10.2.2 异面直线（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

10.2.2异面直线 题型一 异面直线的辨析 1．两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】两条直线为异面直线，则这两条直线没有公共点， 反之，两条直线没有公共点，这两条直线是平行直线或是异面直线， 所以两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的充分不必要条件. 故选：B 2．如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A．要么相交，要么平行 B．要么相交，要么异面 C．要么平行，要么垂直 D．不相交时，要么平行，要么异面 【答案】D 【分析】根据空间中直线的位置关系的类型可得正确的选项. 【详解】空间直线间的位置关系有相交，平行或异面， 故D正确； 故选：D. 3．已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【详解】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 4．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（    ） A．与a，b都相交 B．与a，b都不相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．至多与a，b中的一条相交 【答案】C 【分析】结合特例可判断AD的正误，利用反证法可判断B的正误，从而可判断C的正误. 【详解】对于A，如图，，相交，故A错误； 对于B，若与都不相交，而共面且共面，故，则， 与异面矛盾，故B错误； 对于D，如下图，与都相交，故D错误； 对于C，结合AB可得与中至少一条相交， 故选：C. 5．下列结论正确的是（    ） A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C．空间四边形的两条对角线可以相交 D．空间四边形的两条对角线不相交 【答案】D 【分析】运用等角定理，平面性质，点共面共线等知识逐个判断. 【详解】若两个角相等，它们的两边不一定分别平行.比如一个角的两边与另一个角的两边方向相反时，两角相等但两边不平行，所以A选项错误. 空间四边形的定义就是四个顶点不共面的四边形，如果四个顶点在一个平面内，那就变成平面四边形了，所以B选项错误. 空间四边形的四个顶点不共面，若两条对角线相交，那么四个顶点就会共面，这与空间四边形的定义矛盾，所以C选项错误. 由空间四边形的定义可知，其四个顶点不共面，所以两条对角线不相交，D选项正确. 故选：D. 6．若直线，，满足，，异面，则与（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 【答案】C 【分析】在正方体中，，和是异面直线，；，和是异面直线，和是异面直线；直线，，满足，，异面，则由平行公理得与不可能是平行直线． 【详解】解：在正方体中， A．，和是异面直线，， 故直线，，满足，，异面，则与可能相交，不一定是异面直线，故A错误； B．，和是异面直线，和是异面直线， 故直线，，满足，，异面，则与可能是异面直线，故B错误； C．直线，，满足，，异面，则由平行公理得与不可能是平行直线，故C正确； D．，和是异面直线，， 故直线，，满足，，异面，则与可能相交，故D错误． 故选：C． 7．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】利用空间中平行关系的转化可判断①②③，根据异面直线的定义可判断④. 【详解】对于①，分别连接， 在长方体中，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以，，则，所以四点共面. 对于②，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得，， 故平面，平面，所以六点共面. 对于③，连接，因为，，，分别是所在棱的中点， 所以， ， 故，所以四点共面. 对于④，连接，因为平面，平面，且不过点， 所以为异面直线， 所以四点不共面. 故选：A. 8．在空间中，下列说法：（1）一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交；（2）一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面；（3）一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线；（4）一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行．其中正确的序号是 ． 【答案】（3） 【分析】由空间中直线与直线的位置关系，结合异面直线的定义逐一分析四个选项得答案． 【详解】对于（1），一条直线和两条平行直线中的一条相交， 则和另一条相交或异面，故（1）错误； 对于（2），一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面， 设，l与a确定一个平面，则l与a平行或相交， 如下图l与a相交的情况，l与b异面，故（2）错误； 对于（3），一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点， 当它和其中一条是异面直线时，它和另一条如果不是异面直线，即与另一条平行， 由平行公理知：三条直线互相平行，与题设有矛盾，故（3）正确； 对于（4），一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点， 则这三条直线平行或直线与两平行直线都异面，故（4）错误． 故答案为：（3）. 题型二 直线位置关系的判断 1．在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用异面直线的判定及公理的应用判定选项即可. 