10.3.1 直线与平面平行（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

10.3.1直线与平面平行 题型一 线面平行关系有关命题的判断 1．下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A． ， ， B． ， C． ， ， ， D． ， ， ， ， ，且 2．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则与相交 B．若，，则 C．若，异面，则与，都相交的两条直线是异面直线 D．若，，，，则， 3．已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，，则与必异面 B．若点，点，则直线 C．若，，则 D．若点，点，则直线与相交 4．已知直线，平面，给出下列四个命题： ①若 ，则 ； ②若 ，则 ； ③若 ，则 ； ④若 ，则 . 其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．已知平面与直线，则“”是“直线与平面无公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知两个不同的平面和两条不同的直线满足，则“平行”是“不相交”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 9．下列命题中，正确的是（   ） A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B．若两直线a，b都与平面平行，则 C．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 D．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 10．下列命题中正确的个数是（    ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α； ⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α． A．0 B．1 C．2 D．3 11．下列命题中，正确命题的个数是（   ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 图形中线面平行关系的判断 1．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 2．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 4．如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是 ． 5．如图，长方体中，与AB平行的平面是 ．    6．在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是 . 7．如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 题型三 线面平行关系的性质 1．如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为 ．    2．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且，又H、G分别为BC、CD的中点，则 （填序号）    ①平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 ②平面BCD，且四边形EFGH是梯形 ③平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 ④平面ADC，且四边形EFGH是梯形 题型一 线面平行关系的证明 1．如图，设P为矩形ABCD所在平面外的一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点．判断下列结论是否正确，并说明理由： (1)； (2)平面； (3)平面； (4)平面； (5)平面． 2．如图，在正方体中，E是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面ACE； 题型二 由线面平行的性质求解 1．如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与NM是异面直线 B． C．平面 D．直线CP，，AM相交于一点 2．如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（   ） A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 3．如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 4．如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则 ． 5．如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是 . 6．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 7．如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）薨（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也. 薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，.    (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)点在线段上且满足.试问：在线段上是否存在点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为 ． 2．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 .    3．如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，是线段的中点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2. (1)在图2中，证明：平面. (2)在图1中，求的值. 4．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3.1直线与平面平行 题型一 线面平行关系有关命题的判断 1．下列条件中能确定直线与平面平行的是（    ） A． ， ， B． ， C． ， ， ， D． ， ， ， ， ，且 【答案】A 【分析】对于A，根据线面平行的判定定理即可判断；对于B，由 ，，分析出或即可判断；对于C，由条件分析出或即可判断；对于D，由条件分析出或，或直线与平面相交即可判断. 【详解】由 ， ，，根据线面平行的判定定理可知，故A正确； 由 ，，可知或，故B错误； 由 ， ， ，，可知或，故C错误； ， ， ， ，，且， 则可能或，或直线 与平面相交，故D错误. 故选：A 2．