10.3.2 直线与平面垂直（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

10.3.2直线与平面垂直 题型一 线面垂直有关命题的判断 1．为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（   ） A．，则 B．与所成角均为，则 C．，则直线到的距离相等 D．，则 2．设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若 ，则 或 ②若，则或 ③若 且 ，则 ④若与所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 3．已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 7．给出下列命题：（1）若直线与平面中的无数条直线垂直，则；（2）若直线平面，且直线平面，则；（3）若且，可得．其中真命题的个数是          （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 判断线面垂直 1．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是（    ） A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直 C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直 2．下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（    ） A．B． C．D． 3．如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 4．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，．若，，，则点是的 心． 5．如图，下列正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有 个． 6．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D的中点，则正确结论为_______ ①直线MB与直线B1D1相交，直线MB平面ABC1 ②直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D ③直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC1B1 ④直线MB与直线A1D垂直，直线MB∥平面B1D1C 题型三 点到面、线到面的距离 1．已知正方体棱长为2，则点C到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 2．如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（    ）    A． B． C． D． 3．在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD 所成角为，则到底面ABCD的距离为 4．如图，已知正方体的棱长为1． （1）点到平面的距离为 ； （2）直线和平面的距离为 ； （3）直线和平面的距离为 ． 5．在长方体中，，点B到平面的距离为，则 ． 6．在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 题型一 线面垂直关系的证明 1．如图，在平行四边形中， ， ， 平面，，，分别为， 的中点，求证：平面. 2．在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，．求证:平面． 3．如图，在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，为AC与BD的交点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 题型二 线面关系与线线关系 1．如图，矩形ABCD，有下列结论：①，②，③BD，④．其中正确的是 （填序号）． 2．如图已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点.求证： (1)平面； (2). 3．如图，和都是边长为2的等边三角形，，平面BCD． (1)证明：平面ACD； (2)求直线EB到平面ACD的距离． 4．如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 5．如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 6．如图①，在等腰梯形中，，，，E是的中点．如图②，将沿折起，使平面，其中M是的中点，连接，F是的中点，P是棱的中点，连接，连接，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)判断能否垂直于平面，并说明理由． 1．如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是 .（用区间表示） 2．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（    ） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 5．如图，正方体的棱长为1，M，N分别是正方形ABCD，的中心.则下列结论不正确的是（   ） A．与是异面直线 B．若P是线段上的动点，则的最小值是 C．到平面的距离是 D．过，M，N三点的平面截该正方体所得的截面是四边形 6． 如图，在正方体中：    (1)证明：平面； (2)若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值． （注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3.2直线与平面垂直 题型一 线面垂直有关命题的判断 1．