【详解】选项A中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项B中，平面内的两直线异面，则a与b异面； 选项C中，平面内的两直线相交，两相交直线能确定一个平面， 则a与b有可能平行； 选项D中，平面内的两直线异面，则a与b异面． 故选：C． 2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】C 【分析】判断直线与所成角不是直角，利用异面直线判定定理判定其为异面关系. 【详解】 取中点R， 连接，则容易得到，，则， 知道四边形为平行四边形，则，则是直线AM与BN夹角或其补角. 设正方体棱长为，则，，，则， 则为锐角，不是直角，则直线AM与BN不垂直. 因为平面，平面，平面，， 所以为异面直线， 综上所得，与异面且不垂直. 故选：C. 3．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 【答案】C 【分析】利用长方体中的线线位置关系，可逐一判断各选项. 【详解】 如图，连接， 对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误； 对于B，因， ，故得，则有， 故直线AC与不可能相交，故B错误； 对于C，因平面， 平面， 平面， 故直线与AC异面，即C正确； 对于D，因， ，故得，则， 而与相交，故直线与异面，故D错误. 故选：C. 4．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】B 【分析】判定异面直线的方法：①根据它的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．”②定义法：不在任何同一个平面内的．两条直线称为异面直线；③反证法：既不平行又不相交的直线即为异面直线；逐项判断即可得结论． 【详解】异面直线的判定定理：“经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．” 根据异面直线的判定定理可知：在图②④中，直线、是异面直线； 在图①中，由、均为棱的中点可知：； 在图③中，、均为棱的中点，四边形为梯形，则与相交． 故选：B． 5．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是（    ）    A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C． D．EF与AB异面 【答案】D 【分析】还原几何体，再判断线与线的位置关系. 【详解】展开图还原为几何体后，如图，    由图可知与是异面直线，与相交，，与相交， 所以A,B,C正确，D错误. 故选：D 6．如图，在正方体中，点N为正方形的中心，E为中点，M是线段的中点，则（    ） A．且直线是相交直线 B．且直线是相交直线 C．且直线是异面直线 D．且直线是异面直线 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出点坐标，利用坐标法可求边长，连接即可判断两直线的位置关系. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为原点，分别以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为M是线段ED的中点，可得， 所以， 所以, 连接，易知平面 平面， 所以且直线是相交直线. 故选：B. 7．如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据空间中点，线，面的位置关系逐一判断即可. 【详解】在正方形中，， 所以在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面； 因为平面，在平面内，不在直线上， 又不在平面内，所以与异面；    连接，因为点为正方形的中心，又是线段的中点， 所以，所以在平面内，所以与不是异面直线. 故选：. 8．已知直线，则直线与直线的位置关系为 . 【答案】异面或平行或相交 【分析】根据空间中直线的位置关系即可判断. 【详解】由题意有：直线与直线可能异面或平行，相交， 故答案为：异面或平行或相交 9．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： （1）直线与直线的位置关系是 ； （2）直线与直线的位置关系是 ； （3）直线与直线的位置关系是 ； （4）直线AB与直线的位置关系是 ． 【答案】 平行直线 异面直线 相交直线 异面直线 【分析】（1）通过四边形是平行四边形，证得平行关系；（2）利用异面直线判定方式进行判定；（3）两条直线交于一点；（4）利用异面直线判定方式进行判定. 【详解】（1）由，得四边形是平行四边形，则直线与直线是平行直线； （2）平面，交平面于，，则直线与直线是异面直线； （3）直线与直线交于，则直线与直线是相交直线； （4）平面，交平面于，，则直线与直线异面直线. 故答案为：平行直线；异面直线；相交直线；异面直线 10．“是异面直线”是指： （1）平面，平面，且； （2）且不平行； （3）平面，平面，且； （4）平面，平面； （5）不存在平面，使且． 上述说法中，正确的序号是 ． 【答案】（2）（5） 【分析】根据异面直线定义，逐一判断即可得出正确结论. 【详解】（1），即没有交点，但可能平行，得不出是异面直线； （2）由条件可知没有交点，且也不平行，所以只能是异面直线； （3）由可得，此时可能平行，得不出是异面直线； （4）由平面，平面可知，可能平行也可能相交，得不出是异面直线； （5）根据异面直线定义可知，不在同一平面内，即能判断出是异面直线； 故答案为：（2）（5） 11．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 . ①②③④ 【答案】② 【分析】根据异面直线的定义一一判定即可. 【详解】由正方体的性质易知当为的中点时，此时， 而，所以共面，则、在平面上，故①不符题意； 因为，即共面，易知平面，而平面， ，， 故与异面，故②符合题意； 当重合时，易知，则四边形是平行四边形， 则此时，故③不符合题意； 当重合时，显然，相交，故④不符合题意. 