其补角， 于是 由知，于是， 所以与所成角的余弦值的取值范围为 故答案为： 4．在平面四边形中，，等腰三角形的底边上的高，沿直线将向上翻折角至，若，则直线与所成角的余弦值的取值范围是 .    【答案】 【分析】取AC中点O，连接OB，过点O作平面，以点O为原点建立空间直角坐标系，设二面角的大小为，把直线AC与所成角的余弦表示为的函数，求出函数最大值作答. 【详解】因为，所以， 又因为腰三角形的底边上的高，所以， 过作于H，连接，如图，    显然，绕直线AC旋转过程中，线段DH绕点H在垂直于直线AC的平面内旋转到， 取AC中点O，连接OB，因，有，， ，过点O作平面， 以点O为原点，射线分别为轴非负半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，显然有平面， 设二面角的大小为， 有， 因为沿直线将向上翻折角至，且， 所以，即，所以， 则有， 的方向向量为，设直线AC与所成的角为， 于是得 ， 因设二面角的大小为，， 于是得， 所以直线AC与所成角的余弦值的取值范围是:. 故答案为： 5．已知异面直线，的夹角为，若过空间中一点，作与两异面直线夹角均为的直线可以作4条，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将异面直线a、b平移到过P点，此时a与b夹角及其补角的角平分线向上或向下绕着P旋转即可得到与a、b夹角均为的直线，根据几何关系即可求出θ的范围． 【详解】如图，将异面直线a、b平移到过P点，此时两相交直线确定的平面为α，如图，a平移为，即PA，b平移为，即BE． 设∠APB=θ，PC且PC是∠APB的角平分线，则PC与和的夹角相等，即PC与a、b夹角均相等， ①将直线PC绕着P点向上旋转到PD，当平面PCD⊥α时，PD与、的夹角依然相等，即PD与a、b的夹角依然相等； 将直线PC绕着P点向下旋转时也可得到与a、b的夹角均相等的另外一条直线， 易知PC与PA夹角为，当PC向上或向下旋转的过程中，PC与PA夹角增大，则若要存在与两异面直线夹角均为的直线，有； ②同理，∠APE=，将∠APE的角平分线绕着P向上或向下旋转可得两条直线与a、b的夹角均为，则， 如此，即可作出4条直线与异面直线a、b夹角均为， 又∵0＜θ≤，∴ ． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$