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则与相交 B．若，，则 C．若，异面，则与，都相交的两条直线是异面直线 D．若，，，，则， 【答案】D 【分析】利用线面、线线位置判断判断ABC；利用线面平行的判定推理判断D. 【详解】对于A，由，，得或与相交，错误； 对于B，由，，得或，B错误； 对于C，都与直线相交的两条直线的交点可以在直线上，C错误； 对于D，由，得，，，则，同理，D正确. 故选：D 3．已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，，则与必异面 B．若点，点，则直线 C．若，，则 D．若点，点，则直线与相交 【答案】D 【分析】应用线面位置关系，线线位置关系关系判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，，则与平行或相交、或异面，故A为假命题； 对于B，若点，点，则直线平面或直线与平面相交，故B为假命题； 对于C，若，，则与平行或异面，故C为假命题； 对于D，若点，点，则直线与平面相交，故D为真命题； 故选：D. 4．已知直线，平面，给出下列四个命题： ①若 ，则 ； ②若 ，则 ； ③若 ，则 ； ④若 ，则 . 其中正确命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理及性质即可求解. 【详解】对于①，若，则或，故①错误； 对于②，若，则可共面，也可异面，不一定得到，故②错误； 对于③，若，则或，故③错误； 对于④，若，则不一定平行，也可以与异面,，故④错误. 故选：A. 5．已知平面与直线，则“”是“直线与平面无公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线与平面平行的定义可判断. 【详解】根据直线与平面平行的定义，若直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行， 记作：， 因此“”是“直线与平面无交点”的充要条件， 故选：C． 6．设是三条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据空间中直线与平面的关系，结合充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，，所以，又，所以成立， 当时，若与相交，则与异面，不能推导出， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 7．已知两个不同的平面和两条不同的直线满足，则“平行”是“不相交”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两平面平行的定义，结合，可得判定充分性成立，结合反例图象，可判定必要性不成立，即可得到答案. 【详解】当，则平面与平面，没有公共点， 若，则直线没有公共点，所以不相交，即充分性成立； 如图所示，若不相交，且，则平面与平面不一定平行， 即必要性不成立， 所以“平行”是“和不相交”的充分非必要条件， 故选：B. 8．下列命题中正确的个数是（    ） ①若直线l上有无数个点不在平面内，则； ②若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线平行； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l与平面平行，则l与平面内的任一直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据线面的位置关系逐项判断. 【详解】①若直线l上有无数个点不在平面α内，有可能直线与平面相交，故错误； ②若直线l与平面α平行，有可能直线与平面内的直线异面，故错误； ③如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么有可能另外一条直线在面内，故错误； ④因为直线与平面平行时与平面内直线的位置关系为平行或异面，均没有公共点，正确； 故选：B. 9．下列命题中，正确的是（   ） A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B．若两直线a，b都与平面平行，则 C．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 D．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 【答案】D 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，错误； 对于B，若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，错误； 对于C，若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，错误； 对于D，如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，正确. 故选：D 10．下列命题中正确的个数是（    ） ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面； ②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行； ③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b； ④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α； ⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α； ⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】①错，a，b有可能在同一平面内； ②错，直线a也可能与平面内某直线异面； ③错，两直线也可能异面； ④正确；由线面平行的判定定理可得； ⑤错误，a可以在α内； ⑥正确，由平行线上到平面内的距离相等可得. 所以正确的个数有2个； 故选：C. 11．下列命题中，正确命题的个数是（   ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据正方体的几何结构特征，结合线面位置关系的判定，可得判定①②③都不正确；根据线面平行的判定定理，可得判定④⑤都正确，即可求解. 【详解】对于①中，如图（1）所示，在正方体中，可得， 此时在过的平面内，所以命题①不正确； 对于②中，在正方体中，可得平面， 但与为异面直线，所以命题②不正确； 对于③中，在正方体中，可得平面，平面， 但和为相交直线，所以③不正确； 对于④中，如图（2）所示，在平面任取一点，过直线和点的平面为， 设平面平面，因为，可得， 又因为，所以，因为，所以，所以④正确； 对于⑤中，如图（3）所示，过点分别作，可得， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，所以⑤正确. 故选：C. 题型二 图形中线面平行关系的判断 1．如图，在正方形中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】连接，设，连接,，证明四边形为平行四边形可得,从而即可证明 平面. 