故答案为：② 题型一 异面直线数量 1．如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（   ） A．4条 B．6条 C．8条 D．2条 【答案】B 【分析】根据正方体的性质和异面直线的定义即可判定. 【详解】与有公共点的棱所在的直线不异面，有，，，，，共6条， 与直线异面的棱所在的直线有，，，，，，共6条． 故选：B. 2．设P是异面直线a，b外一点，则过P与a，b都平行的直线有(　　)条. A．1 B．2 C．0 D．0或1 【答案】C 【分析】假设存在这样的直线推出矛盾结论，判断过一点同时平行两条异面直线的直线条数. 【详解】若存在直线使且，则与异面矛盾，故不存在这样的直线. 故选：C 3．如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      【答案】3 【分析】根据异面直线的定义，即可判断. 【详解】和是异面直线， 和是异面直线， 和是相交直线，不是异面直线， 和是异面直线，所以有3条. 故答案为：3 4．空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 【答案】A 【分析】过点作过另两条直线的平面，则两平面有唯一交线，可判断直线的条数. 【详解】如图：在正方体中，不妨设三条两两异面的直线为， 令，作平面过，则过与相交的直线都在平面内， 作平面过，则过与相交的直线都在平面内，. 平面与平面不平行且不重合，有且仅有一条公共直线， 所以直线只有1条. 故选：A. 5．正方体的棱、面上的对角线及正方体的体对角线，它们本身及相互之间构成的异面直线共有（    ）对． A．73 B．144 C．174 D．178 【答案】C 【分析】分棱与棱，棱与面对角线，棱与体对角线，面对角线与面对角线，面对角线与体对角线这几类分别求解可得结果. 【详解】在正方体中，棱与棱构成的异面直线的对数有对， 棱与面对角线构成的有对， 棱与体对角线构成的有对， 面对角线与面对角线构成的有 对， 面对角线与体对角线构成的有 对． 故正方体的棱、面上的对角线及正方体的体对角线中异面直线的总数为对． 故选：C． 6．在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则 【答案】5 【分析】由异面直线的性质结合图形观察可得. 【详解】观察可得，与直线异面的直线有，共5条， 所以. 故答案为：5. 7．从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为 ． 【答案】4 【分析】先依次选定第一条、第二条面对角线结合正方体结构特征进行分析即可求解. 【详解】如图，在面中选定一条面对角线， 由正方体结构特征剩余五个面内均只剩一条面对角线与异面， 但当继续选定第二条面对角线时， 面与面中与异面的直线均与面对角线相交，故不符合， 所以最终只剩最后两个面的对角线可以与和两两异面，故k的最大值为4. 故答案为：4. 题型二 异面直线的证明 1．已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 【答案】证明见解析 【分析】用反证法证明，假设它们是异面直线，然后可以得到在同一平面，与题干相矛盾，从而证之. 【详解】证明：假设与不是异面直线，则与共面， 从而与共面，即与共面， 所以在同一平面内，这与是所平面外的一点相矛盾． 故直线与是异面直线． 2．四面体中，，求证：与中边上的高和必为异面直线． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用反证法推理论证即可. 【详解】如图，由，得是的中点， 若不是异面直线，显然不会重合，则，或相交， 若，令它们所确定的平面为，则，由，得， 因此与为共面直线，但为异面直线，矛盾，即与不平行； 若和相交，令交点为，由平面，平面，平面平面， 得点，而，因此与必重合，由是的中点，且， 得必为等腰三角形，即，则，这与矛盾，从而不可能相交， 所以必为异面直线. 3．如图，已知，，，，．求证：b与c是异面直线． 【答案】证明见解析 【分析】假设与是共面于，则点与直线也在此面中，从而可证重合，得到矛盾. 【详解】证明：反证法.假设与不是异面直线即共面于. 所以，因为，故 ∵，∴，∴点与直线确定一个平面（即）. 而过直线和直线外一点有且只有一个平面，故、重合. ∴直线与共面于. 又，故，故重合，与条件矛盾. ∴与是异面直线. 4．如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，与是否为异面直线？请说明理由． 【答案】与不是异面直线，理由见解析 【详解】与不是异面直线．如图，连接， 因为P是的中点，Q是的中点， 所以是的中位线，故， 而在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，故， 所以，得到共面，故与共面， 5．如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上，来证得在直线上. （2）利用反证法可证明与是异面直线. 【详解】（1）平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上. （2）假设与不是异面直线. 则与是共面直线，又在直线外， 则过与直线有唯一平面，所以可得平面， 这与在平面外矛盾，故与是异面直线. 则与不是异面直线得证. 6．在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据已知推得，，进而得出； （2）结合已知，根据异面直线的定义，即可得出证明. 【详解】（1）    如图，连接， 因为、分别是棱、的中点， 所以，. 由已知可得，，且， 所以，四边形为平行四边形， 所以，， 所以，， 所以，、、、四点共面. （2）因为平面，平面， 平面，但是， 根据异面直线的定义可得，直线与是异面直线. 7．