为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（   ） A．，则 B．与所成角均为，则 C．，则直线到的距离相等 D．，则 【答案】B 【分析】ACD选项，可举出反例；B选项，由线面垂直的性质定理知平行. 【详解】对于A，当时，根据线面垂直的定义，由，可知必有，故当，时，可以不与平面平行，故A错误； 对于B，根据线面角的定义，可知当都与平面成角时，，由线面垂直的性质定理知平行，故B正确； 对于C，如图所示，，但直线到的距离可以不相等，故C错误； 对于D，，则可以是平行直线，相交直线，也可以是异面直线，故D错误． 故选：B． 2．设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若 ，则 或 ②若，则或 ③若 且 ，则 ④若与所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，，与不垂直，则与不垂直， 若，，与不垂直，则与不垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线， 则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确. 故选：A. 3．已知三条不同的直线a，b，l以及两个不同的平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据直线、平面之间的位置关系作出判断. 【详解】对于A选项，若，则或，故A错误； 对于B选项，若，则，故B正确； 对于C选项，若，则与可以异面，故C错误； 对于D选项，若，如果与相交，则，但如果，则或或与斜交，故D错误. 故选：B. 4．若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用线面垂直的定义、线面垂直的判定定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则垂直内所有直线，则“”“垂直内无数条直线”， 若垂直内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交， 此时直线可以在平面内， 则“” “垂直内无数条直线”， 所以，“”是“垂直内无数条直线”的充分不必要条件. 故选：A. 5．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用线面垂直关系以及线面垂直的性质即可判断得出结论. 【详解】结合题意由“”能推出“”， 由“”不能推出“”，也可能或相交， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 6．下列关于直线与平面垂直的判断中，正确的是（    ）. A．若直线与平面内的一条直线垂直，则直线与平面垂直 B．若直线与平面内的两条平行直线垂直，则直线与平面垂直 C．若直线与平面内的两条相交直线垂直，则直线与平面垂直 D．若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面垂直 【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理即可得. 【详解】直线与平面内的两条相交直线垂直才可得直线与平面垂直， A、B不符，D中的无数条直线可能为无数条平行直线，不符， 故A、B、D错误，C正确. 故选：C. 7．给出下列命题：（1）若直线与平面中的无数条直线垂直，则；（2）若直线平面，且直线平面，则；（3）若且，可得．其中真命题的个数是          （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据线面垂直的定义，线面垂直的性质，以及平面基本性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于（1）中，由线面垂直的定义，若直线与平面内的任意一条直线垂直，则，当直线与平面中的无数条直线垂直，则与平面不一定垂直，所以不正确； 对于（2）中，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得（2）正确； 对于（3）中，根据平面的基本性质得，若且，可得，所以（3）正确. 故选：C. 题型二 判断线面垂直 1．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是（    ） A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直 C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直 【答案】B 【分析】根据已知条件结合线面垂直的性质和面面垂直的性质可得结论． 【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行， 但与道路所成的角在变化 秋千板与墙面垂直，故也与道路始终垂直． 故选：B． 2．下列四个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点D、E、F分别为其所在棱的中点，能得出平面DEF的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】因为体对角线与对角面垂直，只需找到与对角面平行的答案即可. 【详解】 设下底面端点，及上底面对应端点，如图所示， 连接,和，由三垂线定理知，且， 又因为,面，面， 所以面. 对于C，因为，,，所以面//面， 所以平面DEF. A、B、D选项中面与面均不平行. 故选：C. 3．如图，在正方体中，与平面垂直的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，即可证明平面，从而得到，同理可证，即可得到平面. 