10.2 直线与直线的位置关系（第1课时 空间的平行直线）（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

10.2 直线与直线的位置关系 第10章 空间直线与平面 沪教版2020必修第三册·高二 第1课时 空间的平行直线 学 习 目 标 1 2 3 掌握公理4（平行传递性）的文字与符号语言： 若 a // b 且 b // c ，则 a // c 。 能运用定理解决空间角相等问题（方向相同⇒角相等）。 通过长方体模型抽象线线平行关系，提升几何直观素养。 新知探究 书本翻页时书脊与各页边的平行关系 围栏中竖条的平行关系 抽象 抽象 问题1 仔细观察下面的两种实际情景，你有什么发现？ 在平面几何里我们知道平行关系具有传递性，即在同一平面上，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．对于空间的直线，这种传递性是否还存在？ 正是基于这种经验，我们有下面的公理 公理４ 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 新知探究 　 符号语言：若a∥b，且a∥C，则b∥C．（平行传递性） 图形语言： 问题2 你还能再找出其他生活实例吗？ 公理作用：证明直线平行 例1 如图，在正方体CD-， （１）找出与平行的所有棱，并解释你的结论； （２）求证：∥； （３）求证：∠BAC＝∠． 【解】: (1)与AB 平行的棱有CD、和． 因为正方体的每个面都是正方形， 所以AB∥CD，AB∥， CD∥， 从而由公理４，知AB∥． 典例分析 1.用公理4证棱平行 2. 用正方体和平行四边形的性质证对角线平行 【证明】： （２）因为CD-是一个正方体， 所以∥，∥． 由公理４，可得∥． 此外，显然有＝， 从而是一个平行四边形， 所以AC∥． （３）因为正方体的每个面都是正方形， 所以△BAC和△ 都是等腰直角三角形， 从而∠BAC＝∠＝45°． 典例分析 3. 用正方体和等腰直角三角形的性质证角相等 典例分析 问题3 例１中∠BAC 与∠ 的位置关系比较特殊，它们的两边分别平行且方向 相同．空间中具有这种位置关系的两个角是否一定相等呢？ 例2 .已知∠BAC 与∠的边AB∥， AC∥，并且方向相同． 求证：∠BAC＝∠． 【证明】: 因为AB∥，AC∥，由公理２推论３可知， AB、确定一个平面，记为α；AC、也确定一个平面， 记为β． 在直线AB、AC 上分别取点D、E，在直线、 上分别取点、，使得AD＝，AE＝． 方法技巧 这里我们用到了不同平面上两个全等三角形的判定与性质．之所以可以推广这种性质到空间的情形，是因为三角形的全等与相似都具有运动的不变性． 典例分析 因为在平面α上，AD∥，AD=， 所以A 是一个平行四边形， 从而A∥，且A=． 同理A∥， 且A=． 这样就有 ∥， 且=， 即 D是一个平行四边形． 于是，ED＝，从而△ADE≌△， 即得∠BAC＝∠. 由此，我们可以得到一条定理。 典例分析 　　 推论１ 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 推论２ 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等． 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 由上述定理，我们容易得出下面两个推论． 图形语言 符号语言 ∠BAC＝∠. 或∠BAC+∠. 问题思考 由空间四点首尾 相接所成的四边形叫做空间四边形． 例2 .如图，ABC是一张三角形的纸片，D 是边AC上的一点．我们将此三角形纸片沿BD 折成一个空间四边形ABCD．在这个空间四边形ABCD 中，E、F、G、H 分别为边AB、BC、CD、DA的中点． 求证：EFGH 是平行四边形 典例分析 【证明】 因为EH 是△ABD 的一条中位线， 所以EH∥BD， 且EH＝BD．同理，FG 是△CBD 的一条中位线， 有FG∥ BD，且FG＝BD．由公理４，知EH∥FG，且EH＝FG，从 而EFGH 是平行四边形． 　（１）将空间四边 形ABCD 还原到原来 的位置，那么所得到 的四边形EFGH 还是 平行四边形吗？ （２） 若 E、F、 G、H 不是所在边的中点，EFGH 是否仍 可能是平行四边形？ 2）利用对角线性质 3）排除异面关系 两条直线若相交则一定共面（长方体内部），排除异面可能。 方法技巧 1）构造平行四边形 【解】C与B相交，理由如下： 连接C, 在长方体ABCD-中， 因为BC,BC, 所以四边形 对角线, 题型一 平行构造证相交 题型探究 １．如图，在长方体ABCD-中，直线C与B相交吗？为什么？ 4）简化空间模型 将空间问题转化为平面几何问题（通过构造平行四边形实现）。 5）结论明确 依据平行四边形性质直接判定相交，无需复杂计算。 2）构造平行传递 3）平面内作平行线 方法技巧 1） 空间问题平面化 【解】如图所示， 过点M作A的垂线交AB于点M， 过点N作N的垂线，交CD于点，连接 题型二 公理4的应用 题型探究 ２．在如图所示的长方体ABCD-中，平面上有一条直线MN而平面ABCD 上有一点P．试过点P作一条直线l， 使得l∥MN． l 在矩形ABCD-中,有MN, 在平面ABCD内过点P作一条直线l，使得l∥，则l∥MN. 方法技巧 • 核心定理：直接利用等角定理（题型已提示“等角定理的应用”），避免复杂空间构造. • 降维转化：将三维问题拆解为两个平面（α和β）内的平行关系证明，简化处理. • 隐含条件：垂直于同一直线（OO₁）是证明平行的突破口，方向一致性是定理成立的前提（题目中“任意作射线”但默认同侧同向）. 【解】∵ OA ⊥ OO₁, O₁A₁ ⊥ OO₁（题设） 且OA, O₁A₁ ∈ α， ∴ OA ∥ O₁A₁. 同理，OB ∥ O₁B₁（在β上）. 又∵ OA与O₁A₁同向，OB与O₁B₁同向， ∴ ∠AOB = ∠A₁O₁B₁（等角定理）. 题型三 等角定理的应用 题型探究 3．如图，在两个相交平面α、β的交线上任意取两点O与．在平面α上，过O与分别作射线OA 与垂直于；在平面β上，过O与分别作射线与垂直于． 求证：∠AOB ＝∠． 课堂小结 平行线定义 → 公理4（传递性） → 等角定理（角度转化） 定义→公理→定理→应用 空间问题平面化 （核心思想：降维转化+传递构造） 1.（基础层）教材P47复习题A组第2题 分层作业 2.（进阶层）教材P48复习题A组第5题 3.（拓展层）教材P48复习题A组第9题 感谢聆听! $$