【详解】连接交于，连接，，，而，分别是，的中点， 所以，即，且，即， 则四边形为平行四边形，故，由平面平面，则 平面. 故选：B. 2．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据线线平行证明线面平行. 【详解】A选项： 如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意； B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意； C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意； D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意， 故选：A． 3．如图，在下列四个正方体中，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用线面平行判定定理逐项验证即可求解． 【详解】对于①：如图，取中点，连接，则有，又平面，所以与平面相交，故①错误 对于②：由，，所以，又平面，不在平面上，所以平面，故②正确； 对于③：由，又平面，不在平面上，所以平面，故③正确； 对于④：由，又平面，不在平面上，所以平面，故④正确. 故选：C. 4．如果平面外有两点、，它们到平面的距离都是3，则直线和平面的位置关系是 ． 【答案】平行或相交. 【分析】若在平面的同侧，可判断直线和平面平行；若在平面的两侧，可判断直线和平面相交； 【详解】若、在平面的同侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面平行； 若、在平面的两侧，因为平面外有两点、到平面的距离相等， 所以直线和平面相交； 综上所述:直线和平面的位置关系一定是平行或相交 故答案为：平行或相交. 5．如图，长方体中，与AB平行的平面是 ．    【答案】 【分析】根据线面平行的判定定理判断可得答案. 【详解】长方体中，， 平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 所以与平行的平面是． 故答案为：． 6．在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列三个推断： ①平面; ②平面; ③平面; 其中推断正确的序号是 . 【答案】①③ 【分析】由已知可得，由线面平行的判定定理可判断①；由，与平面相交可判断②；由，根据线面平行的判定定理可判断③， 【详解】如图，连接， 对于①：因为在正方体中， ，，分别是，，的中点， 所以，因为，所以， 因为平面， 平面， 所以平面，故①正确； 对于②：因为，与平面相交， 所以与平面相交，故②错误； 对于③：因为，，分别是，，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面，故③正确； 故答案为：①③ 7．如图甲，在梯形中，，分别为的中点，以为折痕把折起，使点D不落在平面内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确结论是 . ①平面；②平面；③平面. 【答案】①③ 【分析】利用线面平行的判定定理一一判定选项即可. 【详解】对于①，由题意得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故①正确； 对于②，取的中点G，连接， ∵E是的中点，， ∴， ∴四边形为梯形， ∴直线与直线相交， ∴与平面相交，故②错误； 对于③，连接，交于点O，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面，故③正确． 故答案为：①③ 题型三 线面平行关系的性质 1．如图所示，均与平面平行，分别在上，且．则四边形的形状为 ．    【答案】矩形 【分析】由线面平行的性质定理可证明，，进而，同理可证，再由，即可得到答案. 【详解】因为平面，平面平面，平面，所以． 同理，所以． 同理，所以四边形为平行四边形． 又因为，所以， 所以平行四边形为矩形． 故答案为：矩形 2．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且，又H、G分别为BC、CD的中点，则 （填序号）    ①平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形 ②平面BCD，且四边形EFGH是梯形 ③平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形 ④平面ADC，且四边形EFGH是梯形 【答案】② 【分析】根据线面平行的判定定理分析判断即可 【详解】因为E，F分别为AB，AD上的点，且， 所以 ，， 因为H，G分别为BC，CD的中点， 所以 ，， 所以 ，， 所以四边形为梯形， 因为 ，平面，平面， 所以平面， 若平面ADC，则由线面平行的性质可得 ，而与不平行， 所以与平面ADC不平行. 故答案为：②. 题型一 线面平行关系的证明 1．如图，设P为矩形ABCD所在平面外的一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点．判断下列结论是否正确，并说明理由： (1)； (2)平面； (3)平面； (4)平面； (5)平面． 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)正确，理由见解析； (3)正确，理由见解析； (4)错误，理由见解析； (5)错误，理由见解析； 【分析】先证明，根据线面平行判定定理证明（2）（3）；由条件平面，平面，结合线面平行定义证明（4）（5）． 【详解】（1）由于为的中点，为的中点，则，正确； （2）由于， 平面，平面，则平面，正确； （3）由于，平面，平面，则平面，正确； （4）由于平面，平面错误； （5）由于平面，平面错误； 2．如图，在正方体中，E是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面ACE； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）连接，根据正方体的性质得到，即可得到或其补角其即为异面直线和所成角，从而得解； （2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，即可得到，从而得证. 【详解】（1）连接，在正方体中，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO， 因为在正方体中，底面ABCD是正方形，所以O为BD中点， 又因为E为的中点，所以， 又因为平面ACE，平面ACE，所以直线平面ACE． 题型二 由线面平行的性质求解 1．如图，在正方体中，M，N，P分别是，BC，的中点，则下列说法不正确的是（   ） A．直线与NM是异面直线 B． C．平面 D．直线CP，，AM相交于一点 【答案】C 【分析】对于A，由异面直线判定定理可判断，对于B，由平行传递性可判断，对于C，由CM与不平行，可判断，对于D，连接，由，，可判断. 【详解】连接， 点，，均在平面上，点不在平面上，所以与是异面直线，A正确． 连接，因为，所以，B正确． 平面，平面平面， 因为CM与不平行，所以CM不平行于平面，C错误． 