【详解】连接，，由正方体的性质可知，平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以， 同理可证平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，故D正确； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故A错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故B错误； 显然与不垂直，平面，所以不垂直平面，故C错误； 故选：D 4．过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，．若，，，则点是的 心． 【答案】垂 【分析】连接，并延长，利用线面垂直的判定和性质，证得平面，得到，同理证得和，即可得到结论. 【详解】如图所示，连接，分别延长交于点， 因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又由，且平面，所以， 因为且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 同理可证：， 所以点为的垂心. 故答案为：垂 5．如图，下列正方体中，直线AB与平面CDE垂直的有 个． 【答案】2 【分析】第一个、第三个通过求所成角说明不垂直即可；第二个、第四个通过线线垂直证明线面垂直即可. 【详解】 第一个，如图易知，，故所成角为，故直线AB与平面CDE不垂直； 第二个，如图易知，，，又面，，又，故AB平面CDE； 第三个，如图易知，，故所成角为，故直线AB与平面CDE不垂直； 第四个，如图易知，面，，又，故面，，同理可得，又，故AB平面CDE. 故直线AB与平面CDE垂直的有2个. 故答案为：2. 6．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D的中点，则正确结论为_______ ①直线MB与直线B1D1相交，直线MB平面ABC1 ②直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D ③直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC1B1 ④直线MB与直线A1D垂直，直线MB∥平面B1D1C 【答案】④ 【分析】由异面直线的定义可判断①；，，可判断②；若直线MB⊥平面ADC1B1，则直线MB⊥BC，由CB⊥平面ABA1B1可得直线平面，这与已知可判断③； 设正方体的棱长为2，利用勾股定理可判断直线MB与直线A1D垂直，连接，由面面平行的判定定理和性质定理可判断④. 【详解】对于①，因为平面，平面，平面，所以 直线MB与直线B1D1为异面直线，故错误； 对于②，因为，，所以直线MB与直线D1C不平行，故错误； 对于③，直线MB与直线AC异面，若直线MB⊥平面ADC1B1，则直线MB⊥BC，因为CB⊥平面ABA1B1，所以直线平面，这与平面矛盾，故错误； 对于④，设正方体的棱长为2，则，，， 所以 ，所以直线MB与直线A1D垂直， 连接，在正方体中，，平面，平面， 所以平面，，平面，平面， 所以平面，又，所以平面平面， 平面，所以直线MB∥平面B1D1C，故正确. 故答案为：④. 题型三 点到面、线到面的距离 1．已知正方体棱长为2，则点C到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，证明出平面，找到点到平面的距离即的长，求出答案. 【详解】连接交于点E，    因为四边形为正方形，所以，且为中点， 因为⊥底面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以平面， 所以CE的长即为点到平面的距离， 因为正方体棱长为2，所以由勾股定理可得， 所以. 故选：B 2．如图所示，在棱长为2的正方体中，点在棱上，且，则点到平面的距离之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件确定点P的位置，利用线面平行把点到平面的距离分别转化点到平面的距离求解即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，平面，平面， 则，由，得， 在中，，则，即点为中点， 又平面，平面，因此平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离，同理点到平面的距离 等于点到平面的距离，连接，过分作的垂线，垂足分别为，如图，    由，得，解得， 在中，，则， 所以点到平面的距离之和为. 故选：B 3．在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD 所成角为，则到底面ABCD的距离为 【答案】 【分析】由异面直线所成的角可求得长方体的高，即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由长方体性质可知与平行， 所以即为异面直线与CD所成的角，即， 又因为为直角三角形，， 又，所以； 可得， 易知到底面ABCD的距离为. 故答案为： 4．如图，已知正方体的棱长为1． （1）点到平面的距离为 ； （2）直线和平面的距离为 ； （3）直线和平面的距离为 ． 【答案】 1 1 / 【分析】（1）由平面即可作答；（2）（3）证明线面平行即可计算作答. 【详解】（1）在正方体中，平面，所以点到平面的距离为； （2）在正方体中，连接，如图， ，，则四边形是平行四边形，有， 而平面，平面，则有平面， 于是得直线和平面的距离等于点到平面的距离， 因平面，则点到平面的距离为， 所以直线和平面的距离为1； （3）在正方体中，连接，， 而平面，平面，则平面， 因此直线和平面的距离等于点到平面的距离， 连，由正方形得，而平面，平面， 因此，因，平面，则平面，而， 所以直线和平面的距离为. 故答案为：1；1； 5．在长方体中，，点B到平面的距离为，则 ． 【答案】 【分析】过点B作于点P，可证平面．即，进而可求解. 【详解】如图，过点B作于点P，连接，BD，因为平面，在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线，则平面． 由直角三角形的面积可得：， 解得． 故答案为： 6．在长方体中，若，则直线到平面的距离是 . 