如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 【答案】(1)菱形； (2)证明见解析 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再由证明它是菱形即得； （2）运用反证法思路，先假设和共面，即共面，与题设产生矛盾，得出假设不成立即可. 【详解】（1）因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； （2）假设和不是异面直线，则与平行或相交， 即与确定一个平面，则，，，， 这与四边形为空间四边形矛盾，故和是异面直线. 1．已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能有4条直线与a异面； ②中可能有5条直线与a异面； ③中可能有8条直线与b异面； ④中可能有10条直线与b异面． A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】利用异面直线的判断逐一分析即可得解. 【详解】当直线取时，中只有四条直线（、、、）与直线异面，故①正确； 因为直线平面，所以不可能与直线异面， 当直线过底面两个顶点时， 若直线为底面边所在直线，则由①可知，此时只有四条直线与直线异面； 若直线为底面对角线，不妨设为， 此时有超过5条直线与直线异面； 当直线只过底面一个顶点（不妨设过顶点）时， 此时至少有超过5条直线与直线异面； 当直线不过底面任何一个顶点时， 此时至少有超过5条直线与直线异面； 综上，中不可能有5条直线与a异面，故②错误； 当直线取线段AD中点与线段的中点连线时， 中除了AD和之外的10条棱均与直线异面，故④正确； 当直线取A点与线段的中点连线时， 中除了AD、、AB和之外的8条棱均与直线异面，故③正确； 故选：C. 2．在正方体上有一只蚂蚁，从点出发沿正方体的棱前进，若该蚂蚁走的第条棱与第条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2022条棱之后的位置是在（    ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】根据题意，分析蚂蚁从点沿、或走的情况可知蚂蚁走过第3条棱后的位置一定是在点处，进而可知，每走过6条棱后都会回到起点，进而根据周期性求解即可. 【详解】解：不妨设蚂蚁从点先沿走，如图， 结合正方体的性质知与直线异面的直线有，，，，共4条， 由题意可知蚂蚁走过3条棱的路线是或，即蚂蚁走过第3条棱后的位置在点处， 同理，蚂蚁从点先沿或走，走过第3条棱后的位置一定是在点处， 以此类推，蚂蚁走过第6条棱后的位置一定在点处， 如此走下去，每走过6条棱后都会回到起点， 因为， 所以这只蚂蚁走过第2022条棱之后的位置是在点处. 故选：B. 3．是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2021段与第1段所在的直线所成的角是（    ） A．0° B．30° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】由质点的运动规则，可得质点走过4段后，又回到起点，可以看作以4为周期，由于，则质点走完的第2020段恰好回到起点，即可得解； 【详解】解：依题意可得质点运行路线为， 或， 或， 或， 或， 或， 即走过4段后又回到起点，可以看作以4为周期， 不妨令第1段走且按照，则第5段一定是，若为（），此时与第3段共线，矛盾； ， 则质点走完的第2020段恰好回到起点，则第段只能是， 即第段为，此时与第段重合，此时两直线所成角为； 质点走完的第段与第1段所在的直线所成的角是． 故选：A 4．如图，正方体中，P、Q、R、S、T分别为线段、、、、的中点，联结、，对空间任意两点M、N，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称M、N两点可视.则此正方体中的点A、P、Q、R中与点可视的点有 .（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择） 【答案】点A、点Q、点R 【分析】分别连接，再去看是否与和相交. 【详解】对于点A，连接，因为平面， 平面，且 ，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视； 对于点，如图，连接，得平面， 且与相交，连接，因为，， 所以四边形是平行四边形，得与相交，所以点与点不可视， 对于点，如图，连接，，因为平面， 平面，且 ，所以直线与是异面直线， 所以点与点可视； 对于点，如图，连接，， 因为平面，平面，且 ， 所以直线与是异面直线，所以点与点可视，故D错误. 故答案为：点、点、点. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2.2异面直线 题型一 异面直线的辨析 1．两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 2．如果是空间中两条直线，下列说法正确的是 A．要么相交，要么平行 B．要么相交，要么异面 C．要么平行，要么垂直 D．不相交时，要么平行，要么异面 3．已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 4．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（    ） A．与a，b都相交 B．与a，b都不相交 C．至少与a，b中的一条相交 D．至多与a，b中的一条相交 5．下列结论正确的是（    ） A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行 B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内 C．空间四边形的两条对角线可以相交 D．空间四边形的两条对角线不相交 6．若直线，，满足，，异面，则与（    ） A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 7．