连接，由，知共面，且平面平面， 如图1，因为，所以. 如图2，因为，所以，则两点重合，所以，，相交于一点，D正确． 故选：C 2．如图，在边长为1的正方体中，，，，分别为棱，，，的点，满足，过，，，四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（   ） A．时，该截面是正六边形 B．时，四边形为正方形 C．平面 D．当四边形为正方形时，它的面积为 【答案】B 【分析】先根据线段比例关系利用相似三角形性质判断线线平行，再依据线面平行判定定理判断线面平行；然后针对四边形为正方形的情况，通过构建直角三角形，利用勾股定理建立等式求解相关参数，并进一步判断选项. 【详解】 在正方体中，因为，根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），可知与相似，所以，进而可得. 又因为线面平行的判定定理，已知平面，平面，所以平面，故C选项正确.   判断当时截面的形状：当时，如前面第一个图，可以得到该截面为正六边形，所以A选项正确.   判断四边形为正方形时的情况：如前面第二个图，作，垂足为. 在正方体中，棱长设为，所以. 因为，根据正方体棱长以及线段比例关系可得. 又因为的长度，根据正方体棱长以及的关系可得. 在中，根据勾股定理. 由于四边形为正方形，所以，即. 等式两边同时平方可得. 展开括号：. 移项化简可得：，解得. 此时，正方形的面积为，所以B选项错误，D选项正确.    综上，A、C、D选项正确，B选项错误. 故选： B. 3．如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面平行的性质定理得到，故，转化为求即可． 【详解】    连接 交 于 ，连接 ， 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ， 所以 ，所以 . 又 ， 为 的中点， 所以 ， 所以 . 故选：D. 4．如图所示，四边形是梯形，，且平面，，与平面分别交于点，，且点是的中点，，，则 ． 【答案】5 【分析】运用线面平行的性质得到线线平行，结合梯形中位线性质解题即可. 【详解】因为平面，平面，平面平面，所以， 又点是的中点，，所以是梯形的中位线，结合已知有． 故答案为：5. 5．如图，是棱长为2的正方体的棱上一点，且面，则线段的长度是 . 【答案】 【分析】连接与相交于点，则点是的中点，利用线面平行的性质定理可得，即点是的中点，求出可得答案. 【详解】连接与相交于点，连接，则点是的中点， 平面平面， 因为平面，所以， 可得点是的中点， 所以, 故答案为：, 6．如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到要使平面，则四边形为平行四边形，故，设，表达出，求出最小值. 【详解】过点分别作交于点，交于点， 连接， 要想平面，则四边形为平行四边形，故， 设，则，故， 由勾股定理得， 其中， 当且仅当时，等号成立， 故. 故答案为： 7．如图所示，点P是平面外一点，平面，，. (1)求证：平面； (2)问：是否存在线段上的一点N，使得对线段上的任一动点M，均有平面成立？若存在，请指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点N为的靠近的三等分点，证明见解析 【分析】（1）取靠近的三等分点F，连接，只需证明即可； （2）取的靠近的三等分点N，连接，可以证明平面，由此即可得解. 【详解】（1）如图，在上取靠近的三等分点F，即，连接， ， ∴，. ∵平面，平面，平面平面， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）存在，点N为的靠近的三等分点.证明如下： 如图，在上取点使得，连接. ∵，. ∴. ∵平面，平面， ∴平面. 由（1）得，平面， ∵，平面，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 8．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）薨（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也. 薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形为正方形，四边形、为两个全等的等腰梯形，，，，.    (1)设过点且与直线垂直的平面为平面，且平面与直线、分别交于、两点，求的周长； (2)点在线段上且满足.试问：在线段上是否存在点，使平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）过点分别作，，连接，所以平面即为平面，分别求出，即可求出求的周长； （2）当点在线段上时，分别利用线线，线面平行关系求得的值，即可得到的值. 【详解】（1）   过点分别作，，分别交，于，，连接， 所以平面即为平面， 因为四边形为正方形，， 所以，， 由已知得，， 所以的周长为． （2）   假设存在点． 当点在线段上时，连接交于， 则，因为， 所以． 因为平面，平面， 平面平面， 所以， 所以，所以 综上，在直线上存在点，使平面，的值为． 1．如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，，可证明平面，点在平面内，进而可得点在面与面的交线上，即可求解. 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为：. 2．如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，点的轨迹的长度为 .    【答案】 【分析】设是的中点，可证的轨迹与的轨迹相同，求得的轨迹之后再求的轨迹. 【详解】由，，为边的中点 设是的中点，又为的中点，则且， 而且，所以且， 即为平行四边形，故且，      故的轨迹与的轨迹相同. 因为面，且，所以的轨迹为以为圆心，1为半径的圆， 设的中点为O，则，， 又面，面，所以面， 故的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 所以的轨迹长度为. 故答案为： 3．如图1，在平面四边形中，，，.是线段上靠近端的三等分点，是线段的中点，.将沿折成四棱锥，连接，，，如图2. (1)在图2中，证明：平面. (2)在图1中，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）由得到，从而，结合得到，所以，由线面平行的判定得到平面； （2）由，，三点共线，，又由、的位置得到，从而，再由，，三点共线得到，解出，从而. 【详解】（1）证明：连接，交于点，连接， ， ， 又 ， ， 又 是线段上靠近端的三等分点， ， ， ， 平面，平面， 平面. （2）由，可知，，三点共线，，，三点共线， 由，，三点共线，可设（）， . 是的中点， ， 是线段上靠近端的三等分点， ， ， 故，即， 由，，三点共线，可得，解得， 故. 4．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，依题意可得为的中点，从而得到，再由正方体的性质得到，从而得到，即可得证； （2）求出和时的长度，即可得到的取值范围. 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$