【答案】/ 【分析】根据条件，易得面，从而将线面距转化成点面距，过作于，根据条件可得面，再根据条件，利用几可关系，即可求解. 【详解】易知，又面，面，所以面， 则直线到平面的距离，与点到平面的距离相等， 过作于， 因为面，面，所以， 又，面，所以面， 又，则， 在中，，得到， 所以直线到平面的距离为， 故答案为：. 题型一 线面垂直关系的证明 1．如图，在平行四边形中， ， ， 平面，，，分别为， 的中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】连接，推导出，，从而平面，进而，再求出，由此能证明平面. 【详解】如图所示，连接，在平行四边形中，，， ， ，即， 从而有，， 平面，平面，， 又，平面，平面， 又平面， ， 又，为中点， ，又,平面， 平面. 2．在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，．求证:平面． 【答案】证明见解析 【分析】取的中点G，连接，得出，由线面垂直的性质及判定得出平面，即可证明. 【详解】取的中点G，连接， F是的中点，，且， ，． 又，四边形是平行四边形，， 在中，，，则， 平面，，平面， 又平面，， ，平面，平面， 又因为，所以平面． 3．如图，在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，为AC与BD的交点，是线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明. 【详解】（1）分别是的中点，是矩形， ，且， 四边形是平行四边形，则. 又平面平面， 平面. （2）如图，连接. 正方形ABCD的边长为， ， 则. 又平面平面ABCD，. 由底面ABCD为正方形可得， 又平面平面， 平面. 又平面，， 又平面平面， 平面. 题型二 线面关系与线线关系 1．如图，矩形ABCD，有下列结论：①，②，③BD，④．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】根据空间中线与线、线与面垂直的判定定理和性质定理，分别证明各结论正误. 【详解】 矩形，平面，， 在矩形矩形中，, 所以,且面，面, 所以面,因为面，所以，所以①正确. 同理可证平面，则，所以②正确. 由题意可知， 当时，在中有， 即，化简得,所以③错误. 矩形，平面，，所以④正确. 故答案为：①②④． 2．如图已知矩形，过点作平面，再过点作交于点，过点作交于点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明出平面，可得出，由以及线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，结合线面垂直的性质可证得结论成立. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，故平面. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，因此. 3．如图，和都是边长为2的等边三角形，，平面BCD． (1)证明：平面ACD； (2)求直线EB到平面ACD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）如图，利用勾股定理的逆定理可得，结合线面垂直的判定定理可得平面BCD，进而，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知确定点面距，根据线面垂直的判定定理可得平面ACD，求出即可. 【详解】（1）如图，取CD的中点O，连接AO，BO． 因为和都是边长为2的等边三角形， 所以，，且． 又，所以，所以． 又，BO，平面BCD，所以平面BCD． 因为平面BCD，所以． 又平面ACD，平面ACD，所以平面ACD． （2）由（1）知，平面ACD， 所以直线EB到平面ACD的距离等于点B到平面ACD的距离． 由（1）知，，， 又，AO，平面ACD，所以平面ACD， 所以BO的长为直线EB到平面ACD的距离． 由（1）知，所以直线EB到平面ACD的距离为． 4．如图，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据异面直线所成角的定义可得即为所求，解直角三角形即可求解； （2）在正方体中，证明面，即可得出点面距离也即线面距离. 【详解】（1）因为，所以即为异面直线与所成角或其补角， 因为，由勾股定理得， 故，所以； （2）连接交于，则， 因为平面，平面， 所以， 又因为，，，平面， 所以面， 所以线段为所求距离，则点到平面的距离为. 5．如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，结合，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证； （3）在平面内过点作交于点，即可证明平面，再求出，即可得解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以； （3）在平面内过点作交于点， 因为，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. 6．如图①，在等腰梯形中，，，，E是的中点．如图②，将沿折起，使平面，其中M是的中点，连接，F是的中点，P是棱的中点，连接，连接，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)判断能否垂直于平面，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不垂直；理由见解析 【分析】（1）根据题意，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到； （2）根据题意证得，结合平面，即可证得平面． （3）假设平面，利用线面垂直的性质，证得，得出矛盾，即可得到结论. 【详解】（1）证明：因为在等腰梯形中，，是的中点，所以与都是等边三角形，则， 因为平面，所以平面， 又因为平面，所以． （2）证明：因为且，所以四边形是平行四边形， 所以N是线段的中点， 因为P是线段的中点，所以， 因为平面，所以平面． （3）解：与平面不垂直． 