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点共面的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①③④ 8．在空间中，下列说法：（1）一条直线和两条平行直线中的一条相交，必和另一条也相交；（2）一条直线和两条平行直线中的一条确定一个平面，必和另一条也确定一个平面；（3）一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，当它和其中一条是异面直线时，它和另一条也必是异面直线；（4）一条直线和两条平行直线中的任何一条都无公共点，则这三条直线平行．其中正确的序号是 ． 题型二 直线位置关系的判断 1．在以下四图中，直线与直线可能平行的位置关系只能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（   ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 3．在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 4．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形是（    ） A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 5．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法正确的是（    ）    A．AB与CD是异面直线 B．GH与CD相交 C． D．EF与AB异面 6．如图，在正方体中，点N为正方形的中心，E为中点，M是线段的中点，则（    ） A．且直线是相交直线 B．且直线是相交直线 C．且直线是异面直线 D．且直线是异面直线 7．如图，点为正方形的中心，点在平面外，是线段的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（    ）    A．与 B．与 C．与 D．与 8．已知直线，则直线与直线的位置关系为 . 9．如图，在长方体中，判断下列直线的位置关系： （1）直线与直线的位置关系是 ； （2）直线与直线的位置关系是 ； （3）直线与直线的位置关系是 ； （4）直线AB与直线的位置关系是 ． 10．“是异面直线”是指： （1）平面，平面，且； （2）且不平行； （3）平面，平面，且； （4）平面，平面； （5）不存在平面，使且． 上述说法中，正确的序号是 ． 11．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是 . ①②③④ 题型一 异面直线数量 1．如图，在正方体的所有棱所在的直线中，与直线异面的共有（   ） A．4条 B．6条 C．8条 D．2条 2．设P是异面直线a，b外一点，则过P与a，b都平行的直线有(　　)条. A．1 B．2 C．0 D．0或1 3．如图，在正方体中的直线、、、中与直线异面的直线有 条.      4．空间中有三条两两异面的直线，为其中一条直线上一定点，过引直线使其与这三条异面直线都相交，则对于任意的定点，存在的直线有（     ）条. A． B． C． D．无数 5．正方体的棱、面上的对角线及正方体的体对角线，它们本身及相互之间构成的异面直线共有（    ）对． A．73 B．144 C．174 D．178 6．在正方体各个表面的对角线所在直线中，与直线异面的直线有n条，则 7．从正方体的12条面对角线中选出k条，使得这k条面对角线所在直线两两异面，则k的最大值为 ． 题型二 异面直线的证明 1．已知是所在平面外的一点，分别是的中点，求证：直线与是异面直线； 2．四面体中，，求证：与中边上的高和必为异面直线． 3．如图，已知，，，，．求证：b与c是异面直线． 4．如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，与是否为异面直线？请说明理由． 5．如图，已知分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点.    (1)求证：点在直线上； (2)求证：与是异面直线. 6．在正方体中，、分别是棱、的中点.      (1)求证：、、、四点共面； (2)求证：直线与是异面直线. 7．如图，已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点. (1)若，判断四边形的形状： (2)证明：和是异面直线. 1．已知正方体，设直线平面，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题： ①中可能有4条直线与a异面； ②中可能有5条直线与a异面； ③中可能有8条直线与b异面； ④中可能有10条直线与b异面． A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④ 2．在正方体上有一只蚂蚁，从点出发沿正方体的棱前进，若该蚂蚁走的第条棱与第条棱是异面的，则这只蚂蚁走过第2022条棱之后的位置是在（    ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 3．是棱长为1的正方体，一个质点从A出发沿正方体的面对角线运动，每走完一条面对角线称“走完一段”，质点的运动规则如下：运动第i段与第所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．问质点走完的第2021段与第1段所在的直线所成的角是（    ） A．0° B．30° C．60° D．90° 4．如图，正方体中，P、Q、R、S、T分别为线段、、、、的中点，联结、，对空间任意两点M、N，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称M、N两点可视.则此正方体中的点A、P、Q、R中与点可视的点有 .（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$