理由如下： 假设平面，则，因为平面，所以， 又因为平面，所以平面，所以， 这与矛盾，所以与平面不垂直． 1．如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是 .（用区间表示） 【答案】 【分析】利用，得出，通过线面垂直的判定定理和性质定理可得到，通过几何关系可得到，可知的最小值为与平面所成的角.设的交点为O，则为与平面所成的角.所以的最小值为.的最大值为点在点处，此时. 【详解】连结, 由正方体的性质可得，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以异面直线和所成的角即直线与所成的角， 连接的交点为O，过点作直线的垂线，垂足为， 因为平面，平面， 显然,， 又 平面,所以平面, 因为平面,所以,, 又因为，平面，所以平面， 又平面，， 易知,所以有，，，可得, 由正方体的性质可知，显然为锐角，所以，得，即， 所以当，即点在上时，此时有最大值为，此时最小为； 显然当点在时，此时有最大值，因为，此时有最大值，显然为正三角形，所以此时；故 故答案为： 2．如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，可证得平面，求出和，利用勾股定理表示，得到点的轨迹，即可求解. 【详解】 设平面，连接，，，， 因为，， 所以三棱锥为正三棱锥， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又平面，所以， 同理可证，又，平面， 所以平面，则为正三角形的中心， 则，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，所以 ， 即，， 因为，即， 因为，解得，所以点的轨迹是半径为的圆， 所以点的轨迹长度是. 故选：. 3．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，由证得，再由平面证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积. 【详解】取的中点，分别连接 在正方形中，因为分别为的中点， ， 可得， 所以，因为， 所以， 所以，即， 又因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 又因为且平面， 所以平面， 即平面截正方体的截面为， 由正方体的棱长为4， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以， 所以截面的面积为 . 故选：D. 4．如图，在正方体中，分别是线段、BD上的点.给出下列两个说法：①存在点，对任意点，均有；②若，则直线与恒为异面直线，则（    ） A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】①利用正方体对角线截面可得；②先在下底面上过点作直线与平行，利用公理和推论找到过和的截面，将判断直线与是否恒为异面直线，转化为判断是否在截面上，当在截面上，则与重合，利用三角形相似和已知，设正方体棱长为，可解出 ，即说明直线与不恒为异面直线. 【详解】①如图，当点是线段交点时，满足题意. 此时无论点在线段何处，线段都在平面上， 由正方体结论知平面，由线面垂直定义得，所以①正确； ②如图，在下底面上过点作直线与平行，且交棱于点，交棱于点， 由于正方体中，由平行传递公理得， 在中，作，且交于点， 在左侧面上，延长，且； 在后侧面上，延长，且， 连接，由公理及推论可得在截面上， 由于， 所以判断直线与是否恒为异面直线，只需判断是否在截面上. 如图，当在截面上，则与重合， 则由∽得， 由∽得， 不妨设，正方体棱长为，又，设，， 则，解得 ， 此时直线与为共面直线，故②错误. 故选：C. 5．如图，正方体的棱长为1，M，N分别是正方形ABCD，的中心.则下列结论不正确的是（   ） A．与是异面直线 B．若P是线段上的动点，则的最小值是 C．到平面的距离是 D．过，M，N三点的平面截该正方体所得的截面是四边形 【答案】B 【分析】根据异面直线定义可判断A；将绕着旋转，使得与在同一平面内，然后根据大边对大角可判断B；利用等面积法求解可判断C；利用交线法作出截面可判断D. 【详解】对B，易知，， 将绕着旋转，使得与在同一平面内，如图， 易知，当三点共线时，取得最小值， 因为， 所以，B错误； 对C，记的中点分别为，连接， 由平面，点平面，得平面平面， 又平面平面，在平面内作于， 则平面，则到平面的距离，C正确； 对A，易知是平面的斜线，斜足为， 又平面，且，所以与是异面直线，A正确； 对D，连接，由为正方形的中心，得， 延长与的延长线交于点，过点作直线交分别于， 连接并延长交于，连接，因此四边形是所求截面，D正确. 故选：B 6． 如图，在正方体中：    (1)证明：平面； (2)若，点是棱上一点（不包含端点），平面过点，且，求平面截正方体所得截面的面积的最大值． （注：如需添加辅助线，请将第（1）（2）问的辅助线分别作在答题卡中的图1与图2上） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明平面，只需证明，. （2）先根据截面性质，作出截面，再设，求出截面面积的表达式，由二次函数性质求得最大值. 【详解】（1）证明：连接，，    在正方体中，， 由平面，平面，得， 又因为，BD、BB1在面BB1D1D内，故平面， 又平面，故， 同理，又因为，AB1、AC在面ACB1内， 所以平面； （2）过点作，交于点， 过点作，交于， 过点作，交于，    由作法可知，，，故， 又，故，则，，，四点共面， 由，， 由（1）可知，， 故，，，故平面， 平面即为所求的平面，        因为平面平面，平面平面， 设平面平面，则， 又因为，可得，同理可得， 故平面截正方体所得截面为平面六边形， 设，， 则，，， 等腰梯形的面积，等腰梯形的面积 截面六边形面积，当，， 故平面截正方体所得截面的截面面积的最大值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$